Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 15
Текст из файла (страница 15)
2.2 Радиальиая маска интерпретировать как системы его ' формирующие При этом суммарное изображение формируется в реальном времени без использования сложной вычислительной техники, Все это заставляет нас исследовать возможности использования суммарного изображения для визуального контроля внутренней структуры объектов, а также разрабатывать методы восстановления из суммарного изображения томограммы.
2.3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТОМОГРАММ ИТЕРАЦИОННЪ|МИ МЕТОДАМИ 2.8.1. Отераааонная схема восстановления и ее сходимость В ~ 2.2 развит подход к процессу восстановления томограмм, полученных прн ограниченном числе проекций. Он основан нс представлении его аналогом процессу формирования изображения некоторой линейной отображающей системои. Такой подход позволил использовать для восстановления томограмм высокого качества различные алгоритмы реставрации изображения, в частности методы пространственной фильтрации Однако использование этих алгоритмов практически трудно осуществимо в оптических томографах, так как требует либо создания сложного инверсного фильтра, либо не менее сложного его фурье-образа. Для решения задачи реставрации изображения было предложено использовать итерационные алгоритмы [60, 61].
Итерационный метод привлекателен в первую очередь следующими особенностями: 1) при выводе итерационного уравнения можно использовать известные свойства искомого решения; 2) нет необходимости в определении обратного оператора искажений; 3) при реализации этого метода возможна работа в интерактивном режиме, что позволяет практически решить вопрос о приемлемой 64 степени приближения й-го итерационного решения к искомому решению. Этот метод особенно полезен при решении задач восстановления изображений, так как кроме перечисленных особенностей он имеет еше и то преимущество, что может быть реализован в оптических системах с обратной связью.
Одним из частных случаев итерационной схемы является задача обратной свертки. При отсутствии оператора ограничений она сводится к итерационной схеме Ван-Циттерта [61[, при этом определенный способ варьирования ее параметров превращает эту схему в итерационную процедуру Джансона-Ван-Циттерта. В настоящем параграфе исследуется возможность применения итерационных алгоритмов для восстановления томограмм, полученных при ограниченном числе проекций [62).
В задачах томографии спектр томограммы Ф(и, и) связан со спектром измеряемого суммарного изображения 5х(и, и) соотношением (2.14). В рассматриваемом нами случае ограниченного числа проекций оператор искажений описывается выражением (2.13). Кроме информации об операторе, искажающем спектр, имеется некоторая априорная информация об исходном изображении 1(х,У). Это может быть информация о протяженности, положительности, форме, а также о других параметрах изображения. Такую информацию об изображении можно вводить посредством оператора априорной информации С()=С)) тогда и только тогда, когда ) удовлетворяет данному ограничению. Для восстановления томограмм в качестве априорной информации выберем положительность и конечный размер исходного изображения.
Это условие заведомо выполняется при исследовании ограниченных обьектов, не обладающих нелинейными эффектами взаимодействия зондирующего излучения с веществом, Тогда оператор ограничения имеет вид С=РТ, где 1у'! <а, [а, )7!>а; (2.29) х,,к х~~ хь, .7 (Х У), Уа <У <Уь 0 при др)гих значениях; (2.30) Т [7') = х,ч хь, у , уь — огр ан ичеи ие размера в плоскости изображения.
Используя априорные представления об изображении, можно записать уравнение, которое связывает суммарное изображение, полученное при ограниченном числе проекций, и истинную томограмму [(х,у) в виде Бп(х, у) = Ьп (х, у) ® Я С У'(х, у), (2.31) где зю йю 7" — фУРье-обРазы соответственно 5м, Нм, Ф; ЗЯ— значок двумерной свертки. Ив (2.31) при известных зх, йь и С ,' 5 — 1!57 65 можно восстановить томограмму при ограниченном числе проекций. В (56! рассматривались алгоритмы решения этого уравнения методами пространственной фильтрации Покажем возможность решения задачи восстановления томограмм из суммарного изображения итерационными методами.
В (61] показано, что при модели искажения, определяемой уравнением (2.31), его итерационное решение выглядит следующим образом: ~о = аз», ~»+' = )суп + (3 — Ми) Я З С )'», (2.32) где )ь — действительный параметр; б — единичный импульс. Рассмотрим сходимость и единственность решения уравнения (2.31) по итерационной схеме (2.32) при искажающем операторе (2.13) и априорной информации, описываемой уравнениями (2.29), (2.30). При этом будем исходить из предположения, что изображение (точограчма) и промежуточнме результаты итераций принадлежат полному нормированному линейному пространству, где норма определяется выражением 1+/:О 111» ]]У)1=~~ ]У! Й~ с!з — пространственные координаты.
Условие сходимости процедуры (2.32) определяетси следующей теоремой функционального анализа [б!]: если задан оператор К, такой, что ]]К~» — КУ ]! «г]!У» Ул]! (2.33) и при этом Окг(1, то оператор К называется оператором сжатия и любая последовательность итерационных приближений сходится к ! при любом начальном сигнале. Если г=!, то оператор называется иерасширяющим н возможно несколько решений. При анализе сходимости будем использовать результаты, полученные в (б!), для различных итерационных схем.
В нашем случае (2.32) оператор К задается соотношением К~» ~,я ] гз(» (2.34) где чх= (3 — Цзн) 8®С. Из выражений (2.33) н (2.34) следует, что сходимость итерационной схемы определяется оператором б, т. е. конкретными свойствами операторов искажения Ь» и ограничения С. При анализе оператора П необходимо рассмотреть выражение Ь = () (Ь вЂ” Цзи) ®® (С Г» СУ ) ]!. (2.35) Пусть ()(ы), Ф»(ы), Ф"(ы) — фурье образм от (б †Х), С)К Сг" соответственно, тогда выражение (2,33) можно переписать так: (] +ю 1 цз 8=~ —,~ ]а(-)! ! () — ()! Ь~ .
(2.36) Если функцию !)(ы) заменять ее максимальным значением г~ гпах!с(ы), то ]] (о — )ли) (оз(о) (Сз» вЂ” Сл в) ]] а гт ]! Сл» вЂ” Сл ]!. (2 37) В нашем случае (см (2.29), (2.30)] оператор ограничения удовлетворяет условию !! СР— СУь ]] .б, гя ]] уУ вЂ” У" ]!. (2.38) Объединив (2.37) и (2.38), получим неравеяство ~1 (6 — Лlхм) ®З (С~» — С~л) Ц <г,г Ц~» — ~в Ц. (2.39) Из (2.39) очевидно, что оператор О является оператором сжатия, если, по крайней мерц один нз операторов ((6 — Хйз) или С) — оператор сжатия, а другой нерасширяющий. Оператор (6 — Л»и) является оператором сжатия, если он удовлетворяет условию ( Я(ю) ) = ( 1 — ЛНн) < 1, 0 <Л ~',1/тпахНн.
(2.40) В случае восстановления томограмм, когда Ни определяется формулой (213), условие (2.40) не выполняется, Огератор принимает только два значения О и 1. Таким образом, для Ни выполняется условие (1 — Лйн) ь. 1. (2.41) Из (2.41) следует, что оператор (6 — Л»и) нерасширяющий и сходимость итерационной схемы возможна и определяется априорной информацией. Рассмотрим, являются ли операторы Р и Т, определяемые выражениями (2.29), (2 30), операторами сжатия.
Поснольку Т линейный оператор, можно показать, что 1)ТР— Т("1!- гз)1(з — )ь!1, где ш О з уь .=~~ — ~~и-ггззз,-)1 п' — ггззг х и и )С !1 Г» Гз !1-11!а (2.42) Из (2.42) видно, что Окгзк!, причем гз=) только тогда, когда (ь и !" имеют конечный носитель в одном и том же интервале При анализе влияния цоложительноств на сходимость, перебирая различные сочетания (ь и (" с учетом величины и знака, можно показать, что )Р)ь — Р(").к ш)1" — Р), откуда следует, что 11 Р т" — 'Р~" 11 ~~ г, 11 ~" — у" 11, (2.43) Ошг,ш1, причем г,=1, только если Р и т' имеют одинаковый знак н не принимают значений, больших а. Из условий (2М2) и (2.43) видно, что раиеиства гз=) и и, 1 достигаются только в пределе при»-1-со.
Таким образом, для конечных» и и выполняется следующее условие: !1 РТу» — РТУ" )1 < г,гз 11 У» — Уз Ц> (2.44) где 0<~а г4с.). Априорная информация, задаваемая условиями (2.29), (2.30), представляет собой согласно выражению (2.44) оператор сжатия. Проведенный анализ условия формирования тоиограмм при ограниченном числе цроекцнй показывает возможность их восстановления итерационным алгоритмом, и сходнмость урав' нения (231) при выполнении условий (241), (2.44) гарантирована. 2.3.2. Исследование итерационных методов восстановления томограмм на ЭВМ Для исследования возможностей итерационного алгоритма ! восстановления томограмм он был реализован на ЭВМ и была проведена серия расчетов, Конкретная реализация данного алто° ритма для различных видов задания исходных данных, операторов 1 искажений и априорной информации может быть различна.
В случае томографии исходную информацию получают, либо исполь° зуя алгоритм суммирования нефнльтрованных обратных проекций :. (суммарное изображение зн), либо накапливая одномерные сече; бь 67 пня спектра Ф(и,п) (алгоритм фурье-синтеза) В обоих случаях спектр искаженного изображения можно считать точно заданным в тех областях частотной плоскости, которые соответствуют От=1 При наличии также априорной информации о томограчме 1(х,у) (операторы Т и Р) наиболее целесообразно использовать итерационную схему Гершберга, предложенную для обработки рентгеновских изображений Алгоритм Гершберга является частным слу. чаем общей схемы, описываемой выражением (2 32) Для случая восстановлении томограмм этот алгоритм удобнее представить в виде Фо=~л Фь '=Ям+У.+~[Сиз[(1 — Нп) У~+~ У--~[Фа+~[ (245) где Я"+', Я -' — операторы прямого и обратного преобразования Фурье соответственно Схематично алгоритм Гершберга можно представить как итерационные переходы от оценки объекта в спектральной плоскости к его оценке в пространственной области с внесением в процессе их выполнения априорной информации о каждой из областей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
