Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 12
Текст из файла (страница 12)
д. В 5 2.3 мы подробно рассмотрим алгоритм циклического вычисления свертки, который удовлетворяет указанным условиям. Глава 2. ВОССТА НОВА Е Н И Е ТОМО ГРАММ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ НАБОРЕ ДАННЫХ 2Л. ВЫБОР ЧИСЛА НАПРАВЛЕНИЙ ЗОНДИРОВАНИЯ 2.1.1. Гексагональная дискретизация спектра томограмм' Одной из основных характеристик томографического процесса, как уже указывалось в $ В.2, является то ко.шчество информации об объекте исследования, которое было собрано в процессе зондирования. Для томографии оптического диапазона одним из основных практи геских ограничений является конечное число проекций, полученных под различными углами зонднрования. Это связано в первую очередь с трудностями технической реализации многоракурсных схем просвечивания и регистрации, особенно для динамических объектов.
Фактически те же причины, а также ограничен-— ный доступ к объекту приводят к необходимости сбора информации в угле обзора, меньшем 180'. В этой связи возникает вопрос о возможности точного восстановления изображения сечения объекта при конечном числе проекций, который имеет положительный ответ для определенных к.чассов объектов, Так, например, для осесимметричных объектов, когда уравнение Радона переходит в уравнение Абеля, достаточно одной проекции, для объектов, сечения которых описываются произведением двух функций с разделенными переменными, †дв проекций.
Число проекций, необходимых для восстановления объектов с определенной группой симметрии, приведено в [8~. Подробнее анализ задачи томографии с малым числом проекций рассмот, рен в [48~, где указывается возможность восстановления при нали[ чии априорной информации (например, по заданным изолиниям), [ а также восстановления профилей искомых физических величин ! Лля слабоменяющихся объектов.
53 Необходимо отметить, что дискретный характер сбора данных в тоиографии носит принципиальный характер. При любой реализации сканирования исследуемой области возникает дискретизация либо по углу, либо по набору луч.сумм. Указанная особенность позволяет отнести томографию к непрерывно-дискретному методу отображения информации, когда объект непрерывен, а система отображения дискретна. В нашем случае оптической томографии дискретизация при отображении осуществляется по углу, причем число отсчетов по этой координате примерно равно 10.
Для оценки возможности такого рода систем отображения информации целесообразно использовать методы аппроксимации двумерного изображения по дискретному набору данных. При этом возникает задача набора достаточного количества информации. Применительно к томографии указанная задача распадается на две: выбор направлений зондирования объекта и определение числа проекций в зависимости от тех или иных его особенностей. В настоящем параграфе рассматривается вопрос о выборе числа проекций для восстановления достаточно широкого класса изображений, представимых в частотной плоскости в виде ряда Котельникова, обобщенного на двумерный случаи.
Для этого предварительно вспомним связь между преобразованиями Фурье и Радона (см. Э 1.1). Согласно теореме о центральном слое одномерное преобразование фурье-проекции, полученной под определенным углом просвечивания, равно сечению двумерного спектра изображения вдоль линии, проходящей через начало координат в спектральной плоскости под тем же углом. После определения фурье-спектров от всех проекций в частотной области формируется дискретный набор сечений двумерного фурье-образа искомого изображения.
Для анализа возможности последующего восстановления объекта по набору проекций необходимо определить достаточное число сечений двумерного спектра для определения его во всей области задания на частотной плоскости. Восстанавливаемое изображение сечения практически всегда заключено в ограниченной области. Заметим, что в формулировке теоремы Котельникова в силу взаимности прямого и обратного преобразования Фурье за анализируемую функцию можно принять пространственный спектр томограммы Ф(и, о), для которого фурье- спектром будет изображение сечения 1'(х,у). В нашем случае томограмма заключена в ограниченной пространственной области. Тогда функцию Ф(и,о) можно рассматривать как функцию с ограниченным по протяженности спектром и применить к ней теорему Котельникова, обобшенную на двумерный случай.
Согласно этой теореме возможно точное восстановление функции Ф(и, и) по значениям ее в дискретных точках отсчета в плоскости ио, которые, как указывалось выше, синтезируются по экспериментальныч данным. Существует несколько способов представления двумерных функций в. виде набора отсчетов, отличающихся геометрией их 54 / 2й,— Аа еы. с=о ~ т. ь( — и ьг)х 2 а~ ма= — в ХК и — К и — йа)г 2й, — йа 2 (2.1) расположения. Обычно точки от- Ю счета расположены в узлах прямоугольной сетки. Такой геометрии соответствует задание функции )(х,у) в прямоугольнике. Однако, как показано в 149], существует оптимальная дискретизация двумер- р ных сообщений, при которой точки отсчета помещаются в углах гексагонального растра.
Такое представление изображений для точного восстановления функции Ф(и, о) требует наименьшей по сравнению с другими схемачн дис- Рис.2.1. Гексагональиый растр кретизации плотности отсчетов (на 13,4 о(с, см. также(50)). Данной геометрии отсчетов соответствует задание спектра (в нашем случае функции 1(х, у) ) в шестиугольнике. Рассмотрим возможность синтеза функции Ф(и,п) из фурье- образов проекций при гексагональной дискретизации Пусть искомое изображение сечения объекта заключено в правильный шестиугольник размером Х=УЗ У=Р)2, где Р— диаметр описанной окружности. Вид гексагональной дискретизации частотной плоскости в этом случае изображен на рис. 2.1, где параметры дискретизации равны (г=л)Р, г'= ( и' З)2) п)Р. Дискретизация произведена ~аким образом, что расстояние между соседними то|ками ото яета одинаково и равно п(Р Г!рипишем каждой точке отсчета пару целых чисел и, А, где и обозначает номер шестиугольника, на котором находится данная точка, а й определяет положение этого отсчета на одной из сторон шестиугольника, например (см.
рис. 2.1) точка А имеет координаты п=З, й=2. При прямоугольной дискретизации мы переходим от непрерывной функции Ф(и,о) к ее значениям в дискретных точках плоскости Ф(й,С~, Ы~) =Ф(И,п)Р, йап/Р). При гексагональной дискретизации горизонтальные нечетные строки отсчетов сдвинуты по отношению к четным на половину интервала У (см. рис. 2.1), т. е. в этом случае мы переходим от Ф(и,п) к дискретным значениям Ф((24,— Аа)(Г)2, Ааг). В 149) показано, что функция Ф(и,п) может быть восстановлена по ее выборкам согласно следующему выражению: где интерполяционная функция К(и,о) определяется как К(и, о) = — )р) е'!' +'Мхду. 1 (2.2т 4ая Интегрирование ведется по пространственной области Р, в которой заключено изображение поперечного сечения объекта.
Если эта область представляет собой шестиугольник с параметрами Х=У3 У (онн аналогичны параметрам шестиугольника в частотной плоскости 1/Р на рис. 2 1), то после несложных, но громоздких преобразований интерполяционную функцию можно записать в виде [49) Х)' [ з!п [(Хи — уо),2[ з!п [(Хи+ уо/3)/2] бяз Хи (Хи+ УЪ/3) + а!п[(Хи+ Уо)/2[ з!и [(Хи+ у'о/Зд/2[ ь)п Хи а!п ()'и/3) Хи (Хи — уп/3) Хило/3 2.1.2. Правило выбора направлений зондирования Выше было показано, что при томографическом исследовании объекта частотная плоскость заполняется фурье-спектрами проекций, расположенными вдоль лучей, проходящих через начало координат, Для точного восстановления спектра сечения объекта необходимо, чтобы эти лучи перекрыли все точки отсчета данной дискретизации [51), Легко показать, что число лучей, т.
е число проекции, будет определяться количеством пар чисел нн, не имеющих общего делителя, что возможно в следующих случаях: а) одно из чисел н нли й является простым числом, б) сумма и+и — простое число; в) для пар чисел вида п,1 и н,н — 1. Например, для н'=б полное число проекций равно Зб. Предложенное правило по выбору направлений зондирования позволяет обеспечить полный набор информации, необходимой для последующе!о восстановления томограмм. Вопрос же о необходимом числе направлений зондирования остается открытым. Очевидно, что его решение возможно лишь при определенных предположениях о характере спектра искомого изображения Из нашего предположения об ограниченности области задания объекта следует необходимость задания его спектра в бесконечном числе отсчетов на плоскости ио, для передачи которых требуется согласно полученному правилу бесконечное число проекций Однако практика построения томографов показывает, что возможно воссгановление томограмм высокого качества при конечном числе проекций [52) Причем количество проекций определяется характеристиками изображения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
