Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для турбулентного движения функцию ф (т() можно определить опытным путем. Но в опытах в трубе с конечным радиусом, кроме параметра 1), добавляется еще число Рейнольдса К = Р ра1)1. В исследованиях распроделепия скоростей прн турбулентном движении болыпую роль сыграли степенные эмпирические формулы вида (5.8) — == А17", аа где А и и суть постоянные. Эти постоянные можно определить либо путем непосредственного измерения распределения скоростей, лиоо косвенно, с помощью опытного определения закона сопротивления трубы.
Для выяснения последнего способа выразим сопротивление трубы через закон распределения скоростей по радиусу трубы. Коэффициент сопротивления круглой трубы определяется равенством (5. 10) где и есть средняя скорость по сечению трусы, причем О естьобъемпый расход жидкости.
В общем случае для распределения скоростей по радиусу трубы справедлива формула вида Осредняя по сечению трубы, получим а 1 — = — 1~1Р 2Я(а — У)АУ = 2')ф(а„— "* ага) ($ — Х)111. (5Л1) Разрешая это уравнение относительно Р /и, найдем ар как функцию от к1.1 103 пРиложениЯ к теОРии ДВижениЯ ВЯзкОЙ жиДкости 1ги. 111 Нетрудно усмотреть, что для степенного закона распределения скоростей, определяемого формулой (5.9), в которой А и п не зависят от числа Рейнольдса й„для коэффициента ф получаем формулу вида (5А2) где а и т суть постоянные.
В самом деле, подставляя 1~ = А( ~"*")" = А.й',~+)"Х" в соотношения (5.11), получим й 2А и (и+1)(а-(-2) '( и (' отсюда определяем и !й, после чего на основании равенства (5АО) найдем ~ (и+1)(и+2)')и+1 1 2А (5.13) я иь1 1 Сравнивая формулы (5.12) и (5.13), получаем простые соотношения между постоянными т н и и постоянными а, А и и.
Эмпирическая формула Блазиуса для сопротивления гладких цилиндрических труб имеет вид 0,132 1= — '' а" 1 — = ~р(~) = 5,7519 1) -(- 5,5. Формулы (5.9) н (5.16) теряют справедливость в непосредственной близости стенок, где 1( = О. Вблизи стенок имеется ламинар- Коли принять степенной закон для распределения скоростей, то формула Блазиуса (5.14) приводит к «закону одной седьмой»: —" = 3,7 ~ "*" )О'. (5.15) Формулы (5.14) и (5.15) хорошо согласуются с опытом для чисел Рейнольдса 2к1 в интервале от 101 до 10'; для меныпих значений с опытами согласуется лучше формула вида (5.9) с показателем и = 1/6. Для 2К1) 10' показатель необходимо уменьшить.
Результаты экспериментов (рис. 32) показывшот, что наилучшее совпадение с опытом получается для эмпирической формулы вида $ ы устлновившикся тугвулкнтнык движниия 1бр ный слой, для которого ~р (г() = т). Если мы допустим, что ламинарный слой примыкает к турбулентному потоку, и потребуем, чтобы скорости частиц жидкости на границе ламинарного слоя переходили непрерывно в турбулентные распределения скоростей, (р гю фр 1Р фу ид Рис. 32. Распределение скоростей в турбулентном пограничном слое.
определяемые по формулам (5 15) и (5.16), то это дает возможность определить толщину ламинарного слоя либо из уравнения т1 = 5,75 1п т1 + 5,5, либо из уравнения ц = 8,7ц'л. Решение этих уравнений в обоих случаях дает для т1 значение, близкое к г1 = 12.
Полагая т) = 12, найдем формулу для толщины ламинарного слоя — =12 Р (5.17) а рва а )Я Полагая й, = 40000 и пользуясь формулой Блазиуса, получим — = — = 0,0065. б 68 ач 1 Отсюда можно заключить, что толщина лампнарпого слоя мала по срввкопню с радиусом трубы а. !'посмотрим теперь теоретические соображения Прандтля и 11лрмапа об определении вида функции ~р (г1). Обозначим через 11О ПГИЛОжхпня К тиОГИИ дВИжкпня ВяЗКОй жИдКОСтИ [Ги.
ГЫ (р, — р,)л = т '-лгЛ+- р — 2лг1,. а .о НЙ Нд Отсюда с помощью соотношения (р, — рДа = 2теЛ находим т ' р —" = т,(1 — — "1. (5.18) ду е а Рис. ЗЗ. Схема н расчету турбулентного движения и иреглоя цилиндрической трубе. Прн ламинарном движении т = О, и мы иа~еем течение Пуазейля. В этом случае из уравнения (5.18) получается параболический закон распределения скоростей. При турбулентном движении непосредственно вблизи стенок при у = О имеется ламинарный слой, в котором т = О и у/а = О, вследствие чего уравнение (5.18) приводится к соотношению Ли п — = от ег откуда тю и рсеч й = — илн— ае что совпадает с формулой (5.8).
Если обратиться к кинетической теории газа, то касательное напряакение вязкого трения )с НйЯу можно рассматриваь как среднее значение переноса количества двяжения, отнесенного к единице времени и площади и обусловливаемого хаотическим тепловым движением отдельных молекул. В этом смысле оба члена левой части уравнения (5.18) имеют одинаковую природу. В области резко выраженного турбулентного потока т~0 и велико по сравнению с р ййЯу, поэтому допустимо пренебрегать членом р ййИу по сравнению с т. Определение зависимости т от характеристик осредненного движения можно свести к определению величины 1, имеющей размерность длины и связанной с т соотношением (5.19) При более подробном рассмотрении механизма турбулентного перемешивання ряд интуитивных соображений позволяет истолко- и' и и' проекции на оси х и у скорости турбулентных пуасьсацнй.
Среднее значение переноса количества движения жидкости вдоль оси у, отнесенное к единице времени и площади, представляется в виде т = ри'и'. Применяя теорему об изменении количества движения к объему жидкости, заключенному внутри соосного с трубой круглого цилиндра радиуса г (рис. 33), после осреднения полу- чим установившиеся турвулвнтныг двпжпнпя 171 вать длину 1 как величину, аналогичную пути свободного пробега молекул в тепловом движении газов '). Поэтому 1 называется путем церемешивання. Основной смысл перехода от т к 1 связан с большей наглядностью величины 1. При отсутствии влияния вязкости величина т зависит от квадрата скорости, поэтому 1 не зависит от скорости, что позволяет для установления связи с характерными размерами опереться на некоторые интуитивные соображения.
При более подробном рассмотрении удается показать, что 1 убывает при приближении к стенкам, и связать величину 1 у стенок с характеристиками шероховатости. При а =- оо можно принять, что путь перемешивания определяется параметрами р, 1ь, р и у; поэтому в этом случае справедлива формула вида ,р ~ Раен ) Допустим, что при некотором специальном выборе начала отсчета для координаты у свойство вязкости несущественно. Из этого допущения следует г=йу, где 1с есть некоторая безразмерная постоянная. Пренебрегая в уравнении (б.т8) членами 1А йиИу и у(а = О, получим ! ои ~2 ~~=~~~ = ркау~ ~ — „ Интегрируя это уравнение, найдем Р.ВО) и = — „'" 11пу~ — )п у,].1 На оси подобия при у = О имеем и =- — оо. Постоянная интегрирования у, дает расстояние до оси подобия точки, в которой и = О. Непосредственно около стенки будет существовать ламннарный слой, к которому прилегает турбулентное течение; если мы продолжим турбулентное течение до стенки, на которой удовлетворяется условие и = О, то получим, что уо равняется расстоянию оси подобия до стенки.
Так как уо должно определяться величинами р, р и ре, то это дает Уе= 1)— р Риа где р есть безразмерная постоянная. '] Подробно об этом см. статью Прандтля Л. «Механнка вязких жпдко стева и книге: д ю р э н д В. Ф., Аародннамнка, т. 1П. М., ОборОнгнэ, 1939 173 ИРиложениЯ к теОРии ДВижениЯ ВЯзкОЙ жиДкости 1гл, 111 При резко выраженном турбулентном движении величина уе мала. Подставив найденное значение уе в формулу (5.20), найдем (5. 21) и = — *(!Вц — !п(1).
!. В области турбулентного движения формулу (5.21) можно рассматривать как теоретическое обоснование эмпирической формулы (5.16). Постоянные й и р необходимо взять из опыта. О увеличением числа Рейнольдса допущения, сделанные при выводе формулы (5.21), становятся более точными. Это позволяет сделать вывод о том, что формула (5.16) должна хорошо отвечать действительности при увеличении числа Рейнольдса.
Если принять, что логарифмический закон распределения скоростей (5.21) справедлив для турбулентного движения в круглой трубе до самой оси трубы, то получим формулу =- Р( а ) = 5,75 1Я вЂ”, которая хоро1по согласуется с опытными данными как для гладких, так и для шероховатых труб; последнее объясняется тем, что влиЯние шеРоховатости можно свести к измененнго величины Рю которая исключается при выводе этой формулы '). Остановимся еще на ряде соображений теории размерности и подобия, которые можно применить к рассматриваемой задаче о турбулентном движении.
Обозначим через Р„, Ре проекции скорости мгновенного движения и через и' и Р' — проекции скорости пульсации. В изучаемой задаче о прямолинейном осредненном движении имеем Гх П+П~ Рз 1' Рассмотрим поле скоростей относительного движения, определяемого ИРоекЦиами и+ е — иаг, о', гДе им есть сРеДнЯЯ скоРость в некоторой точке М.
Основная гипотеза Кармана заключается в предположении, что турбулентные поля скоростей относительного движения в различных точках потока кииематически подобны. Применяя операцию осреднення, получим, что поле осредненных относительных скоростей [и (у) — им, 01 также кннематнчески подобно в различных точках потока. Пересчет значений всех кинематических величин при переходе от одной точки к другой можно произвести с помощью переходных масштабов для двух независимых кинематических величин. Вели- 1) О влиянии шероховатости см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
