Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 6
Текст из файла (страница 6)
3. Пусть дано некоторое линейное преобразование переменных х1, хз, ..., х„, такое, что Ах =- у или и у„= '«~Аз,хг(А=1, 2, ., а), де1 ) Аа, ) +О. !ьа Тогда преобразование Радона функции )ч(/(А-!х)) можно представить в виде' р [ г (А — ! х)! = 1 у (А-! х) 3 (р (й, х)) с/х ьм ) <1е1 А 1 ) у (у) й (Р— — (й, Ау))а!у= ) бе(А1 ~~(у)й(Р— (А-з$, у))сКу= ! де1А! Х Х У(А-!В, Р), (1.11) где х=А — 'у; А-' — линейное преобразование, сопряженное преобразованию А. Это свойство целесообразно проиллюстрировать примером.
Пусть надо найти преобразование Радона функции /,(х, у) =екр( — х/а)!— — (у/Ь)'1. Тогда исходной функцией является /(х, у) =ехр( — х' — уз), а прсобразованйе коордвнат имеет вид А ( ), А'=( ). Сопряженное преобразование единичного вектора Е есть нссдиничнмй вектор =А-! Е =(асов ф, Ь в!и !р). Используя (111), после нормировки на )Ч1 = тГ о' соз'!р+Ь' з!п'!р можно записать гс ехр — — — — = дс1 ( А ~ ~(Р, А'Е) = (1.14) 4.
Если дана функция !(х — а)=х~ — аы хз — аз, „,, х„— а„, то не- трудно определить ее преобразование Радона: К[У(х — а)[= ~~(х — а)3(р — (й, х))Нх= = [у (у) Ь(р — Д, а) — Я, у)) ду = )т(р — (й, а)). (1.12) Приведем пример: К [ехр [ — !х — а)' — (у — Ь)з[) = )~г ехр [ — (р — р,)з[, где р»=($, а) =асозЧ~+уз!п<р. Из выражения (1.12) и примера видно, что смещение функции в пространственной области приводит к сдвигу проекций вдоль р, причем величина сдвига зависит от угла зондирования р. 5. Преобразование Радона от производной функции !(х) = =[(хь хь ..., х,) можно определить из выражения К[ ~Ч 1[ ! Н(р 1) = » Ф ~ дх» ~ др где !(р, й ) =К[!(х)1 В общем случае это свойство можно записать в виде К~~໠— ! =(а, $) — — — ' дУ 1 дУ(р.
й) (1.13) дх„ [ др Из данного свойства следует, что дЧ 1 д»1(р, Р [ дх,дх» [ др' или в более общем виде /д1 где Р~ — ! — однородный многочлен степени А с постоянными [,д ! коэффициентами. 6. Производную преобразования Радона !(р, $) по одной нз компонент а» можно представить в виде ~~() д (! .15) Используя следующее свойство б-функции: д д — 3(р — ($, х)) = — х» — й(р — ($, х)), а, ' др (1.!5) можно переписать в виде — — — х у'(х)3(р — (й, х))дх ду д Г д$» др,) — К [У (х)] = — — Н [х„У(х)].
(1 Лб) д д д!ь др 1.7.8. Связь преобразования Радона и преобразования Фурье Одним из важнейших свойств преобразования Радона является его связь с преобразованием Фурье. Введем следующие обозначения для и-мерного преобразования Фурье функции [(х) =[(хы хз,, х„): где 1 — действительная переменная. Тогда, введя обозначения та=ай($ — единичный вектор) и (=ар, нетрудно получить Р(а4) = ] а ] ] с(р ] с(ху (х) е-и™ ь (зр — (аи, х)) = дре-" и] 7(х)Ь(р — (й, х))с(х или с учетом (1.5) Р(ав) = ~ ~(р, $) и-и 'Рг(р, (1.19) Из (1.!9) следует фундаментальная связь между и-мерным преобразованием Фурье и преобразованием Радона: для того чтобы осуществить и-мерное преобразование Фурье функции, необходимо сначала выполнить ее преобразование Радона, а затем осуществить одномерное преобразование Фурье проекции по ее радиальной переменной.
В операторном виде зто записывается достаточно просто: Р = !р ~ [У] =- У 1 1( Ш. Однако, учитывая линейность, данное преобразование можно представить в виде й[Л=У ~'У."[Л 25 Р (гз) = У +' [7' (х)] = ]г г'(х) е а'"" Ых, где гз= (ьч, газ, ..., ьь,) — координаты в частотной плоскости; й +'[[(х)] — оператор п-мерного преобразования Фурье. Обратное преобразование Фурье представим в виде 7 (х) = Я вЂ” ' [Р] = ] Р(м) евн(" *>де, (1.18) Для того чтобы выявить связь между преобразованиями Радона и Фурье, запишем (1.17) в следующем виде: Р(ь) = [" сй ~ бхай'(х) е-" %(~ — (гз, х)), т.
е. для того чтобы вычислить преобразование Радона функции, можно определить ее п-мериый фурье-образ и взять обратное одномерное преобразование Фурье по одной координате Особенно это удобно для анализа двумерных функций, где существуют многочисленные таблицы преобразований Фурье от различных функций. Рассмотрим следующий пример [12! Пусть дана функция Г (х, у) = (х'+у') е — '<" +т'1. Ее двумерный фурье-образ известен и равен г'(и, е) = — — (и'+ ез) е — "1"ееч. Г 1 Введем новые координаты и'+о' а~ 3[, где [ ! 1=1, тогда р (а$) = — — ат е Г1 а его одномерное обратное фурье-преобразование равно преобразованию Радона от функции [(х, р): "Г! х(р,е [ [ — — ') -"'е'~э = о» = — е- чг — 2 аа е-"'* соя (2мар) саа.
Последний интеграл известен [12[, поэтому окончательно можно записать следующее. Г(р, $) = ~ — -[- рт) е-ал'. ~ 2к В дальнейшем мы в основном будем анализировать преобразование Радона двумерных функций. В этом случае из (1.!9) можно определить следующую связь между фурье-образом проекций и спектром функции р(х,у): Я"+'Й[Г'1 = ~ Ырехр(-(2мм р) ~)гу(х, у)й(р — х созр— — у я[и р) сКхсКу = Ц у (х, у) ехр 1 — 12к (х соз р + у з!и р) ю ~ сКхс(у. Ю (1.20) Из (1 20) следует, что фурье-образ проекции представляет собой спектр функции Г(х, у) вдоль прямой ю соя ф+гоаз!и ~у=О, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом яр+и/2.
Он является одномерным центральным сечением двумер ного фурье-образа функции 1. В литературе это свойство называют теоремой о центральном слое или центральном сечении. 26 7Л.4. Представление функции через ее преобразование Радона Решение задачи восстановления функции из ее интегралов по гиперплоскостям было впервые получено Радоном. При этом было показано, что формулы, выражающие функцию 7(х), различны для пространств четной и нечетной размерности.
Мы приведем различные представления указанных формул без доказательств, которые подробно рассмотрены в (12], и ограничимся лишь случаем двух и трех переменных. Преобразование Радона имеет формулу обращения, которая для двумерной функции 1(х) представляется в виде ]2,3] 60 У (х) = — С ~ У($ Р)(Р— Е,х — Е,У)'с(Р(Е,дЕз — ЕУХЕ,), (1.21) 4чз где à — произвольный контур в пространстве Е, охватывающий точку Е= О. Знак 3 означает, что интеграл берется в смысле главного (регулярнзованного) значения. Перепишем (1.21) следующим образом: у'(х, у) = — ф(!1рЕз — Езс(11) ~ ' ' ~ с(р. (1.22) 4 ' „(р — Ех — Еу)' Выбирая контур Г в виде окружности единичного радиуса, получаем х = г соз ф, у = г з]п ф, Е, = сов в, Ез — з)п ~р. Тогда ь У(г, ф)= — — ] И9 1 У~р' 9)~р (1.23) 4пз, „]р — г соз (ч — ф)]' или в смысле регуляризоваиного значения у(г, е)= — — ( Юр ! ~(' ' т у( ' ' ~) Г( ' ) с(р.
(1.24) 4яз о" о" '1р — г сов (р — ф)]з Выражения (1.23), (1.24) представляют собой запись решения ин' тегрального уравнения Радона (3]. Возможно также и другое представление формулы (1.22): 2л 1 дуг(р, <р) ,)г(г, ф) = — ) де Ир. (1.25) 4я', -„р — г соз (ч — ф) др Формулу (1.23) можно записать в виде г(.. е= — —,— ~,е~ '~'" " 1~ где Я(л — оператор преобразования Гильберта, равный внутреннему интегралу формулы (1.25). 27 Эквивалентной записью является и следующее представление (1.22): зк ! 7 (г, )) = — — ) д~р ~ ~(р, Р) др =— 4з' а „' [Р— г сов(Р— ф)[' — — [ Фр ~ ' !и ! р — г соз (Р— ф) ! гРр.
(!.28) дту(г, Р) а — Р Формула обращения для функции трех перменных 7(х) опре- деляется выражением 7 (х) — — — Ь ) 7 1(З, х), В) аф = — — ) г(й. Гдз7-(д,х), ) (1.27) Здесь интегрирование ведется по сфере единичного радиуса с центром в начале координат; Ь вЂ” оператор Лапласа. Выражение (1.27) может быть представлено в виде дз дз дг У(х, у.
х)= — — ~ + — + — !Х 8пг ~ дха дух дат / Х) )" (О,х+О,у+ ! з, $)ай, г при зтом единичный вектор З и ЙЗ определяются выражениями ф =(з(п Осоз Р, з!и О,з1п Р ° сов О), сайф= з)п ОсУО1йр, где 8 — полярный, а у — азимутальный углы. Анализ и сопоставление формул обращения для двумерного и трехмерного случаев позволяют увидеть их основное отличие. Для трехмерного случая формула обращения локальна, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
