Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 40
Текст из файла (страница 40)
) — отвлеченная функция. Примем теперь„ что г' (Й) и г («) определены из условий Ъ == сопзь и Ъ' = сопБЬ. После этого в общем случае будем иметь = [6(т — 1 — Ь) — 2 — з] —,' Теперь с помощью этих формул, формул (3.5) и соотношении (3.6) после замены Р (г, 1) через э«/2 + р[ (у — 1) р (мы полагаем для определенности, что з = р!(у — 1) р) легко выводим соотношение, верное для любых автомодельных движений газа.' [а-]-2 — 6(т — 1 — й)] ~(Ъ", Ъ', ап ам ...) = =оф-- ~Р +(р — 6)Я+ — ',$. Полученное соотношение содержит неизвестную функцию / (Ъ", Ъ', а„а«...), которая исключается если з — 6(т — 1 — Ь) = — 2.
(3.10) Следовательно, при наличии условия (3.10) получим еще один существенный интеграл: Ъ ' ~[РУ+ (]г — 6) — + — )1 = сопзг, (3.11) I ЯЛ Р являющийся следствием закона сохранения энергии. Учитывая, что в предыдущих выкладках было принято т = 1, легко усмотреть, что условие (3.10) равносильно раве«[ству [Ж] = — [аЬ, ' «]. Следовательно, наличие интеграла энергии эквивалентно условию о том, что постоянная аЬ; ' имеет размерность энергии Ж; соответствующие автомодельные движения могут определяться постоянной Ж и постоянной Ьп [Ь«] = 1Т з, причем показатель 6 может быть произвольным. Очевидно, что равенство 2О4 одпомвгныв нкустановившикся дзижкнпя газа англ ту несущественно; можно написать интеграл, аналогичный интегралу (3.11), для других зависимостей з (р, р), если указанная автомодельность имеет место.
Рассмотрим еще случай движения газа со сферической симметрией с учетом сил ньютонианского тяготения. Прп наличии сферической симметрии для полной энергии частиц газа внутри объема О, заключенного менсду двумя сферами радиусов г" и г', верна следующая формула: 8 = ~ ~ Ре + рз — Р (' ' ' ~4чгес(г. (3.12) В подынтегральном выражении первый член определяет кинетическую энергию, второй — тепловую, внутреннюю и третий— часть внутренней энергии, обусловленную внутренними силами взаимодействия гравитационного тяготения.
Масса газа внутри сферы радиуса г' обозначена через тг'. Поясним формулу для третьей части— внутренней энергии гравитационного г взаимодействии масс газа. При выводе этой формулы энергия взаимодействия 1Л~ полагается равной нулю при бесконеч- Д ном удалении материальных частиц друг отдруга. Очевидно,что для двух материальных точек с массами т, и те потенциальная энергия взаимодействия равна Рпс. 37.
Сферический слой притягивает внешнюю точку А как материальная точна, помещенная в центр рл Равнодевствуюшая притяжения слоем равна нулю для внутренней точки о. (юрие гп д Унве Потенциальная энергия взаимодействия сферического слоя с точкой В равна нулю. Как известно, сферический слой материи с общей массой.,0, по плотностью, зависящей только от радиуса (рис, 37), действует на внешнюю точку А с массой такая материальная точка с массой .Мю сосредоточенной в центре сферического слоя.
Суммарная сила притяжения сферическим слоем внутренней точки В точно равна пулю, Поэтому потенциальная энергия взаимодействия сферического слоя с массой,ут, и материальной точки с массой т„расположенной на расстоянии е от центра сферического слоя, представляется формулой з зз АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ еп5 Масса сферического слоя меекду сферами радиусов г и г равна .И вЂ .ев'; поэтому потенциальная энергия взаимодействия масс внутри объема 0 менсду сферами г' и г представится формулой ( (.4,' — „Ф') р4ягс Лг г ) (,М вЂ”,,к') ве..(е г Согласно закону сохранения энергии для массы внутри объема 0 имеем ме Ллмов ~Амвссов ФЯ( ~ ГО ~е) гее Ис + Ес ( с(с где сеАмсв/с)( — работа в единицу времени внешних поверхностных ро сил, определяемая равенством Е ~~е) ,"" = — р'Ре4ЛГ"В + р'Р'4ЛГ"; ААмвсссвес(е работа в единицу времени внепших массовых сил (е) гравитации, которые эквивалентны силе притяжения материальной точки с массой .и', помещенной в центр симметрии.
Работа этой силы в единицу времени иад элементом с( и равна Отсюда следует, что ( ~(е) мвсссв ° е( Г 4ягвр е(г = Ум((' — „„~ 11ри медленном адиабатическом гравитационном сжатии газовых шаров (ь =- О) с отсутствием работы внешних сил, что применимо к звездам, уравнение (3.13) дает е с(.Ф = ~ — ге,зх + сопев. 3,(е' г в с се(с)'Чз( — внешний приток тепла в единицу времени, равный пулю, так как по предположению процесс адиабатический. Отсюда следует, что для частиц газа, заключенных в данный момент времени внутри рассматриваемого объема О, закон сохранения энергии приводит к уравнеки|о — ) ( — + рз — — е' (йиг Й. = Ия (г' р Р' — г р"р').
(3.13) 2 Г 2 е ев г' 2ОЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИ)КЕНИЯ ГАЗА [Га. 1У Так как при сжатии правая часть возрастает, то очевидно, что температура газа должна повышаться. При сжатии тепловая энергия излучения может расходоваться за счет гравитационной. Если движение газа автомодельно с определяющими постоянными (а) = ~ — ~ = М1 зТч (й = — 3, з = 2) и (Ь1) = ЬТ то верна формула ж* = ~ ~ — '+ е — — ') 3.// = / 151[1а-1 /(х', х"). (3.14) г' Воспользуемся теперь соотношением (3.6), в котором положим г2 /.м Ь' = — + е —— 2 г С учетом (3.13) и (3.14) найдем — Ж* = (4яг' ~рг + ( — '+ е — /' ) р (Р— — „" )Д; отсюда на основании формул (3.5) при е = р/(у — 1) р получим (56 — 4)/()/, А-) = ~4.).'~л +( —,+„„, — М)Я(т — 6$. В этом соотношении выпадает неизвестная функция / (А', Х"), если 6 = 4/5.
Таким образом, при 6 = 4/5 имеет место еще один интеграл: ) ~РР + ( е + — [ — ЯМ/'([' — 5 /) =- сопз[. (3.15) Если 6 = 4/5, то — Ь '~ = Ч1,1Т ' = [Же). 1 Следовательно, в этом случае в качестве независимых размерных постоянных можно взять гравитационную постоянную / и некоторую энергию 8~. 4. Интеграл импульса. Рассмотрим еще случай одномерных неустановившихся движений с плоскими волнами, когда из определяющих постоянных а и Ь можно образовать постоянную с = аЬ" при некотором к с размерностью импульса, рассчитанного на единицу площади (с) = МВ 'Т 1. В этом случае можно полонгить /г = — 1, г = — 1 и путем аналогичных рассуждений найти интеграл Р— ()г — 6) Я$' = сопзс.
(3.16) 1 с) движения, пРедельные к Автомодельным 207 В любом из интегралов (3.7), (3.9), (3.11) и (3.15) переменную )с можно исключить с помощью выбора подходящего значения показателя размерности )с, который можно варьировать путем замены постоянной а на постоянную ас = аб", где х может принимать любые значения. Предыдущие методы получения интегралов приложены к установлению интегралов для линеаризированных решений около автомодельных движений ') н для любых приближений ') при разложении неавтомодельных решений в ряды по автомодельным функциям, Выше мы установили конечные интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений для автомодельных движений газа. В выводе были использованы сообраскення теории размерности и общие теоремы механики, вытекающие из системы уравнений движения.
Из общих соображений ясно, что интегралы моясно получить также путем формальных выкладок из системы обыкновенных уравнений. Выведенные интегралы имеют место как следствие системы обыкновенных уравнений, которая может сохранять свой вид для иных постановок задач, в частности для политропических движений совершенного газа, когда у Ф ср/с, и, следовательно, энтропия переменна в частице и имеется внешний приток тепла. й 4. Движения, предельные к автомодельйым Исходя из рассматриваемого семейства автомодельных решений, зависящего от нескольких параметров, можно с помощью некоторых предельных переходов построить другие семейства точных решений для тех же уравнений с частными производными. Поясним это на одном примере. Возьмем решение вида (3.5) и напяшем его в следующей форме: г р ай'тс (Х) с+с, (~)' р „г з(с+с„)' ' г'"' с+с)а+т )' г'-'(с+с)' 511+с)з (4.1) Очевидно, что если в решении (3.5) время с заменить через 1 + 1„получим снова решение, содержащее еще один постоянный 1) Л в д о в М.
Л., К теории лввеарвзовавкых решений около одвомервых автомодельных движений газа. ДАН СССР, т. 102, № 6, 1955. с) К о р о б е й в в к о в В. Н., Об интегралах уравнений веустаковввпжхся адвабатвческих дввжекий газе. ДАН СССР, т. 104, № 4, 1955, стр. 509 — 512. все ОДНОМКГНЫН НКГСтХНОВИВШИНСЯ ДзнжнПИЯ Гаэа 1Гз. ЮЧ параметр 1ю Кроме, этого, мы ввели новые обозначения У =- 6[У; Я = 6'Я; 1' = 6'"Р; ЛХ =- Б'М; г = 6'е. (4.2) = бт и Ь = г, (бт) '. Очевидно, что [т) — -- [1[ и [гз) — — [г), причем т, гз и 6 — произвольные постоянные. Перейдем в формулах (4.1) к пределу при фиксированных т, гз, конечных [т, Я, Р, зг" и при 6 — ~ оо; формулы (4.1) дадут к+з в ( ) (4.3) к, В,а Р ( ); .! = кю, ~И (ь) и )~ =-— Отсюда следует, что уравнения одномерных неустановившихся движений газа должны иметь решения вида (4.3), которые можно рассматривать как предельные для автомодельных движений.
Из уравнений (2Л), (2.2) и (2.3) легко получить уравнения для т, Я, Р и Х; при конечных Й и з найдем Ыл л ([2+ ъ (у — 1Н Р(Р— 1)з — (т — 1) Рз (Т вЂ” 1)) (4.4) (Р 4) % Ф!и Х ! !с+1 Уз(7 — 1) + [ — — тр) з +(й+3 — т) р'. г — (Р— 1)з Уравнения (ЗЛ), (3.2), (3.3) и (3.4) имеют решения вида (4Л) при )г = — 3, г =- 2 и любых значениях 6, гц н Ь. Для уравнений (1.3) при !" = О постоянные а и г могут быть произвольными. Полоясим теперь 219 одномвгныв ннустановивщився движвппя гязя 1г . гч и устремим б к нулю; тогда получим 1 ( )' Р Г«з ге+ 1 (4.9) х г Л = — е"' 1 «Р (Л) гг«т 1«+з гз Из уравнений (2 1), (2.2) и (2.3) легко получить уравнения для з, г», Я и Л; после подстановки в (2.1), (2.2) и (2.3) формул (4.8) и перехода к пределу при б = О получим ( «+2 ««з з 21)г — 1)з — (7 — 1) $'(Р— 1) + « — — ) з~ 7 сФ Г- .
«+2 Э ()г — 1)~ Р(Р— 1) — — з ~ 7 е 1и Л г — (Р— 1)з ,1)) «+2- в з — Р(Р— 1) 7 (4».10) «+2 „ 7 з — 919 — 1) е')п 'тт', (г' — 1)= = г— о )о 1 (й 1)з АХ вЂ” Я ()г — 1) = сопз1, з о тж — = 31 ' сопз1. Фт ' (4.11) При й = О и г = — 2 имеет место интеграл энергии ') / «99«Р +( )(«2 + — 1) (4.12) Применяя еще один предельный переход )» - +»о в формулах (4 3) н (4.9), после замены 1 на 1 + )»1» и т = )»1» получим общие формулы для установившегося движения газа. Предельный переход в формулах (4.9) после замены х на х + )«Х и ге на )«Е при Г« — оо приводит к поступательному двия«ению с переменным (по времени) давлением.
Рептения типа (4.3) и (4.9) рассматривались К. П. Станюковичем ») путем формальных подстановок. ') При наличии интегралов (4.5) и (4.6), а также интегралов (4.11) и (4.12) ураннения движения могут быть проннтегрированы в квадратурах. Это интегрирование осуществлено Н. Н. Кониной (см. К о ч и н а Н. Н., Некоторые точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения совершенного газа. ПММ, т. 21, вып.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
