Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Согласно (2.15) уравнение суммарного изображения можно также представить в виде гп(х, у) = 7',(х, у) = Ду'(х„у!) йи(х — х„у — у!)Ых!Иу„(2.18) где йл(х,у) — импульсный отклик системы, определяемый следующим выражением: (2.19) ! ! 60 ли (х, у) = Яз-! [Нл[ = ~~~~ Яг,— ! [а (т! соз !Н вЂ” и з!и !НЦ = 1=1 «5(х у + д з(п у ) = Н ( — У х). Из (219) следует, что вид импульсного отклика суммарного изображения совпадает с повернутым на 90' бинарным частотным езрильтром Нл.
Нетрудно заметить также, что при увеличении числа проекций пределе выражение для Ни примет вид я Н (и, о) =!)гп Нн(и, о) = — ) 8(тз сову — из(п Ч)дф = Л и д о (2.20) з (2.19) и (2.20) следует, что импульсный отклик /з(х, у) = 1!пз/зи(х, у) = 1/я)г хз+у', н-» т. е. изображение еи(х,у) переходит к суммарному изображению, ' определенному в гл. 1.
2.2.2. Формирование суммарного изображения при малом числе нроекуий Передаточная функция точографа, формирующего суммарное изображение, описывается выражением (2!3) золько в случае зондирующих пучков беско нечныэ разчеров Рассиотрим процесс формирования зт в реальных приборах Пусть проекция исследуемого сечения /(х, у) задана на отрезке 2рэ Под обратной проекциеп понимается двумерная функция /,(р, Ч), которая постоянна вдольт оси Е и перпендикузярна р, причем р=:тсозф+уяп~, д=- — хыпЧ+усозт ( Обратная проекция вдочь оси д задана на отрезке 2еэ Ее фурье-образ можно рассматривать как функцию с ограничеияыч спектром и представить в виде ряда, который согласно теореме Котельникова будет иметь вид +сз +ьэ К" 1А (р* ЧИ = Ф, = .'«',,'» Ф, ~й —, йз — 1 Х Ро Чо г' 81П Рв (юе /з1л/ро) 31п Чо (юч йззг/Чо) Х ир ( ятк/Ро) мЧв ( чз /Ч ) (2.21) где ыр= — азгп ф Ьосозф, ы, иоэзгр+па!и Чь Из определения обратной проекции следует, что она не зависит от и, т.
е в частотной плоскости в направлении оси ю, определяется только нулевой частотой при Аз-О Тогда выражение (221) можно преобразовать к виду ' Ро / кРз (юр — йгп/Ре) иЧоюч Сумиарное изображение представляет собой сумму обратных проекций, следовательно, его фурье-образ можно представить в виде суммы по углу еь уз ме з ~ 1 Ро / кро (юр йгк/Ро) кЧзюз Для того чтобы осуществить последзющее восстановление, необходито выполнить условие, согласно которому отсчеты в спектральной области были бы не искажены Из (2 23) следует, что данное требование эквивалентно равенству нулю композиционной функции во всех точках отсчета, кроме начальной для каждой функции 61 Указанная функция состоит из двух сомножителей.
Первый опредетен на прямой, проходящей через начало координат Очевидно, что фурье образы всех обратных проекций лежат на лучах, проходящих через начало координат Сле довательно, отсчет спектра суммарного изображения в нуле представляет собой зо-1 сучку отсчетов спек~ров проекций, т е 5 (О, О) =. ~~ Фу(0,0). Заметим, однако, о=о что согласно проекционной теореме значения отсчетов в точке (0,0) от каждой проекции равны между собой и 5(00) =Фгр(0,0) Таким образом, отсчет спектра объекта не совпадает с отсчетом спектра суммарного изображения в точке (0,0).
В остальных точках частотного пространства линии, на которых заданы спектры проекцнй, не пересекаются, т е первый сомножитель не влияет ьа со седине отсчеты Второй сомножитель ып уо ор хуоэо способен изменить отсчеты, заданные на соседних лучах. Чтобы язбежать эффекта наложения соседних частот, параметр до должен удовлетворять условию до = Ро!3(п п(М. (2.24) Такич образок, при соблюдении условия (224) в спектре суммарного изображения искажается только один отсчет в центре частотной плоскости Очезндчо, что данное искажение легко компенсировать как в частотной, так и в пространственной области В частотной плоскости необходимо значение спектра в точке 5(0,0) умножить на 1/Ж, в пространственной — осуществить адднтивную нормировку (8) После проведения аддитнвной нормировки можно утверждать, что спектр суммарного изобранген~ я состоит из неискаженных отсчетов спектра искомого изображения 1(х, у) Однако данный спектр 5 обладает отличительной особенностью — он задан при иеран юотстоящих точках отсчета Действительно, на каждой окружности радиуса йцл/ро расположено одинаковое )У число отсчетов С ростом д, длина окружности меняется Следовательно, расстояние между отсчетами на каждой окружности определяется выражением 2171я и а= — 31П— (2.25) Ро 21т( Восстановление истинного спектра по его неравноотстоящим отсчетам пред.
ставляет собой достаточно сложную задачу. Реставрацию томограмм из суммарного изображечия можно классифицировать как случай носстановленпя фзнкцни, заданной в конечном числе равноотстоящих точек отсчета, которые меняют свои положения Действительно, на каждой окружное~и отсчеты расположены на равном расстоянии друг от друга Для такого случая в (67] показано, что сигнал с финитным спектром может быть однозначно восстановлен Сопоставляя выражения (214) и (223) и учитывая (224), нетрудно заметить, что процесс формирования суммарного изображения в реальном оптическом томографе можно представить как отображение томограммы оптической системой, передаточная функция которой описывается выражением 3!ПРо ((оя — Й11Ро) 310 (Р1ы 31П и/И) 81П и/М Нм(а,тз) = '~у' , о о „пРо(~я )гзп(Ро) пРоыо (2.26) (напомним, что ы и ы, зависят от угла зондирования ф,) Таким образом, задача получения томограмчы чожет быть сведена к задаче восстановления изображения, получение~о в отображающей системе с передаточной функцией, описываемой выражением (226) Следовательно, мы мо кем отвлечься от методов зондирования объекта, способа сбора данных и других особенностей томографического анализа, а рассматривать томограф как прибор с определенной передаточной функцией, строящий изображение Подчеркнем еще раз основные особенности этой системы, вытекающие из анализа ее передаточной функции Во первых, она носит дискретный характер, поэтому некоторые пространственнме частоты в принципе не передаются прибором Во вторых, ряд пространственных частот, как это следует из выражения (2.26), отображается 62 Фр без искажений В-третьих, области пропускания пространстйенных частот рас- положены н спектральиои области неравномерно, Для решения уравнения (2 18) в томографии используется либо метод низкочастотной прострацстаенной фильтрации, либо аппроксимация н спектраль- ной или пространственной области При увеличении количества проекций, необходимых для точного носстанон- ления, растет также плотность лучей вблизи начала координат частотной плос- кости В [331 для компенсации изчеиения плотности отсчетов н занисимости от радиуса предлагается использоаать р-фильтр, который ииеет линейно изченяю- шееся амплитудное пропускание и уравнивает я энергетическом смысле соотио- ц~еьие высокочастотных и низкочастотных составляющих спектра изображенья.
При изменении равномерной угловой дискретизации, параметр которой аыби- рается из априорной информации о ширине одномерного фурье спектра изобра- жения по углоаон координате [381, для компенсации плотности отсчетов вблизи начата координат также необходимо использовать р-фильтрацию либо произао- дить дополнительную неравномерную дискретизацию по радиусу Причем радиальные точки отсчетов будут располагаться н нулях функций Бесселя л.го порядка. 2.2.3, Получение суммарного изображения в некогерентной оптической системе Наглядной иллюстрацией того факта, что томограф можно интерпретировать как отображающую систему, является возмож- ность моделирования его работы оптической системой с переда- точной функцией, описываемой выражением (2.!3).
Из теории образования изображения (53, 59) известно, что оп- тическая передаточная функция П(и, и) некогерентиой системы определяется как функция автокорреляции амплитудного пропус- кания входного зрачка системы. Тогда П(и, и) можно записать в виде П(и, и) = У вЂ”,' ( [ Ь„(х, д) [ Я). (2.27) Из выражения (2.13) видно, что для суммарного изображения, формируемого в томографе, функция Ьн неотрицательна и равна единице, т. е. [Ьн[з=Ьн. Учитывая это, а также (2.19), нетрудно преобразовать выражение (2.27): П(и, тз)==я.
[Ьн(х, р))=Н (и, ю). (2.28) Таким образом, оптическая передаточная функция некогерент- ной системы, зрачок которой будет описываться выражением (2.13), совпадет с передаточной функцией оптического томографа, формирующего суммарное изображение. Указанное свойство формирования изображения некогерензной оптической системой использовалось в экспериментах по визуальн ной оценке качества суммарного изображения. На рис. 22 представлена маска из 12 радиальных лучей, которая помещалась во входной зрачок объектива Это соответствовало 12 проекциям. Проведенные эксперименты достаточно наглядно показали возможность использования суммарного изображения для визуальной оценки изображения даже при малом числе проекций.
Для количественных оценок анализируемого в томографе распределения физической величины в сечении объекта необходима дальнейшая обработка. Она заключается в решении уравнения (2 18) либо 63 выборе специальной нормировки. Это в основном определяется конкретпым видом задачи, решаемой с помощью томографического метода исследования. В настоящее время известно достаточно большое количество методов формирования суммарного изображения в различных оп. тических и рентгеновских томографах. Напомним, что в классическом томографе формируется продольное суммарное изображение; разработан целый ряд схем оптических аналоговых томографов; методы так называемой острой фокусировки также можно Ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
