Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Из предлагаемой нами трактовки процесса набора информации для последующего восстановления (накопление компонент спектра) следует, что ограничение числа проекций приводит к необхо-. 56 +Оа бм = ~ ~ Ф(и, тг) — Фм(и, и) 1зй1= — ~~ Ф ги— рз р а=а — ~(Ф( — )()=( — ) ~ Ф( — )), (24) где М вЂ” множество отсчетов, через которые «прошли» фурье-образы проекций; М~ — множество отсчетов, не пересекающихся с множеством М Для оценки погрешности, вызванной ограниченным числом проекций, в реальных томографах целесообразно ввести определенные предположения о характере спектра томограчмы.
Пусть наиболее существенные пространственные частоты искомого изображения можно заключить в окружность радиуса р,„. Тогда число шестиугольников и', в которых содержатся отсчеты, необходимые для передачи данной части спектра, определяется из выражения и'=р,„р~ . Полное число точек отсчетов, содержащихся в этих шестиугольниках, будет равно п м=б ~~,— ч~.,~=з,ь+я. <пд и 1 Если не учитывать, что фурье-образы проекций заданы в бесконечном числе отсчетов, то выражение для ошибки (2.4) с учетом (2 5) можно переписать в виде '-""- = Ь)'..4„~''("М' Оценка ошибки в спектральной области не представляет большого интереса, так как в основном нас интересует погрешность восстановления томограммы из полученного набора данных Естественно, что отбрасывание членов ряда Котельникова с номером т)М'+1 приводит к ошибке при реставрации изображения сечения Выражение для ошибки можно записать в виде ьз = ) ) ) у (х, у) — У'и (х, у) ~ Ыхг)у, где )и — функция с ограниченным спектром.
Используя равенство Парсеваля 153), выражение (2.7) можно переписать в виде йз — Ц ~ ф(и, и) — Фм(и, и) ~ Мщу. (2.8~ (2,бу 5т -димости аппроксимации спектра с помощью конечного числа членов ряда (2 1) с композиционной функцией вида (2.3). Учитывая ортогональность функции К, выражение для среднеквадратичной ошибки Лзи, вызванной ограниченными числом проек,,'ций, примет вид Функция бзм равна нулю при р=~/ ство (2.8) можно преобразовать к виду г>рагг, поэтому равен- гюгг гавг Й~ йг ~,у ~гр (ф(г+ ~ ) (ф Ф (гггрг( о г о Учитывая, что на интервале изменения частот от 0 до р,» спектр в нашем случае остается неизменным, полная среднеква. дратичная ошибка восстановления будет равна гмггг» й = ~ ~ ) Е ~ гс(р (р, е (2,Я) я с учетом (2.6) (2.10) ) ) %г (и, и) Кр (и — х, ю — у) йиЫ = Х%'(х, у), (2.1! ) где Х вЂ” собственное значение; 1е — нулевое собственное значение, которое равно отношению энергии спектра в области Р к полной энергии спектра Е.
В рассматриваемом нами случае гексагональной дискретизации как объект, так и области спектра заданы в шестиугольнике. Тогда интегрирование в (2.11) ведется по шестиугольнику, а функция Кр(и,п) определяется выражением (2.3). При малых областях задания томограммы и ее спектра (51, 53], что соогветствует мало- ЛВ Полученное выражение позволяет приближенно оценить по среднеквадратичному критерию влияние отбрасывания высокочастотных хвостов спектра на качество томограммы. Нетрудно заметить, что увеличение числа проекций позволяет точнее передавать ее спектр, следовательно, точнее восстанавливать томограмму. Следует отметить, что спектр проекций задан на бесконеч'ных лучах, т. е.
некоторые высокочастотные компоненты спектра томограммы могут быть восстановлены либо использованы при введении некоторой априорной информации для аппроксимации .недостающих участков спектра. Ошибка восстановления будет мала, если высокочастотные компоненты спектра томограммы малы. Очевидно, что при задании сечения объекта в ограниченной области спектр его задан на бесконечности.
Естественно, возникает вопрос о величине ошибки при одновременном задании томограммы и ее спектра в ограниченном интервале. Согласно (531 функцией с максимальной концентрацией энергии в спектральной области р(и,о) от объекта, заданного в некоторой ограниченности области Р(х,у), является собственная функция интегрального уравнения (2„12) му числу проекций, оптимальная функция в пространственной области равна .
/ л' ~е (х, у) = 2п 1 г —, Кр (х, у), а где 5р — площадь шестиугольника в спектральной плоскости. Чтобы выделить некоторую площадь, занимаемую спектром функции 1(х,у) нужны минимум три проекции, полученные пол углами 0; 60; 120'. В этом случае спектр сечения укладывается в первый шестиугольник и р „=п|Р. Для указанного значения раз. меров спектра получаем собственное значение уравнения (2.11) 1=5, 5»/4п'=1, т. е. возможно построить такую функцию, ошибка восстановления которой по трем проекциям будет близка к ну»лю (53). Более точные оценки для различного числа проекций можно получить, решая (2.11). 22.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТОМОГРАММ МЕТОДАМИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 2.2.1. Передаточная функция томографа при малом числе проекций Любая томографическая система, как предназначенная для исследования внутренней структуры объектов, так и применяющаяся для обработки многомерных сигналов характеризуется тем, что на ее выходе формируется изображение. Фактически в проЦессе томографической обработки происходит преобразование не. которого входного сигнала. Особенностью томографа является то, что в нем трансформация исследуемой функции происходит в два этапа Естественно, это усложняет анализ процесса формирования изображения, Олнако, как указывалось выше, возможен такой полхол к построению конкретно оптических томографов, при котором оба этапа томографического процесса выполняются в единой оптической схеме Указанный полход позволяет представлять оптический томограф как систему отображения информации с некоторыми характеристиками.
С таких же позиций можно анализировать и другие аналоговые томографы. В б 2. 1 были приведены соотношения, определяющие количество информации, которое пропускает томограф в зависимости от числа проекций, Ио характеристики сигнала на выходе измерительного прибора определяются не только так называемой «шириной» полосы частот, которую он пропускает, но и видом передаточной функции. Для случая бесконечного числа проекций вид передаточной функции томографа и ее свойства достаточно подробно рассмотрены в (54, 55). Остановимся подробнее на анализе его работы при малом числе проекций.
Воспользуемся вновь теоремой о связи преобразований Радона и Фурье. Из нее следует, что спектр томограммы Ф(и, о) задан на конечном числе прямых, проходящих через начало координат частотной плоскости. Учитывая, указанный факт, булем рассматри- бэ вать сбор данных как процесс отображения томограммы, при котором на ее спектр воздействует пространственный частотный фильтр с бинарным амплитудным пропусканием [56[. Уравнение зтого фильтра для Н проекций можно представить в виде (2.13) (О при и чь и 16 !!,.
Таким образом, набор проекций можно интерпретировать как изображение, фурье-образ которого связан с фурье-образом томогракмы выражением 5я(и, п) = Ф(и, и) Ни(и, п). (2,14) Из (2 14) следует, что процесс восстановления томограммы можно рассматривать как восстановление изображения при известных характеристиках искажения Задача томографии тогда сводится к подбору такого фильтра Ь(и,п), который обеспечит наилучшее по некоторому критерию восстановление изображения сечения !,(х,р). Оно будет связано с истинной томограммой уравнением 7,(х у) = ) ) у'(х„у!) 1(х — х„у — ц!)г(х!г(у„(2,15) где 1= Я''!!Яи, п)Н„(и, пЦ вЂ” импульсный отклик томографа.
Для оптической томографии представляет интерес рассмотрение фильтра Ь(и,о) =сопз1. В атом случае формула (2.14) примет вид Яи(п, т!)= '«~Фт(и, п)8(псов Н вЂ” и з1п~р~). (2.16) 1=! Изображение, соответствующее спектру (2,16), будет описываться выражением Яи = '«' ) [ Ф, (и, и) В (и соз Ч!! — и айп !р!) ехр ! [их+ еу[ !(ис(п = ум!— уу(х сов !Н+ р з)п у!). (2.17) ! 1 Изображение зл(х,у), сформиронанное согласно (2.17), называют суммарным изображением при ограниченном числе проекций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
