Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Следовательно, томограммой такого объекта будет суммарное изображение (1.39) из обратных проекций фильтра » е (х, у) =- — ~Ь(хсозф+уз(п ф)с(ф. (1.43) о Исходя из линейности процесса синтеза томограмм, можно сделать вывод, что томограмма объекта 1»(х,у), восстановленная с помощью фильтра Ь, связана с исходной функцией 1(х,у) соотношением свертки с д(х,у), т, е. у„(х, у) = Г(х, у) 3 Яд(х, у), (1.44) Подставляя в (1.43) Ь(р) =б(р), получаем 1 е'(х, у) = — ~ 6(х сов ф+ у а!пф) Фф = (я)/х~+уз)-'.
«о Этот результат совпадает с ранее полученным выражением (1А2), связывающим суммарное изображение объекта с самим объектом. Таким образом, функцию д можно считать импульсным откликом процесса восстановления томограмм. По ее виду, полуширине и т. п. можно судить о качестве восстановления.
ЕЗ. МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ТОМОГРАММ ПО ДВУМЕРНЫМ ПРОЕКЦИЯМ До настояшего раздела рассматривались методы восстановления двумерных томограмм по одномерным проекциям. Задача исследования внутренней структуры трехмерного объекта сводилась к решению ряда задач восстановления двумерных томограмм набора параллельных слоев объекта. 34 Рис.1 4 Различные варианты схем зондирования илн наблюдения трехмерного объекта: у — ааоскосгю Х вЂ” конкчеекаа кевеакаеегь 35 При этом предполагалось, что все оси зондирующих пучков излучения лежат в одной плоскости, например ху, и пересекаются в одной точке О. В зависимости от ориентации восстанавливаемых сечений различают два вида томограмм: а) поперечные томограммы — изображения сечений объекта, параллельных плоскости осей зондирующих пучков; б) продольные точограммы — изображения сечений объекта, перпендикулярных плоскости осей зондирующих пучков.
На практике не всегда удается организовать такую схему зондирования или наблюдения трехмерного объекта, когда оси зондирующих пучков лежат в одной плоскости Другими словами можно сказать, что не всегда оси зондирующих пучков «заметают» поверхность, совпадающую с плоскостью. Иногда бывают ситуации, когда поверхность, образованная осями пучков, является, например, конической (рис. 1.4), Более того, можно рассматривать такие схемы томографирования, когда оси зондирующих пучков «заметают» объемные фигуры, например шар или шаровой сектор. Описанные схемы зондирования распространены в методах классической томографии с перемещением пары источник — регистратор по различным траекториям [11 К данным схемам, как будет показано далее, можно отнести также методы кодированного источника, томосинтеза, зкточографии [40).
При исследовании труднодоступных объектов, например плазмы [41), оси зондируюших пучков занимают выборочные дискретные положения из приведенных выше фигур. Поэтому в ряде работ (см., например, [42[) стали исследовать методы восстановления томограмм трехмерных объектов по их двумерным параллельным проекциям. К данной проблеме можно также отнести задачу восстановления трехмерной внутренней структуры объектов по их двумерным коническим (сопе-6еаш) проекциям. Наиболее полно задача восстановления трехмерных томограмм была рассмотрена в [431. Однако, на наш взгляд, эта работа сложна для понимания. В настояшем параграфе рас- г смотрим новый методический подход к задаче восстановления трехмерных томограмм по двумерным проекциям, полученным при различных схемах проецирования, Предлагаемый подход, по мнению авторов, более прос- у той и наглядный.
а Все дальнейшие рассуждения основаны на теореме о центральном слое для двумерных проекций. Для ее вывода воспользуем- 3* ся записью двумерных проекций из (43] в виде У(р' ') = ) 1(р+Юй~. (1.45) где 1(х) — функция трех переменных, х= (х, у, г); т — единичный вектор, характеризующий направление зондирования; его ориентация в пространстве определяется полярным углом О и долготой (азимутальным углом) ~р: т=~(сезар з1пй, з(пфз(пО, созО); р— двумерный вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной вектору т (рис.
1.5) . Применим двумерное преобразование фурье к обеим частям уравнения (1.45): г" (Р; е) = И' 7 (Р; а) е — ' ц Р1 ИР = Щ 7'(Р + 1т) е-'ме Р~ б(Р Ш. (1.46~. (1.47) где оа=,(и, о, ен) — частотные координаты; к — единичный вектор, направленый вдоль оси г.
Заменяя в этой записи переменные интегрирования К, г на р, '1 и сравнивая выражения (1.46) и (1.47), получаем теорему о центральном слое гт(Р' т) =г (еа) ! ие 1 е. (1.46) В данном соотношении уравнение (еа, е) =О описывает плоскость, проходящую через начало координат частотного пространства пер- т(РФ ф Рнс. 1 б. Схема проецирования трехмерного объекта: а — пространственная область: б — частотное область С другой стороны, трехмерный фурье-спектр функции 1 в цилинд. рических координатах Й, з можно записать в виде Г (Еа) = Цу (К+ ай) Š— 'На Н1 Е-'Пеа1аЩб(а, пендикулярно вектору т, а р — двумерный вектор в плоскости (ь, т ) =О.
В скалярном виде эта плоскость задается уравнением исоз р в(п О+ и в1п р в1п 0 — тв соя 0 = О. (1.49) Для упрощения дальнейших выкладок удобно в частном прост- ранстве с осями и, и, ш ввести вращающуюся систему координат и„п„аь, таким образом, чтобы ось ш, была всегда направле- на вдоль вектора т. Оси и„а„в этом случае лежат в плоскости (1.49), а их направление задается азимутальным углом <р. Связь этих систем координат определяется соотношениями и, =и совр сов О+па(п рсоа О+а~ в(п О, и, =- — и в1п р+ и сов р, (1.50) е„= — и соз р в1п 6 — и в)п <р в! п 0 -1- тв соя 0; и = и„соз р соя 6 — и, я(п р — тв, соя р в(п 6, а = и, в1п р сов 6+ и, сов р — е„з(п р з(п О, (1.5!) ви = и в(п О+ вв, сов О.
В новых координатах теорема о центральном слое (1.48) пе- репишется следующим образом: у'(и„п,; О, р) =Р(и„а,, 0). (1.52) При изменении направления проецирования т можно последо- вательно заполнить частотное пространство спектрами проекций, сумму которых можно рассматривать как некоторый трехмерный фурье-образ: (1.52а) (1.53) зт 5(ь) = Р(р' т) 6[(е т)]~(ч Во вращающейся системе координат это выражение преобразу- ется к виду 5(и, и, е) = Р(и„п„т)0(ю.)Ит, где à — область изменения вектора т. Используя теорему (1.48), получаем Я(е) =Р(е) ] 0[(ь, ч)]сРт. Таким образом, выражение (1.53) приводит к уравнению Я(е) = Р(ь) Н(е), где функция Н зависит от области изменения вектора вп Н(ь) = ~ 6 [(е, т)] ~й.
(1.55) По аналогии с двумерным случаем назовем функцию Я(ь) спектром трехмерного суммарного изображения в(х). Тогда из (1.54), (1.55) следует, что Обозначив внутренний интеграл в (1.60) через 7 (х„ у,; ч), окончательно имеем 1 «(» У «)= — ~у"(х,', у,; ч)г!«. (1.62) 2я ~ Данный алгоритм можно назвать алгоритмом суммирования двумерных фильтрованных обратных проекций. Действительно, для восстановления трехмерной томограммы по (1.62) необходимы следуЮщие операции: 1. Регистрация двумерных проекций ((х„у,. «) в плоскости х,у„ перпендикулярной вектору ч, 2. Фильтрация двумерных проекций в той же плоскости х,у,. Закон фильтрации определяется выражением (1.60).
В частотном пространстве данной операции соответствует операция умножения двумерного спектра проекций г'(и„ и„ ч ) на фильтр ч — ! а~„, „.~ и- (~, „о~=~)ь~,)а.~„) . «»ч который определяется областью изменения Г вектора ч. Фильтрованная проекция равна ~(хэ у„ч)= )) Г(и., и=„, ч)6(ин о„ч)ехр Щи,х,+ (2„)г И + п,у,)) г(и,до„. (!.64) 3.
Трехмерное обратное проецирование. Эта операция формально состоит в замене координат х, у. на х, у по закону (1.61). Физический смысл обратного проецирования, как и в двумерном случае, заключается в «растяжении» двумерных проекций в направлении, совпадающем с направлением их проецирования, т, е. -. или я,. Только в данном случае обратная проекция трех- мерна и постоянна вдоль третьей оси г,. 4. Суммирование всех обратных фильтрованных проекций по угловым координатам, т. е.
вычисление интеграла по йч. Здесь надо различать два случая. В первом случае область Г является двумерной областью, т. е. вектор т «заметает» объемную фигчру или, если пользоваться терминологией (43), принимает все положения на сфере направлений. В этом случае йч =з(п ОЮйгр, Во втором случае область Г является одномерной. Вид ее определяется траекторией измерения конца вектора ч на сфере направлений (см. рис. 1.5), которую можно задать с помощью зависимости 0=0(~р) или ~р=<р(0). Тогда вы = ) г1+<р'2 з(п»О Л=- !~з!п зО + О'з гор, (!.65) где Ч,' =ду/г10; О' =ЫО/ду. Фильтры 6 в этих случаях также будут различны, так как они зависят от области Г. Таким образом, для восстановления трехмерной томограммы в общем случае требуется интегрирование только по одному из углов 0 или у. Од- зв пако первый случай также имеет право на существование, так каи при этом улучшается помехоустойчивость результатов восстанов- ления из-за переизбыточности информации о проекциях.
Определим далее вид восстанавливающего фильтра 6 для ряда конкретных областей Г. 1. Пусть область à — вся сфера направлений. Для вывода уравнения фильтра (1.63) необходимо вычислить интеграл (1.55), который в этом случае равен 2««~2 Н,(и, о, 2в)= [ ) 6(исов2рз!пО+ов1п~рв(пО— о — и — ассов 6) з1п ОИОсйр. (1,66) Произведя в (1.66) замену координат 186=5, получаем 2«а« Ю Н, (и, о, м) = Ц ! и сов 22 + о з(п ~р [ -' О Х и совр+ о вш ~р/ Х вЂ” „г(ЕФ<р. 1 + 62 Используя фильтрующее свойство б-функции, находим, что М2 тпрр 2я Н,(и, о, тв) =2 [, , (1.67) " тв2+ (исоа <р + Ф Яп <р)2 )/и2 [ о2+ тв2 т.
е. функция Н1 обладает сферической симметрией, и поэтому ее вид не зависит от угловой ориентации декартовых координатных осей. Тогда О, (и, о,) = Н (и„о„О) = (1/2я) )г й+о2. (1,68) Таким образом, в том случае, когда область Г двумерна, восста- навливающий фильтр является двумерным р-фильтром, а выраже- ние для трехмерной томограммы (1.62) равно 1 2- «И- р'(х, у, х) — ) ) р'(хсов рсоа 6+уз2п рсовО+хмп9, О -«Г2 — х в!п р+ у соз у; О, р) в(п Осрвгйр, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
