Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Рассмотрим одномерную область Г. Пусть она будет окруж- ностью большого круга «сферы направлении» (см. рис. 1.5). Дан- ную траекторию можно описать зависимостью ~р (О) = сопв1, [О[~и/2, Тогда из (1.65) следует, что дч =ЙО и, следовательно, функция Н в (1.63) равна «12 Н,(и, е, 2в; е)= [ 6(исоа рв1п9+ов(пев!пΠ— есовО)иО. -«12 Произведя вычисления аналогично предыдущему случаю для Н„ получаем Н,(и, о, пг! р) = [(и сов ~р+ о з!п р)2+ А»)-'". (1.69) (1.70) Так как результат интегрирования не за~висит от ф, то На обладает цилиндрической симметрией. Тогда На (р, в; 6) = ~ 6 (р соз е — те/!и 6) байр. ЗяГЯ„М~ Рвс. 1.6, Пвлввярвческвй р-фвльтр Рве.
1.7. Произвольная траекторвя скаввроваввя трехмерного об»акта 4е Подставляя в (1.69) соотношения (1.51) при условии нг, =О, находим, что ба(и ° о ) = Н, '(и„о, О) — ~ и, ~ т. е. данный двумерный фильтр по одной оси и, является одномерным р-фильтром, а по другой оси с«он постоянен.
На рис, 1.6 схематично представлен вид фильтра. Назовем фильтр типа бв цилиндрическим р-фильтром, а ось, вдоль которой он постоянен (у нас ось ое), — осью фильтра. Таким образом, при линейной траектории проецирования требуется фактически одномерная фильтрация двумерных проекций цилиндрическим р-фильтром. Данный результат был ранее нами получен в (44).
3. Рассмотрим также одномерную область Г. Пусть она является окружностью, не совпадаюшей с любой большой окружностью «сферы направлений». В этом случае вектор т описывает конус. Данная траектория определяется зависимостью 0(ф) =сопя(чеп12, 0<ф<2п. Согласно (1.65) г!т = !з!и О!дф и поэтому функция Н в (1.63) равна Н (и, о, м; 6) = ~ 6(исоа р з!и 6+ о з(п ср з!и 6 — агсоз6) ! з(п 6 ) !Ь~р.
е Введем в плоскости (и„и) полярные координаты (р, тр). Тогда Нв приводится к виду Ве На(р, ф, тв; 6) = ~ 6 (рсоа (р — Ф) — тв,й66]сйр. е проекций, который получен из сложных эмпирических рассуждений и совпадает с фильтром Оз. 4 Рассмотрим произвольную одномерную область Г. Пусть оиа описывается зависимостью ~р=ф(8).
В этом случае конец вектора т описывает на «сфере направлений» некоторую линию Г (рис. 1.7). Функция Н будет равна ч2 Н,(и, о, яв; 9) = ] 0[исоз ~р(6) з(п 9+ о з!п ~(0) з)п 9— — чг — тв соя 0[)/" 1+~р,'з я!п'9 ЫО. Для вычисления этого интеграла используем свойство 0-функций (1.71). Уравнение и(8) =0 приводит к следующему уравнению для углов 8: и совр„я!п 0„+о з|п у„з!п6„— тв соя 0„=0, (1.74) где р =у(0~). Данное уравнение имеет простую геометрическую интерпретацию. Используем тот факт, что уравнению (1.74) удовлетворяют лишь те углы у„ О„ при которых одновременно выполняются равенство (1.74) и тождество ф,= — у(0,).
Первое равенство (174) определяет в пространстве координат и, о, ш плоскость, проходящую через начало координат. Нормаль к этой плоскости имеет полярный О„и азимутальный у„углы, Вторая зависимость на единичной «сфере направлений» в частотном пространстве изображается линией Г. Поэтому корнями уравнения (1.74) являются полярные углы О, единичного вектора т„, выраженные через частотные координаты точек пересечения линии Г с окружностями больших кругов; ориентированных в пространстве координат и, о, ш (см.
рис. 1.7). Нетрудно проверить, что 2-й и 3-й случаи также укчадываются в данную интерпретацию. Заметим также, что похожая интерпретация приведена в (43]. Согласно свойству (1.71) для вычисления Н«необходимо также знать значения производной функции и(0) в точках 0«и д' (9„) = и [сов ~р„сов 9„— ~р' (О,) в1п о з!п 6„] + + и [в)п у„соз 6„+ а' (6„) соя О„з1п 9„] + ю я(п 9,. Выражая ш через и, о, ф„О, из равенства (1.74) и подставляя результат в д'(8„), получаем д" (О„) = и[сов ~р /соя 0„— р'(6„) я!п р„з)п 6„] + + о [ гйп а„/ соз 0„+ у' (6„) соз р„в)п 6«].
После несложных тригонометрических преобразований, находим К'(6„) = (1/соя9„соя а„) [и совр„+ и я!и ~„], (1.75) где р„= а„— а„; !и а„= — р[(0„) з(п О„сов 0„. (1.78) 4З Тогда О ( ) ~ч)~~) +(р~( )) 1 (1 77) ) д'(0„) ) Выражая д'(Ол) через координаты (и„п„тп, ) при условии яв,=О, окончательно имеем О~(и„пз; О, р) = Н '(и,, Фю О) = 1 соз О„созе, 1 1'"1+[фа'(8„))з 81птй„( (1.78) ( и, соз 8 соз (Ца — со)+и, з)п (р„— 'р) 1 Видно, что н в общем случае восстанавливающий фильтр распадается на сумму слагаемых„каждое из которых зависит от модуля линейной комбинации частот и, и р„а также сложным образом от тригонометрической комбинации этих координат„Из (1.78) следует, что эти составляющие постоянны вдоль некоторых направлений, которые определяются углами у, с осью и, из соотношений 1п Т„= — 1д (~„— Р)! соз 9.
(1.79) Вид фильтра сг', существенно упрощается, если потребовать монотонности функции ф=пз(0) во всем диапазоне изменения угла О. В этом случае для любого направления проецирования т(6, ф(0)) плоскость, перпендикулярная к е, пересекает линию Г на «сфере направлений» лишь один раз — в точке, положение которой определяется вектором, ортогональным вектору т.
Поэтому уравнению (1.74) удовлетворяют углы 6, ф(6), определяющие направление проецирования е. В этом случае в выражении для фильтра Сь (1.78) остается одно слагаемое от суммы для 0,=0, Тогда имеем й, (и„ш,) 0) = (и„+ п„рз' ь!и 0 (/ ~') + (Рз' з!и 8)~, (1.80) т. е. данный фильтр является цилиндрическим р-фильтром, постоянным вдоль оси, составляющей угол агс1п (фз' з)п0) с осью и„. В 5 14 будет выявлен физический смысл этого угла. 1.4.
КЛАССИЧЕСКАЯ ТОМОГРАФИЯ Еще до появления методов современной вычислительной томографии была широко распространена так называемая классическая томография [11. Иногда данный тип томографии называют также продольной толгогрьфией, томографией фокальной плоскости и т. д К,чассическая томография является чисто аналоговым методом восстановления информации о внутренней структуре объектов, суть которого заключается в следующем Источник зондирующего излучения 1 (рис 18) и регистратор 3 движутся навстречу друг другу в параллельных плоскостях А и С Изображение плоскости В внутри объекта Д в котором лежит точка пересечения осей зондирующего пучка, на регистраторе 3 будет неподвижныч Изображения любой другой плоскости объекта будут счещаться по регистратору а при одновременном движении пары источник — регистратор.
Позтотгу на регистраторе записывается сумма четкого изображения сечения В («фокального» сечения) и смазанных движением остальных сечений объекта, которые создают низкочастотный фон. 44 у лр с Ф бв449,Р Ур Рис. ! 8. Схема классической гомо- Рик !.9 Схема классической томографии с линейным перемещением графин с произвольной плоской тра- екторией сканирования Траектории движения источника 1 могут быть и одномерными (линейными), и двумерными Модели классических томографов описаны в (1, 46).
Многие из них ло настоящего вреиени широко используются на практике из-за простоты, дешеьнзны, чалой дозы облучения [1, 46) Поэтому представляет интерес задача мзтечатнческого описания методов восстановления изображений в классическь, томографах с целью нахождения способов улучшения их качества. Это позвоюю повысить диагностическую ценность классических томограмм. В (44) приведен адеквзтный способ описания процесса восстановления классических томограмм Однако он был ограничен лишь схечзми с линейной траекториеи пары источник †регистратор. В настоящем параграфе мы распространим этот подход на случай произвольясп двумерной траектории перечещениз источника, Модель основана на методах трехмерной томографии, развитых в $ ! 3 На рис 1 9 приведена схема зондирования и записи проекций трехмерного объекта !'(х, у, г) в классических томографах с перемещением источника и регистратора Предполагасы, что источники зондирующего излучения и регистраторы движутся или располагаются в плоскостя~, параллельных, например, плоскости ту объекта Оси зондирующих пучков пересекаются в начале системы координат х, у, г, связанной с объекточ Предполагаем также, что плоскость источника находится на таком расстоянии от объекта, что можно считать зондирующий пучок в области объекта параллельныч Положение источника можно описать двумя углаии 8 и 9 или же его траекторией г=г(9), где г, 9 — полярные координаты в плоскости источника, связанные с угловыми координатами соотношением г= — й„!а 6 (гч — расстояняе от центра объекта до плоскости источника).
При описанной схеме зондирования выражение для двумерной проекции запишется в виде ф (х, у; 6, Р) = ~ )и(х — л16 6 Сов<у, 9 — Х1м681п Р, ь) 4Ь. (1.81) Данная формула для проекции имеет простой геометрический смысл. Если трехмерный объект разбить на слои г=сопз(, то проекция просто равна сумме данных слоев, сдвинутых соответствующим образом. Величина сдвига (см. рис !.9) слоя а=сопя! вдоль оси л равна г(я 6созф, а вдоль оси У вЂ” г !я 8з!п~р. 45 Заметим, что при такой записи все проекции лежат в одной и той же плоскости, параллельной ху. Применив двумерное преобразование Фурье к правой и левой частям (1 81), получим Ф (и, ю; 6, р) = ) Цу (х-г 16 6 сов р, у-г 1д 6 81п р, г)е-и +сг!12Ыхсгу.
(1.82) Сделаем замену координат х — х166соз 6=6, у — х(нее!пф=г), тогда из (182) следует Ф (и, ю; 6, <р) = Щу (Е, т), г) ехр ( — Е (иЕ+ тгт)+ + (и 1д 9 сое р -)- ю (и 6 з!и р) г) ] <тхаг(т). Сравнивая полученное выражение с определением трехмерного преобразования Фурье исходной функции ((к, у, з) во (и, тв, жв) = Щу (х, у, л) ехр ( — ( (их+ тгу )- твщ)г)6хг(уйъ, получаем теорему о центральном слое для двумерных проекций, зарегистрированных в плоскости ху: Ф(и,ю! 6, (г) =Р(и, ю, вв) („аг в в +сгквмав. (1.83) Смысл данной теоремы заключается в том, что для каждого направления зондирования 6, е значение фурье спектра проекции Ф(и, о, 6, ф) в любой точке с координатами и, о совпадает со значением трехмерного фурье-спектра истодной функции Р(и, о, ю) в точке с координатами и, о, и!п6 созе+о!66ып<р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
