Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Эти переходы осуществляются с помощью БПФ. Согласно выражению (245) для получения изображения необходимо выполнить следующие операции Шаг 1 По известному набору проекций получается набор их одномерных фурье-образов, которые по теореме о центральном сечении дают в частотной плоскости значения фурье-образов искомого решения на лучах, выходящих из начала координат под углами, совпадающими с углами наблюдения проекций.
На этом этапе значения спектральных амплитуд зануляются вне данных лучей, а также вне граничной частоты. Ш а г 2 Выполняется обратное двумерное БПФ для получения оценки томограммы 1(х, у) . Шаг 3, Вносится априорная информация о положительности функции 1, ограниченности ее области определения кругом радиуса Я, вне которого томограмма зануляется (оператор С). Шаг 4 Проводится прямое двумерное БПФ от оценки томограммы с предыдущего шага, и значения спектра на лучах, определенных на шаге 1, заменяются величинами, определенными ранее непосредственно по проекциям.
Вносится априорная информация о спектре объекта Ш а г 5 Проверяются критерии окончания итерационного процесса Если они не выполняются, то осуществляется переход на шаг 2 Критериячи останова могут быть а) малость нормы отклонения полученной томограммы от ее оценки на предыдущем ша~е, б) равенство нормы отклонения одномерных и двумерных оценок фурье-спектров объекта на лучах норме шума в проекциях (критерий невязки). Отметим, что регуляризация решения исходной некорректной задачи в данном итерационном процессе осуществляется как в ходе высокочастотной фильтрации (шаг 1), так н непосредственно на стадии выполнения обратного фурье-преобразования (шаг 2), вз Рис.23 Восстановление томограмм с помопгью итерационного алгоритма а — цсходамй объеат1 б — томограмна после 1-й итерация, а — томограмма восле 199 й итерации 69 когда выполняется суммирование рядов Фурве с неточно заданными коэффициентами.
В результате многократного выполнения операций 2 — 5-спектр будет известен на всей частотной плоскости, и восстанавливаемая томограмма будет высокого качества. Далее кратко описаны результаты, полученные при реализации алгоритма. В основу данной разработки положена регуляризованная версия алгоритма фурье-синтеза. На рис.
2.3,а приведена точная томограмма, для которой выполнялась реконструкция. Модель состояла из двух гауссиан„параметры которых задавались следующим выражением: У(х, У) = ехР( — 9[(х+ Отб)е + Уа)) + ехР ( — 9 1(х-05)'+Уз)). Растр томограммы выбирался размером ЗЗХЗЗ, с числом отсчетов на проекции У=33, числом проекций К=4,6 и 9 (при этом последняя проекция для у=180' формируется из первой так, что реально «измеряется» число проекций 3,5 и 8).
На рис. 2.3,б дан результат 1-й итерации алгоритма для реконструкции по трем проекциям (К=4) в отсутствие шумов измерений. Полная ошибка восстановления Ль определяемая по формуле ь =(Хи:-гЬг/Хи и) оказалась равной 70,3 е/е, погрешность восстановления максимальной амплитуды Ла= — 66,6 7о. На рис. 2.3,в дан пример реконструкции той же модели после 199-й итерации. Высокое качество алгоритма характеризуется достигнутой точностью восстановления: Л~=8,6 7о, Ла= — 11 уа. Устойчивость алгоритма к шумам измерений проиллюстрирована на рис.
2.4, где исходные три проекции содержали шзум в 1О '/а, а после реконструкции получено Л! — — — 14 /а, Ли=13,8 /а (сглаживание проекций до основной обработки, как это обычно делается в пакете ТОРЛБ [63], здесь не проводилось). Рнс. 2.4. Воссганоиленне томограммм при наличии шума с помощью итерационного алгоритма (томограмма после 199-2 итерации) 70 На рис. 2.5 для данной модели 1«,у :показана зависимость погрешности Дв от номера итерации Е (интерва- е лы с номерами Еы(1, 120] и Еы(120, 400] представлены с различным шагом1. Аналогичные результаты были получены и для ряда ~Р других моделей. Проведенные исследования итерационных алгоритмов восстановления томограмч позволили сделать 2д ряд важных выводов.
Во-первых, показана их достаточно устойчивая сходи ность при указанной выше априорной информации. Даже прв очень большом числе итераций, а в зл ж и г2д ~пас ст некоторых расчетах оно достигало 10, не наблюдалось «раскачки» Ь от ч с а итераций е Рис. 2.5. Зависимость ошибки изображения Во-вторых, при наличии шума до 1О 9е, что считается в томографии достаточно большим зна|ением, погрешность вычисления незначительно увеличивалась, но устойчивость и сходпмость сохранялись.
Это говорит о том, что при ыа.~ом числе проекций погрешность в основном определяется недостатком информации, а не шумом в исходных данных. Указанный факт подтверждается также результатами, полученными при рас етах по другим алгоритмам, В целом результаты моделирования подтвердили перспективность применения итерационного алгоритма последовательной свертки по схеме Гершберга для восстановления томограмм при малом числе проекций. Необходимо также отметить, что аналогичные исследования в последние годы по анализу применения алгоритма Гершберга для восстановления томограмм по данным, полученным в ограниченном угле обзора, были проведены рядом зарубежных авторов 164 — 66].
В качестве общего вывода можно сказать, что полученные нмн результаты также демонстрируют перспективность данных алгоритмов. Отметим, что возможен также другой подход к восстановлению ' томограмм по ограниченному числу проекций. Он заключается в ' угловой интерполяции различными методами данных о фурье- . спектрах проекций на незаполненные участки частотной плоскости искомой томограммы. При этом алгоритм Гершберга можно интерпретировать как интерполяционный. Глава 3. ТОМОГРАФИЯ В ОПТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ЗЛ. ОБЪЕКТЫ, ИССЛЕДУЕМЫЕ МЕТОДАМИ ЛИНЕЙНОИ ОНТИЧЕСКОИ ТОМОГРАФИИ Методами оптической томографии исследуются те объекты, которые вызывают модуляцию зондирующего их излучения оптического диапазона.
При этом модуляции может быть подвержена любая из характеристик монохроматической световой волны— амплитуда, фаза, вектор поляризации В зависимости от вида модуляции оптическую томографию можно разделить на абсорбционную, интерференционную, поляризационную К оптической томографии относится также эмиссионная томография оптического диапазона, которая оперирует интенсивностью излучения Модуляцию зондирующей световой волны вызывают оптические неоднородности объекта — пространственные изменения коэффициента поглощения, показателя преломления, величины двулучепреломления Данные оптические характеристики зависят от таких физических величин, как, например, концентрация вещества„плотность, температура, напряжение внутри объектов Таким образом, методами оптической томографии можно исследовать самые разнообразные параметры объектов и процессов Однако диапазон изменения этих параметров ограничен.
Дело в том, что в настоящее время наиболее развиты алгоритмы восстановления томограмм по прямолинейным проекциям, т е часто предполагается„что траектории зондирующих лучей внутри объекта можно считать прямыми линиями Методы восстановления томограмм, как было отмечено в 3 12, в этом случае являются линейными„поэтому данный тип томографии называют линейным. При учете искривления траектории зондирующих лучей, которое может быть вызвано рефракцией или (и) дифракцией излучения в объекте, задача становится существенно нелинейной Это связано с тем, что проекциями служат интегралы от искомой функции вдоль неизвестных траекторий, которые в свою очередь определяются этой же функцией Данную задачу можно также описывать в терминах волновой оптики и теории рассеяния.
Итерационные методы решения задач нелинейной томографии (67], методы дифракционной томографии (27, 28] только начинают развиваться и, как отмечено в [22], «в целом проблема еще далека от завершения» В голографической интерферометрии условия, при которых можно пренебречь искривлением траектории зондирующего излучения н дифракционными эффектами, рассматривались ранее в (35, 36] при оценке влияния рефракции на результаты расшифровки (интерпретации) интерферограмм. Однако эти оценки проводились Т2 или для осесичметричных объектов 1361, или для объектов с детерминированным распределением показателя преломления [35) В настоящем разделе рассматривается более общий случай объектов, представляющих собой среды со случайными оптическими неоднородностями Распространение зондирующей световой волны через объект описывается в рамках метода геометрической оптики (68], который не учитывает дифракционных эффектов при условии УЧ~, << 1„, где Х вЂ” длина волны зондирующего излучения; ра — радиус объек- та; 1, — характерный размер неоднородности показателя прелом- ления п.
В методе геометрическои оптики в его эйкональном при- ближении предполагается также, что объект является плавно неоднородной средой с малыми возмущениями, т, е 1„- л1 ~ л' ~ )) ~, где п(г) =и(г) +гс(г); п' — градиент показателя преломления; и— его среднее значение; и — флуктуационная часть и; аэ — дисперсия показателя преломления.
Обычно в голографической интерферометрии во вре»я одной из экспозиций область объекта заполнена однородной (в среднем) средой с п=сопз1, а флуктуационная часть показателя преломле- ния вызывается исследуемым процессом Тогда из метода геомет- рической оптики следует, что для прямолинейной траектории зон- дирующего излучения значение разности его оптической длины пути Л можно записать в виде ь = (ц.~ ~<~) — ц =1аг, с где 1, — прямолинейная траектория излучения Для оценки влияния рефракции воспользуемся результатами расчета боковых смещений луча, приведенными в (68) Там пока- зано, что в первом порядке теории возмущений зондирующий л) г с' смещается только в поперечном направлении по отношению к невозмущенной траектории Ь.
В этом случае разность оптической длины пути будет равна ь'= (,с -;- 1 а) — ь=п' — ц ~-1 а'. с' / с Для того чтобы можно было пренебречь рефракцией зондирую- щего излучения, необходимо считать, что средняя ошибка, вноси- мая в разность оптической длины пути из-за отклонения от перво- начальной траектории, мала по сравнению с длиной волны Х, например, меньше чем Х/10, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
