Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 5
Текст из файла (страница 5)
К этому же типу 1В устройств относятся оптические томографы, использующиеся для измерения оптических характеристик объекта и совмещения в единой оптической схеме этапов зондирования и восстановления томограмм. Томографическне методы в оптике начали применяться в середине 50-х годов.
Так, в работах советских ученых (см,, например, [34)) описано восстановление распределения плотности газа в аэродинамических потоках. Однако из-за сложной для того времени экспериментальной техники и несовершенных методов обработки они не получили широкого распространения. Новый этап применения томографии в оптике начался с появления голографической интерферометрии, которая существенно упростила регистрацию проекций — интерферограмм.
В работе П. Д. Роули (1968 г.) было указано на возможность восстановления трехмерного распределения показателя преломления внутри объекта. В течение последующего десятка лет данное направление получило дальнейшее развитие в работах зарубежных [35) и советских ученых [И. Н. Штейн (1972 г.), Ю. И. Филенко (1972 г.), Ю.
П. Пресняков (1976 г.)), возглавляемых В. М. Гинзбург [36). В указанных и последующих работах (см., например, [12, 37)) была рассмотрена возможность применения томографии с голографической регистрацией проекций для диагностики плазмы, газо- и гидродинамических потоков, явлений тепло- и массообмена, стекловолокна и т. д.
Успешное применение указанных методов для измерения распределения показателя преломления стимулировало использование томографии для исследования других оптико-физических характеристик объектов. К таким характеристикам можно отнести пространственное распределение показателя поглощения внутри объекта и коэффициент экстинкции, особенно важные для исследования рассеивающих сред. Представляет интерес также распространение принципов томографии на исследование самосветящихся объектов, Эмиссионная оптическая томография наиболее глубоко рассмотрена в [38). Рассмотренная классификация томографических методов исследования внутренней структуры основана на уравнении распространения поля в объекте, количестве регистрируемой информации и виде системы реконструкции томограмм.
Она обладает, на наш взгляд, тем достоинством, что позволяет, во-первых, использовать достижения томографии, полученные при различных видах воздействия, во-вторых, проследить весь путь построения томографической системы от анализа взаимодействия излучения с веществом до конкретного устройства восстановления томограмм и, в-третьих, увидеть другие возможные направления применений томографических принципов для восстановления полей разнообразных величин, характеризующих объект. Перечисленные направления, конечно, не охватывают всю область применения топографической обработки информации, но, являются наиболее перспективными для практического применения.
Развитием томографии для диагностики внутренней структу- 2* 19 ры> объектов в различных диапазонах зондирующего излучения занимаются достаточно широко как у нас в стране„так и за рубежом Однако применение томографических методов в информатике для переработки, преобразования и отображения многомерных сигналов и изображений пока не получило широкого распростра- нения Глава !. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТОМОГРАФИИ 1.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА И ЕГО СВОЙСТВА Рне.
1.1. К определенню пре образованна Радона 20 Р=ХСОЗ О+УЗ(ПРе (!.2) В основе математического аппарата томографии лежит интегральная геометрия, и в первую очередь преобразование Радона. При анализе оптических томографов мы будем широко использовать свойства этого преобразования В настоящем параграфе рассмотрим основные математические понятия интегральной геометрии, определение и свойства преобразования Радона.
Мы будем следовать работам [3,!2), посвяшенным подробному анализу перечисленных вопросов При этом будем стараться, может быть в ущерб математической строгости, не выходить за рамки институтского курса математического анализа Свойства преобразования Радона и формулы его обращения целесообразно рассматривать не только для двумерного случая, но и для функций трех переменных, так как в последнее время появились работы, в которых исследуются функции, зависящие от большого числа параметров.
1.1.1. Определение преобразования Радона Пусть дана функция р(х,у), которая определена в некоторой области Р Рассмотрим некоторую прямую 1. на плоскости ху, пересекаюшую область Р. Тогда, интегрируя функцию 1(х,у) вдоль линии 1., получаем проекцию У или линейный интеграл функции !. Интегрирование вдоль всех возмож- 3 цых линий 1. па плоскости позволяет определить преобразование Радона р функции ((х, у), т. е. 7 = И1' = ~ у'(х, у)гЬ. (!.!) е где е(з — приращение длины вдоль прямой 1, Преобразование Радона может быть представлено в другом виде За! пишем нормальное уравнение прямой 1.: (рис.
1.1); где р — расстояние от начала координат до прямой ~р — угол между р и х. Используя выражения х =р соз р — з я'п р, у =р яп у+ з сову, )'(р, $) = Ц г (х)6(р — ($, х))ах (1Л) или с учетом (1.4): ~(р, ~р) = Д 7'(х, у) 6(р — х соз р — уяп р)Нхду. (1.6) При фиксированном угле гг проекция 1(р,гр) изменяется по р в направлении, определенном вектором К. В тех случаях, когда функция 1(р,~р) известна только для некоторых значений р,~р, можно говорить о выборке из преобразования Радона или лучсумме Если задана функция трех переменных 1(х,у,г), тогда, используя векторную запись х=(х,у,г) и единичный вектор К, можно записать уравнение плоскости интегрирования функции 1: р = (х, ф) = 11х + Егу -1- Е~г.
Преобразование Радона будет иметь следуюгций вид: ,7' (р, $) = ) 7'(х) 6(р — Я, х)) с(х, (1.7) где р — расстояние от начала координат до плоскости интегрирования, К вЂ” единичный вектор вдоль р, который определяет ориентацию плоскости Хотя выражение (1.7) мало отличается от двумерного преобразования Радона, представленного формулой (1 5), необходимо помнить, что в (1 7) интегрирование ведется по плоскостям, а не по прямым. (Здесь и далее, если не указаны пределы интегрирования, то оно ведется по бесконечным пределам ) Очевидно, что для полного задания преобразования Радона необходимо знание ( для всех.р и ф. нетрудно записать У(р ~)= НУ= ~ У(рсоа~ — хз1пЬ рз(п~+х сов з)гЬ.
(1.3) Если функция 1 равна нулю вне области Р, то пределы интегрирования в (1.3) могут быть конечны. Используя векторную запись прямой на плоскости, формулу (1.2) можно представить в виде р =(х, ~) = х сов з+ у яп з, (1.4) где $= (соз~р, з(п~р) — единичный вектор вдоль оси р; (х, $)— скалярное произведение двух векторов. Тогда преобразование Радона может быть записано с использованием Ь-функции для выделенной прямой р=(х, $): Рассмотрим два примера преобразования Радона конкретных функций.
1. Пусть 1'(х, у) = е-" тогда У= [чу= Це- «'й(Р— 1,х — 1,у) с[хЫу. Иепользовав ортогональное линейное преобразование прнведем 1 к виду о« з« )' ([«, с) =- Ц е-"' 'й(р — и) йиг[тг = е — и' ~ е-~Ыв = рг'и е — и', тогда Й!е- «') =)/и е — и'. 2. Рассмотрим преобразование двумерной гес1-фуннции [121, определенной формулой [1 при 0(х(1, 0 < у(1, «л(х у) = [О при остальных к. и. 0(р(в!п~р, з1п о сове 1 — з!пуавр< сов ф з!и р+совгр — р сов и, сов о "р < в[п р+ соз р. в[п р сову 1.1.2.
Свойства преобразования Радона Для определения свойств преобразования Радона используем формулу (1.5) как наиболее удобную. !. Преобразование [(Р, $] есть однородная функция со степенью однородности 1, т, е. у'(ар, аЕ) =)1(х) о(ар — (ай,х))гКх= Рнс.1.2. Преобразование Радона двумерной гес1-фуннцнв 22 Из соображении симметрии ясно, что проекции можно рассматривать только в области изменения углов О(гр<и~4 Нетрудно заметить, что можно выделить три различные области определения проекций при фиксированном ф (рнс 1.2, прямые Д 2 и 3). Вычисляя длину отрезка прямой внутри области задания функции [(х, у), можно получить значения иреобразования Радона: ) а ) ') / (х)о(Р— ($, х))!/х= ( а ( -г/г(Р, й) (1.8) для аФО, Нетрудно заметить, что при а= — -1 У(=» — й) =У(Р $).
(1.9) т. е. преобразование Радона есть четная функция. Из выражения (1.8) следует, что при фиксированном р, меняя значения $ можно полностью определить преобразования Радона функции /(х), Действительно, полагая з)=ай, ! т) 1 =а>О, можно записать у (Р, т)) = у (р, ай) = ] к (-зЯР/а, 9). 2. Пусть даны две функции )! н /з с константами а! и ат, тогда К(а!Л+ атЯ = ) (а! /! (х)+ ахат(х)) й(Р— (й, х)) !(х = =аЯ+аз./я=а м(Я)+ Я~4. (1АО) Таким образом, преобразование Радона линейно для любых функций /! и /, и любых чисел а! и аз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
