Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 3
Текст из файла (страница 3)
величиной Л, Фактически это соответютвует луч-сумме функции 1(х,у) вдоль прямой Е. Последовательное движение экрана позволяет сформировать проекцию )'(р) функции )(х,у) под заданным углом ср. Очевидно, что, изменяя направление движения непрозрачного экрана, нетрудно получить полный набор проекций исследуемой функции. На первый взгляд такой метод получения проекций носит несколько искусственный .характер.
Однако он нашел широкое применение в радио- н рентхеновской астрономии (11, 12), где приборы, предназначенные для лналнза изображений в соответствующем диапазоне длин волн, имеют низкое разрешение, Третий метод получения проекций функции ) (х, у) специфичен для оптического диапазона. На рис. В.З приведена схема получе.ния проекций изображения, представленного на экране. Цилиндрическая линза д фокусирует излучение, прошедшее через транспарант с изображением, на регистратор в виде линейки детекторов.
Нетрудно заметить, что линза фактически интегрирует падающее яа нее излучение вдоль прямых, перпендикулярных образующим цилиндра, т, е. в фокальной области формируется проекция )(р). С помощью вращающейся вокруг оптической оси призмы Дове 2 нетрудно последовательно сформировать полный набор проекций функции )(х,у). Указанный метод получения интегральных харак.теристик применяется в настоящее время в системах обработки изображений (131. й)ы выбрали эти три способа получения проекций двумерных .изображений по двум причинам.
С одной стороны, они очень важ-' ны для практических применений и часто встречаются, с другой— очень наглядны и могут быть пояснены с помощью простых геометрических построений. Разобранные три примера не исчерпывают все многообразие ситуаций, когда информация о тех или иных физических объектах Рис. ВЛ. Схема получения проекций оптических изображений: П вЂ” транспарант с пзображенпец; 2 — прлзма дозе", 3 — цяляяцрячесяая ляяза; а — реся- стратар 10 тсоу Рнс. В.4. Схема восстановления томограмм но алгоритму суммирования обратных проекций; а — получение проекций; 6 — суммирование обратнмх проекций или процессах представляется в виде их интегральных характеристик, которые могут быть интерпретированы как проекции. Ряд из них, имеющих существенное прикладное значение, но носящих специфический характер, мы рассмотрим в гл.
7 настоящей книги. Как уже отмечалось, И, Радоном была получена формула, поз- воляющая определить по набору проекций ((р,1р) саму функцию .7(х,п), т. е. решить обратную задачу. Однако работа И. Радона долгое время была известна только узкому кругу математиков, что привело к появлению целого ряда работ, в которых были предложены конструктивные алгоритмы восстановления, лишь косвенно связанные с формулой обращения.
Это объясняется в первую очередь тем, что понятия интегральной геометрии, как справедливо отмечалось в 13), носят очень наглядный характер и легко иллюстрируются простыми построениями. Рассмотрим два алгоритма восстановления изображений по проекциям. Первый из них носит название алгоритма суммирования обратных проекций. На рнс. В.4,а представлена схема получе- ниЯ тРех пРоекций фУнкции )(х,У) под Различными Углами 1Ро 1Рй, «ра. Полученные функции 1„(р), )'., (р), 1„(р) представляют собой исходные данные для последующего восстановления распределения 1" (х,у), Преобразуем каждую из полученных проекций таким образом, чтобы получить из нее двумерную функцию, которая постоянна вдоль оси д, перпендикулярной оси р.
Эта операция называется обратным проецированием, а функция ут (Р,ч)— обратной проекцией. Затем набор обратных проекций просуммируем между собой, повернув предварительно каждую из них на соответствующий угол получения проекции. На рис. В.4,б приведен результат такого суммирования обратных проекций нашего 11 Рнс. В.5.
Суммарное изображение точки а — огрлиичеипое число проекции; 6 — бескопечисе число проекциа тест-объекта. Получившаяся функция з(х', р') носит название суммарного изображения. Из рис, В.4 видно, что функции ((х,у) и з(х',у') имеют много общего. В частности, неоднородности, характеризующие ((х,у), достаточно явно проявились на суммарном изображении. Существенным отличием является наличие артефактов вокруг каждой из неоднородностей. При увеличении числа проекций зти артефакты будут сливаться между собой.
Нетрудно заметить, что каждая точка в суммарном изображении будет превращаться в многолучевую звезду (рис. В,5,а), а в пределе при бесконечном числе проекций превратится.в функцию вида 1(г (рис. В.5,б). Рассмотренный алгоритм был предложен Б. К. Вайн- Рнс. В.6. Схема восстановлении томограмм ио алгоритму фурье-синтеза: а — получение проекции; б — фурье.спектр про. екцни: е — фурье-спектр томогрлммм шгейном для исследования кристаллов [8). В [12[ даны его детальный анализ и связь с преобразованием Радона.
Приведенные там простые геометрические построения позволяют достаточно четко увидеть, по какой с.,еме можно синтезировать из набора проекций исследуемую функцию. Другой простой и наглядный алгоритм основан на связи фурье- преобразований функций /(х,у) и /(р). Представим функцию /(х,у) в виде набора синусоид, произвольно ориентированных в пространстве и постоянных вдоль одной из осей. На рис. В.б,а приведена одна из них. Рассмотрим проекцию синусоиды, полученную таким образом, что направление зондирования совладав~ с образующей синусоиды. Нетрудно заметить, что она также будет представлять собой синусоиду, период которой совпадает с периодом исходной функции.
Если направление зондирования не совпадает с образующей синусоиды, интеграл от нее вдоль любой прямой будет равен нулю, Таким образом, в фурье-спектр проекции, полученной под углом у, внесут вклад только те пространственные частоты функции /(х,у), образующие которых параллельны направлению зондирования, Если мы рассмотрим преобразование фурье-проекции Р, (ы ), то увидим, что оно совпадет с распределением фурье-образа Р(и,п) двумерной функции /(х,у) вдоль линия, проходящей через начало координат и перпендикулярной направлению зондирования (рис, В,б,б).
Нетрудно заметить, что фурье-образы всех проекций позволяют определить в час~отпой плоскости значения всех компонент спектра пространственных частот функции /(х, у) (рис. В.б,в). Однако из рис. В.б,а видно, что информация о Р(и,о) задана в частотной области неравномерно. Низкие пространственные частоты определены в ббльшем числе точек спектральной плоскости, а высокие †меньшем.
Причем плотность задания спектральных компонент уменьшается в зависимости от р= р' и'+о' по закону 1/р. Естественно, что для восстановления функции [(х,у) перед выполнением двумерного обратного фурье-преобразования необхолимо выполнить предварительную фильтрацию суммарного спектра всех й1~ проекций функцией [р[ (рис. В.7).
В литературе такое преобразование получило название двумерной р-фильтра- ~~ ' 1 [ [ /'/, ции. Впервые данный алгоритм был применен для получения изображений кристаллов [91 Мы рассмотрели два алгоритма, которые на основании простейших геометрических построений позволяют понять, каким образом можно нз интегральных характеристик изображений- проекций восстановить искомую функ- рнс,п.7. днумернмя цию.
Связь этих алгоритмов с форму- р-фильтр 13 лой обращения Радона и их математическое обоснование будут приведены в первой главе, здесь, во введении, мы хотели лишь подчеркнуть, что основы томографии достаточно очевидны и прос ты для понимания, Вл. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОМОГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ МНОГОМЕРНЫХ СИГНАЛОВ Успехи томографии как метода исследований внутренней структуры объектов привлекли внимание ученых к возможности использования интегральной геометрии для решения це.юго ряда практических задач, не связанных с диагностикой скрытых структур.
Не случайно в целом ряде книг, посвященных томографии [11, !2], делается упор на восстановление функций по их интегральным характеристикам (проекциям) независимо от способа получения последних, т. е. томография понимается как метод отображения и обработки информации [14]. Рассматривая томографию как новый метод переработки, преобразования и отображения многомерных сигналов и изображений„ можно выделить несколько направлений, которые описываются в следующих параграфах. В,2.7. Томографическая обработка изображений Под данным направлением понимается совокупность методов и средств, позволяющих производить восстановление изображений по их проекциям, полученным различными способами.
Такое восстановление необходимо, когда информация о каком-либо изображении представлена в виде интеграла. Подобная ситуация возникает в радио- и рентгеновской астрономии при сканировании неба линейными приемниками [7], в радиолокационных системах (РЛС) бокового обзора [15], сейсморазведке [!6], хронотомографии [17] В2.2. Обработка изображений в пространстве Радона Преобразование Радона трансформирует изображение в одномерный сигнал определенного вида, что позволяет вычислять свертку и корреляцию двух изображений [13], линейную и нелинейную фильтрации, сжатие и кодирование информации [18] в устройствах, предназначенных для обработки одномерных сигналов, Оценки показывают, что использование современных элементов оптоэлектроники (устройств, использующих поверхностные акустические волны, акустических модуляторов и т, д.) позволяет таким системам обработки изображений успешно конкурировать с другими, аналогичными по назначению устройствами [13].
В.2.3. Трехмерное отображение информации В данном направлении прежде всего представляет интерес определение формы поверхности по набору ее многоракурсных изображений, при котором используются методы томографии [19]. Актуальны также задачи построения дисплея, позволяющего 14 формировать трехмерные изображения из набора сечений [20], причем таким образом, чтобы избежать эффекта затенения одних сечений другими. Интересным является направление, связанное с сочетанием голографических и томографических принципов для трехмерного отображения скрытых структур. В.2А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
