Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 49
Текст из файла (страница 49)
е. при увели- сс 1 м) ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ чении содержания частиц и их теплоемкости. Из формул (11.22) и (11.23) следует, что на фронте волны наличие примесей приводит к поглощению тепла (л() ( О), а в погоне газа нагретые частицы отдают тепло (с((т ) О). Можно сделать вывод, что во всех задачах газовой динамики среда, в которой содержится болыпое число частиц, ведет себя как газ с отношением теплоемкостей 7' меныпим, чем для чистого газа.
Рассмотрим задачу о сильном взрыве в запыленной среде и определим интенсивность взрывной волны. Формула (11.11) дает давление на ударной волне 8Г 1 ( + 8Р(Т+ '1) где Е = Ео)а (7'). Отношение р,/ра для двух взрывов с одной и той же выделившейся энергией Е, на одном и том же расстоянии от центра взрыва г просто зависит от 7: т Рт а())(7+1) )(7) рт о(7)(7 +1) 1(7) На рнс. 84 представлена зависимость н / (7) =-. Сс (7) (7 + 1), где а (7) — функция, изображенная на ркс.
83, Функция 1(7) с уменьшением 7 увеличивается, что приводит к падению давления на тг зн 1л у ударной волне в запыленной атмосфере по сравнению с давлением на ударной Р"с 84 Ррафнн Функции волне в чистом газе. Уменьшение 7 от 1 (7), характеризующей злн- янне запыленной атмосферы 1,4 до 1,2 приводит к снижению давле- на давление, ния на ударной волне в 2 раза. Однако для этого необходима весьма высокая плотность аэрозоля (888 г пыли в 1 лса воздуха). Чтобы снизить р, на 10%, достаточно плотности пыли 0,12 кг)лсз. Запыленность воздуха в промышленном городе соответствует уменьшению р, на 2%.
2. Об учете теплопроводности. Выше мы отметили, что свойства вязкости и теплопроводностимогутоказать некоторое влияние на движение газа вблизи центра взрыва; если не пренебрегать вязкостью и теплопроводностью, то в уравнения движения газа войдут коэффициент вязкости р и коэффициент теплопроводности х. Следует отметить, что коэффициент теплопроводности входит как мнол.нтель при температуре Т. Иосле исключения температуры Т с помощью уравнения состояния (для простоты предположим, что это уравнение Клапейрона Т == рl йр) в качество коэффициента будет входить фактически не одномвгные неустановившинся движвния газа [гл. 1ч само м, а отношение х!)7 (Й вЂ” газовая постоянная). 11ак известно, коэффициенты )т и и зависят от температуры.
Обычно их принимают пропорциональными температуре Т в какой-либо степени (чаще всего пропорциональными )ТТ) или постоянными. Предположим, что 4г =- )г„Т" и х = м,Т", где )г, и х, — постоянные, После исключения Т в уравнения войдут новые размерные константы Хт — и до Всю Их размерности равны Для того чтобы движение было автомодельным, достаточно, чтобы их размерности выражались через размерности р„и Ез.
Легко видеть, что для этого надо положить в сферическом случае ') а =- 1/6, в цилиндрическом сс .= О и в плоском сс = — 1/2. Таким образом, задача о сильном взрыве может быть решена с помощью интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом вязкости и теплопроводности, ести принять )г = )г,Т'ь, м = х,Тьл для сферических волн; (11.25) )г — — — сопз1, к = сопь1 для цилиндрических волн; 111.26) )т = )г,l)г 7', м = кДГТ для плоских волн.
(11.27) В настоящее время опубликованы приближенные решения задачи о сильном точечном взрыве с учетом теплопроводности '), Нетрудно усмотреть, что для совершенного газа и для многих других сред автомодельность задачи о сильном взрыве сохраняется также и в тех случаях, когда в области возмущенного движения благодаря интенсивному теплообмену (за счет очень большой теплопроводности или за счет излучения и других процессов) тезшературу можно считать одинаковой, но, вообще говоря, переменной во времени, иначе говоря, когда уравнение т) Этот результат получен в работе: Б а м-3 е л и к о в и ч Г. М.
Распространение сильных взрывных волн. В сборнике статей № 4 еТеорстическап гидромеханика» под ред. Д. И. Седова. М., Оборонгиз, 1949. При сс = 1!6 имеем [Р.,И'"1 =- 11дрз)'ь). т) К о р о б е й п н и о в В. П., О распространении сильной сферической варывной волны в теплопроводном гаае. ДАН СССР, т. 113, № 5, 1957, стр. 1006 — 1009. 1 ы] ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ 269 адиабатичности монгно заменить уравнением дт — = О. дг Решение соответствующих задач о точечном взрыве и о поршне опубликовано в ряде работ г), 3. Автомодельность точечного взрыва для идеальных сред. Еще следует сделать одно замечание о возможности решения задачи о сильном взрыве в рамках теории идеальной гкидкости при более общем виде уравнения состояния и зависимости внутренней энергии газа в функции от р и р ').
Функция внутренней энергии е (р, р) непосредственно входит в условия на ударной волне и в уравнение притока тепла. В общем случае ее всегда можно представить в виде е= — <р~ — „, — )+сопзс, (з р'г ,) где гр — безразмерная функция своих аргументов, а р* — какая- либо константа с размерностью давления. Так как размерность р* не может быть выражена через размерности р, и Е, то для автомодельности движения достаточно, чтобы е не содержало ре, т. е. чтобы было (11.28) где гр — произвольная функция своего аргумента. В уравнении адиабатичности не может появиться новых физических размерных постоянных, потому что это уравнение имеет вид де + рд — = О.
1 Р Условие (11.28) накладывает некоторое ограничение на уравнение состояния. Действительно, так как 1 г(е+ (з(— Т = с(8 есть полный дифференциал, то Т и е должны удовлетворять ') К о р о б е й н и к о в В. П., Задача о сильном точечном взрыве в газе при нулевом градиенте температуры.
ДАН СССР, т. 109, № 2, 1956, стр. 271 †2; Р ы ж о в О, С., Т а г а н о в Г. И., Второй предельный случай задачи о сильном взрыве. ПММ, т. 20, вып. 4, 1956, стр. 545 †5; М е л ь н и к о в а Н. С., О неустановившеися движении газа, вытесняемого поршнем, при нулевом градиенте температуры. Яссы, Бюлл. Политехн.
ин-та, т. 10, № 3 — 4, 1964. з) См. цитированную выше работу Г. М, Баи-Зеликозича. 2то ОднОмеРные неустАнОВНВшиеся дВижения ГА3А игл. 1у уравнению в частных производных дТ ! де 1 дТ де Т+ — ('р — — р') — р — = О. др (, др 1 др др подставляя сюда е == р1р(р) (для простоты можно полояп1ть р1 = 1), получим дТ дТ Т -'; — р ( р' (р) р' — 1) — рею (р) — = 9. ар ар Можно написать эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений дТ дл др Т р(з (Р) рз 1) 1р(р) ре Она имеет два первых интеграла: Те = С1 и р1р(р) е = См следовательно, ер ер рр(р)е ~ ' =Ф(Те ' ), (11.29) 1де <р и Ф вЂ” произвольные функции своих аргументов. Очевидно, что соотношению (11.29) удовлетворяют, в частности, Все уравнения состояния, при которых температура пропорциональна давлению, а от плотности зависит произвольным образом.
Однако, несмотря на наличие двух произвольных функций, многие интересные уравнения состояния (например, уравнение Вап-дерВаальса) не могут быть записаны в форме (11.29). Если функция Ф сводится к постоянной, то давление, а следовательно, и внутренняя энергия зависят только от плотности; соответствующая размерная постоянная, равная Ф, войдет в выражение внутренней энергии. В этом случае система становится однопараметрической, поэтому предыдущая постановка задачи становится невозможной. В общем случае функция Ф в (11.29) может зависеть от ряда размерных постоянных, которые не могут нарушить автомодельность задачи, сформулированной через Р, р, р в З 1.
Однако наличие этих постоянных может привести к неавтомодельной зависимости температуры Т от г и г в возмущенном потоке среды. Заметим еще, что из формулы (11.28) следует рр(р) е = ф(8), Те = ф'(8), где $ (8) — функция от энтропии, зависящая от вида функции Ф 11] ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВН 271 в (11.29) и удовлетворяющая уравнению зр (8) = гр (ф' (8)). 4.
Точечный взрыв в идеальной несжимаемой н<идкости. Задачу о точечном взрыве можно рассмотреть в предположении о несжимаемости среды '). Уравнение аднабатичности можно заменить уРавнением р = р, = совзь. (((.зо) В этом случае возмущения распространяются с бесконечно большой скоростью; поэтому возможно решение без ударной волны. Случай движения несясимаемой жидкости при точечном взрыве можно получить как предел для адиабатическнх движений Гаэа Прн т — 1- +ос.
КаК И В ОбщЕМ СЛуЧаЕ, ЕСЛИ р, = О, тО дВИжЕ- ние жидкости автомодельно и, как легко проверить, для поля скоростей верна следующая формула: (((.81) так как движение должно соответствовать источнику спеременной интенсивностью, зависящей только от Ез, р, 1. Постоянный множитель определяется заданием кинетической энергии жидкости, которая равна «1ззЕо. Из интеграла Лагранжа следует ' р = — '( ~ ) '1 "— "~1 — ~ — ') ~. (и.з ) В центре образуется пустая сфера с возрастающим радиусом г*, для которого верна формула г*=( — 2') '14 Внутри сферы радиуса г" давление равно нулю.
На рис. 85 кривая 1 дает распределение давлений в жидкости, которое в переменных зз ' Г представляется универсальной кривой. 1) Задача о точечном взрыве в идеальной сжимаемой среде рассмотрена в работах: Кочина Н.Н., Мельникова Н.С., О сильном точечном взрыве в сжимаемой среде. ПММ, т. 22, вьш. 1, 1938, стр.
3 — 13, и К а рликов В.П., Коробеиннков В.П., Рязанов Е.В., Приближенный метод решения задачи о взрыве в некоторых идеальных сжимаемых средах. ПМТФ, № 2, 1963, стр. 132 — 134. 272 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШНЕСЯ ДВИШЕНИЯ ГАЗА 1тл. 1В Максимальное давление падает обратно пропорционально 1'1, причем максимум давления достигается независимо от времени при г~(гршах = 4 ч| Откуда Ртах 1 4Г 4 (О ) (11.34) В найДенном Двил1ении сУЩественно только отношение Ео4Р,. Голи р, ~ О, то движение несжимаемой жидкости при точечном взрыве, так тке как и для газа, не автомодельно. Однако в этом случае полное решение легко получить в простой аналити ческой форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
