Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Основными искомыми функциями при использовании точки зрения Эйлера являются скорость н, плотность р и давление р, а определяющими параметрами — линейная координата г, время в и константы, входящие в уравнения и краевые и начальные условия задачи. Так как размерности величин р и р содержат символ массы, то среди определяющих параметров обязательно должна быть хотя бы одна константа а, размерность которой также содержит символ массы. Не ограничивая общности, можно предположить, что ее размерность имеет вид [а! = М1взТ'. При этом для искомых функций скорости, плотности и давления всегда можно написать формулы где вг„я и Р— отвлеченные величины и, следовательно, могут аависеть лишь от беаразмерных комбинаций, содержащих в, в и другие параметры задачи.
В общем случае они являются функциями двух безразмерных переменных. Но если среди определяющих параметров, кроме а, имеется всего лишь еще одна константа Ь с независимой от а размерностью",), то из >, Ь, а и Ь можно образовать только одну переменную отвлеченную комбинацию. Так как размерность постоянной а содержит символ массы, то, не ограничивая общности, постоянную Ь всегда можно ввести так, чтобы ее размерность не содержала символа единицы измерения массы, т. е. 1Ь) == в. Т". В этом случае единственной безразмерной переменной комбинацией будет г г"!Ь, которую прн лв ~ О можно заменить переменной Х =,, где б= — —.
(1.2) Ь вз в) Вообще определяющих постоянных может быть ввного, но нх размерности должны быть зазнскмы от а н Ь. Для дальнейшего важно, что среди определяющнх постоянных нмеются только две а н Ь с нсзазнснмымн размерностямв с фнкснроеапнымн показателямви Ь, в, лв, и, которые могут быть целымн нлн дробными, нлн трансцендентными чнслзмн.
Что касается фактнческого определения этих показателей в конкретных задачах, то это связано с постановкой задачн н свойствами искомых решений, что всегда выходит за ранкн теории развверностей. 778 ОДЫОМЕРНЫЕ НЕУСТАноВИВШИЕСЯ ДВСССКЕННЯ ГАЗА [Гл. 1Ч Если лг =- О, то )г, Я и Р могут зависеть только от времени С, в этом случае скорость и пропорциональна г; соответствующие частные движения подробно изучены ниже в у 15.
Кроме переменного параметра дч решение может зависеть еще от ряда постоянных отвлеченных параметров. Таким образом, когда среди определяющих параметров задачи, кроме с и 1, имеются всего две константы с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных, которым должны удовлетворять скорость, плотность и давление при неустановившемся одномерном движении сжимаемой жидкости, могут быть заменены обыкновенными дифференциальными уравнениями для величин 1', Я и Р. Решение же обыкновенных дифференциальных уравнений иногда можно получить в замкнутом виде точно, в других случаях приближенно с помощью численного интегрирования. Такого вида движения называютсн автомодельными. Остановимся на постановке некоторых задач, решение которых легко получить описанным выше методом.
Для определенности предположим, что газ совершенный, не вяакпй и не теплопроводный, причем движение не сопровождаетсн какими-либо физическими или химическими превращениями (в какой мере в той или иной задаче можно отказаться от этих предположений, будет рассмотрено позднее). В этом случае уравнения дви"кения, неразрывности и энергии можно взять в следующей форме: дг дг С др — -1- и — + — — =- О, дс дг р дг — -~- — -',— (т — 1) — ' = О др , дрг рг дС дг 1 +® "+®=' 3 (1.З) где у — показатель адиабаты, у = 1 для плоских, у = 2 для цилиндрических и т =- 3 для сферических волн. Уравнения не содержат никаких размерных констант.
Поэтому вопрос об автомодельностп движения сводится к тому, чтобы в дополнительные условия задачи входило не более двух параметров с независимыми размерностями. Рассмотрим примеры автомодельных задач "). 2. Задача о двшкении газа по заданным начальным распределениям скорости юз (3 ) плотности р, (з') и давления тза (з') (задача Коши). Нетрудно указать вид законов распределения для и (г), р, (г) и ро (г) в начальный момент времени (с = О), когда возни- ') В последнне годы опубликовано очень много работ, в которых аналогнчнме азтомодольныо решения получены н научены для систем уравнений з частных пронззодпмх, применяемых в различных областях пауки. 179 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА кающее в последующие моменты времени й) О движение будет в втомодельным.
В самом деле, так как все движение определяется только двумя размерными постоянными а и Ь с независимыми размерностями, то начальные распределения должны определяться тремя величинами а, Ь, г. Дальше мы примем, что размерности Ь и г независимы ') и, следовательно, и ~ О. При пь ф: О, не ограничивая общности, положим 1Ь) =- ПТ ь. Из соображений размерности следует, что начальные распределения должны быть представлены формулами следующего вида: 1 1 — 1 —— Г г 1 о+т ( о+О 1 ь, = акЬ г ро=а,аЬ г ро= аэаЬ г Ь Ь Ь Ь Ь 1 Ь 1 — — ~ К+о+ — ) — — ~~к+1+ — ' (1.4) где ат, а„аь — задаваемые отвлеченные постоянные; в случае плоских волн значения этих постоянных могут быть различными: при г)О и г( О.
Рнс. 34. Поршень начинает двигаться с постоннной скоростью Ьг; перед поршнем гаэ вначале покоится и имеет одинаковую плотность р, и дав- ЛЕННЕ Р1. Рис. 35. Расширение с постоянной скороотью У сферы нли круглого цилиндра в гаае, который в начальный момент времени покоятся, а радиус сферы или цилиндра равен нулю. Начальная плотность гака р1 и начальное давление р1 постоянны. При решении рассматриваемой начальной задачи на бесконечном интервале по г и с возможными бесконечными значениями характеристик движения при г = О илн г = со существен вопрос о единственности и о существовании решения.
1) Если размерности Ь и г аависимы, то в = б = О, и поэтому существует беэраамерная комбинация Ьг ~. Ив соображений раэмерностп в этом случае следует, что начальная скорооть моясет равняться только нулю или бесконечности, так же как и начальные плотность и давление, если о -'- О илн г та — 2. Если л = О и о = О, то начальная плотность может быть произвольной функцией от г, но давлейие и скорость либо нуль, либо бесконечность. Если и = О и к = — 2, то начальное давление может быть проиэвольным, а скорость и плотность равны либо нулю, либо бесконечности.
4ЯО ОДномегные негстАновившиеся ДВижений ГАЗА $ГВ. Гч Для решения начальных задач с произвольными й, з и 6 необходимо рассматривать автомодельные движения самого общего типа. 3. Задача о поршне. В длинной цилиндрической трубе, закрытой с одного конца поршнем, находится газ. В начальный момент времени газ покоится (и1 =. О), а поршень начинает двигаться с постоянной скоростью У (рис. 34). Определяющими параметрами в этой задаче, кроме г и 1, будут начальная плотность газа р„ начальное давление р1 и скорость дВИжЕНИя ПОрШНя С1. Таы Каы МЕжду раЗМЕрНОСтяМИ р„, р, И с' НМЕ- ется соотношение (Р11 ' то действительно имеем всего две постоянные с независимыми размерностями.
Аналогичная задача может быть поставлена для движений с цилиндрической и сферической симметрией: в начальный момент времени газ, заполняющий пространство, начинает раздвигаться соответственно цилиндром или сферой, радиус которых растет от нуля пропорционально времени (рис. 35). Если скорость движеыия поршня не постоянна, а пропорциональна, например, какой-либо степени времени 0' = сс", то появится третья существенная постоянная с размерностью, не зависящей (при л чь О) от размерностей р, и р1: [с1= Ет' поэтому соответствующее возмущенное движение газа не будет автомодельным. Движение с таким законом изменения скорости (при и чь О) поршня будет автомодельным в предельном случае, когда р, =- О, и следовательно, в условия задачи войдут только две независимые размерные константы р1 и с.
4. Задача о фокусировании в точке и о разлете газа от точки. В начальный момент времени все частицы однородного газа, заполняющего пространство, при р1 = сопзВ и 01 = сопзВ имеют одинаковую скорость, направленную к центру (фокусирование) или от центра (разлет). В случае цилиндрической симметрии все частицы имеют одинаковую скорость, направленную к оси симметрии илн от ыее. Очевидно, что аналогичная задача для плоских волн после добавления поступательной скорости, равной, но противоположно направленной начальной скорости газа, сводится к задаче о движении поршня с постоянной скоростью. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В случае сферической или цилиндрической симметрии рассматриваемые задачи и задачи о сферическом и цилиндрическом поршне являются различными задачами.
Как и в предыдущей задаче, среди размерных постоянных, входящих в начальные и граничные условия, имеется всего лишь две с независимыми размерностями (р„р,). Задачи о фокусировании и разлете газа с постоянными начальными значениями представляют собой частные случаи более общей, рассмотренной в качестве основной первой, начальной задачи Коши. В других случаях, когда определяющие постоянные имеют размерности, отличные и независимые от размерности скорости, давления и плотности, начальные распределения по радиусу должны быть переменны, если онн отличны от нуля. 5. Распространение фронта пламени или детонации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
