Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 11
Текст из файла (страница 11)
е. выражение (192) преобразуется к виду цилиндрического р-йильтра, амплитуда которого для каждого угла 8 равна )фз! г„! )гг + гз, а ось повернута на угол 9(8) относительно оси о. Траентория источнина г=г(ф) описывает некоторую плоскую линию в плоскости источника г=г,. Угол у между касательной к данной кривой в любой точке (г, ф) плоскости хд н осью х определястся выражением Г 5[пф+ ГСО59 г.'соз р — гз!п ф Следовательно, угол поворота оси р-фильтра совпадает с углам касательной к траектории и осью х Таким образом, мы показали, что для любой траелтории источника лвумерные проекции обрабатываются цилиндрическим р.фильтрам, который, по сути, является одномерным Ориентирован этот фнэьтр для каждой проекции по-разному, а именно по направлению касательной к траектории в данной точне.
Как было показано выше. необходимым зславнем замены ю на 8 в интеграле (190) является требование [8!<и/2 Однако часто,'8!<6<я/2, так как на практике ке всегда удается реализовать такие схемы зондиразания Это приводит к искажению восстановленной томограммы, так как теряется информация о той части спектра объекта, которая лежит в области 6< [9! <п)2.
Для случая линейной траектории данная проблема его[за[пи сапе» является двумерной. Для более слагкных траекторий она трехмерка. Видно, что область, не заполненная значениями спектров проекций, являдгся конусом, что и опре- делило название данной проблемы До сих пор, рассматривая замену координат по закону в= (и соз ф+ +аз!пф) 198, мы предполагали, что переменная ш заменяется на угловую переменную 8 Однако формально можно делать замену в па другую угловую переменную ф. В этом случае якобиан преобразования координат будет равен У(и, о; ф) = ды1!дф.
Рассмотрим также такую траекторию, когда 8(ф) =сопз1. Более сложные траектории 8(ф)Фсапз1 уже фактически были рассмотрены ранее как траенто- рии, которые описываются функцией, обратнои 8(ф) Траектория 9(ф) =6 п12 является окружностью радиуса Я=г„19 6 Нетрудно сразу же получить анали- тический вид фильтра из выражения для якобнааа [,Уз(и, в; ф) ! = [ и 51п р — о соз р ! )(д Ь [, который совпадает с фильтром из [40!. Необходимо помкить, что данный фильтр получен для области [в[~ »"й+о». [106! Видно, что данный фильтр, так же как и фильтры для остальных траента- рий, является цилиндрическим р-фильтрам, направление си которого совпадает с направлением касательной к окружности, т е ось фильтра для любого угла ф перпендикулярка к радиусу окружности, праведекному под углом ф В заключение покажем возможность рестачрации изабрагкения сечения из классической томограммы, полученной в томографе с линейной траекторией пары источник — регистратор Перепишем выражение (191» для томограммы для г=о: чгз у (х, у, О) = — ( Ф (х, у; 9) гй.
— ч1З Фильтр проекций в згом случае определяется функцией (1.93). Пусть 1р=о, тогда данный фильтр раиса [ Уз(и; 9) [ = ()/созз9) ! и ! н, следовательно ! и ! )'(х, у, О) = , 1 ~ Ф (и, у; 9) , 01яхйиг(9 = — и-ю 60 ю ) «~г — ( ( — Ф(и,у; 6)с(6 | и ) ег" йи. (2я)в ) ~,) сонг 6 — ьв — «гг Внутренний интеграл с точностью до коэффициента 1(созсй есть спектр суммарного иэображения К,(а, у), который и описывает данную классическую томограмму, так что можно приближенно записать ) ! У(» У О)= 2 г ( )(г(и, х) ( и ~ ег"1~и= 2 йг(» У) (2п)' г где функция хв(х, у) обозначает одномерно фильтрованную по осн х классическую томограмму Таком образом, после одномерной р-фильтрации функции й,(х, у) вдоль направления движения источника и регистратора можно ожидать некоторого улучшения качества полученпои томограммы Исходя из эп х предпосылок был проведен эксперимент, подтверждающий возможность реставрации изобрая енин сечений из классических томограмм, На рнс 110,а приведева обычная продольная томограмма черспа, полученная при прямолипеипоя траектории сканирования С помощью телевизионного устройства ввода изображений в ЭВМ зта томограмма оцифровывалась Одномерная фильтрация проводилась в ЭВМ СМ-4 р-фильтром, аподизчрованным гауссианной На рис 1 10.о приведена реставрированная томограмма Видно, что в результате фильтрации устранен характерный для данного типа томограмм «смазь и про~зашло подчеркивание мелкит деталей ца изображении а) б) Рис 1 1б Классическая томограмма (а); результат одномерной фильтрации классической томограммы (б) 1.5.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕКОНСТРУКТИВНОИ ТОМОГРАФИИ В предыдущих параграфах частонщей главы приведен аналвтический аппарат томографии, который указывает на принципиальную возможность реше- 4« 51 ная обратной задачи восстановления изображения по проекциям. При создании конкретной томографической системы в качестве одной из .основных задач выдвигается разработка вычислительного алгоритма, реализующего тот пли иной метод реконструкции томограмм При решении задачи восстановления распределения физических вещшин по проекционным измерениям, как и при решении любой др1гой обратной задачи, возникают два вопроса: достаточно ли исходных данных для послед>ющего анашыа.
т. е. правильно ли поставлен физический эксперимент, и сугдествует ли аналитическая либо вычислительнан процедура, позволяющая получить одно. значный ответ. При решении обратных задач необходимо также >читывать влгязпе ошибок измерения экспериментальных данных. В начале ХХ в. французскиа математик Ж. Адамар ввел термин некорректноп задачи Решение подобных задач очень чувствительно к малым ошибкам исходных данных или вычислений, т. е. их небольшие отклонении приводят к знг ~ательиым изменениям ответа. В последние годы обратные задачи стали встречаться в практике анализа данных очень часто, поэтому возникла необходимость в разработке методов решения некорректных задач Общим во всех известных методах решения является привлечение некоторых дополнительных данных об ответе 14,5], т.
е. в тех случаяк, когда при определении ответа происходит сильное увеличение ошибок, в алгоритм вводятся новые ограничения, которые делаю~ задачу более устойчивой. Такая дополнительная информация о решении выбирается, как правило, из априорных даннмх об объекте исследования. Однако в вычислительной матема- тике были разработаны более общие процедуры решения таких задач, которые носят достаточно универсальный характер. В их основу положен метод регу- ляриэации, разработанный Л.
Н. Тихоновым. Суть метода регуляризации заключается в том, что, во.первых, формули- руются дополнительные условия на решение задачи и, во-вторых, строится формальный алгоритм, который исключает возникновение неустойчивого ре- шенья, В случае реконструктивной томографии методы регуляризации применяются для решения задачи деконволюции свертки 14, 31]. Мы не будем рассл>атрнват. нонкрегные виды регуляризующих алгоритмов, применяемых в рентгеновской медицинской томографии.
Этому вопросу посвящена обширная литература 131, 48). Другим алгоритмом восстановления томограмм является алгебраический. Он применяется в том случае, когда задача томография описывается в дискрет- ной форме. При этом изображение сечения обьекта разбивается двумерной де>п ртовой сеткой, в каждом узле которой ищется значение функции.
Проек- цноньые данные представляют собой сумму значений искомой функции, умно. женных на весовые множители, к<порыв учитывают вклад площади каждого соответствующего элемента изображения в луч.сумму. В результа>е мы получа- ем спстему,чвнейных уравнений, прн этом число уравнений соответствует коли- честву луч-сумм, а число не»звестнык — количеству элементов разбиения в то- мограмме.
В 11 Ц подробно проанализированы алгоритмы данного типа и даны конкретные рекомендации по их применению, Дискретизация области реконструкции изображения возможна не только на декартовой сетке. Применяются различные методы представления. На этом базируются методы восстановления томограмч, основанные на раз,южанин в конечйме ряды 123!. Наиболее широко распространены алгоритмы реконструк- ц>п: с использованием интегральных преобразований. Онн основаны на нахож- дении формулы обращения, т.
е. определении точограммы из проекционных данных и затем реализации ее вычисления на ЭВМ. При этом учитываются осо- бенности схемы сбора данных, зашумленность изобра>кения и т. д, Фактиче~ ки в большинстве случаев задача сводится к построению вычислительной проце- дуры, реализующей методы восстановления, описанные в й !.2 (фурье-синтез, суммирование фильтрованных обратных проекций, фильтрация суммарного изображения).
К этому же классу следует отнести алгоритмы, непосредственно использующие инверсное преобразование Радона. 52 Метод интегральных преобразований дает базу для множества разнообразных алгоритмов, часть из которых используется в комерческих медицинских томографах. Применение той или иной формулы обращения и соответствующего ей вычислительного алгоритма определяется, как правило, спецификой конкретной задачи, Наиболее подробно эти алгоритмы рассмотрены, на наш взгляд, в [39~ . В заключение заметим только, что в задачах оптической томографии п~ри огромном многообразии исследуемых объектов и схем сбора данных поиск каких-либо универсальных алгоритмов нвляется слишком сложной задачей. На наш взгляд, поиск в этой области должен быть направлен в сторону разработки таких ачгоритмов, которые позволяют, во-первых, привлекать сачую разнообразную агрнорную информацию (иногда плохо формализованную) и, вовторых, учитывать такие особенности системы регистрации проекционнмх данных, как малоракурсность, ограниченный угол обзора н т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
