Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Геометрическое место таких точек есть плоскость, проходящая через начало системы координат и, о, ю, нормаль к которон имеет угловые координаты 6, ф Таким образом, для заполнения всего трехмерного пространства с осями и, о, ю значениями спектра Е(и, о, ю) необходимо значения каждой проекции Ф(и, о, 6, ф) спроецировать вдоль оси ю из плоскости е =0 на плоскость ю-(исааф+оюпф) !86 Можно также сказать, что, увеличив масштаб спектра каждой проекции на величину 1/соз 6 вдоль одного направления, составляющего угол ф с осью и, мы получим значения трехмерного спектра объекта вдоль сечения э=(мсоз~+оюп~р) 189 Данная интерпретация теоремы о центральном слое несколько отличается от традиционной (1 48) вследствие того, что мы оперируем проекциями вида (1 81), которые регистрируются не в плоскости, перпендикулярной оси зондирующего пучка, а всегда в одной н той же плоскости, параллельной (х, у) В данном параграфе при выводе уравнения классической томограмчы мм не будем принимать во внимание физический механизм взаимодействия зондирующего излучения с объектом и регистратором При строгом рассмотрении необходимо учитывать, что зондирующее излучение интенсивности !в, проидя поглощающий объект !(х, у, г) под направлением т, ослабляется согласно закону Бугера в ехр( — Ф) раз А так как регистратор расположен под углом к оси зондирующего пучка, то зарегистрированное на неч изображение при одном из положений источника будет пропорционально величине У(х, у; 6, р)=Уосозбехр[ — Ф(х, у; 9, рЦ, где Ф определено уравнением (! 81) )1ля самосветящихся объектов без погло.
щения собственного излучения нами не учитывается линь наклонное падение излучения на регистратор При описанных упрощениях считаем, что в классическом томографе ирв движении источника на репктраторе суммируются проекции (1 81) по направ- 46 лениям т. Обозначнм данное изображение через й(л, у). Тогда можно записать, что м (х, у) = ~ Ф (х, у; ч) !/т, (1.84) где à — траектория движения источника, эаланиая в виде плоской кривой г=г(ф), дт определяется соотношением (165) Нетрудно видеть из теоремы о центральном слое (188), что двумерный фурье-образ К(и, о) функции й(х, у) связан со спектром объекта следующим уравнением: К(и, ю) = ] с/тп/.
(и, ю, и) ~ с/чЬ [тп — (и соз р + ю в(п ~р) (д 9]. С точностью до коэффициеята )соз 6), которым мы уже пренебрегли при упрощении физической модели классического томографа, внутренний интеграл совпадает с функцией О из равенсвва (155) Тогда К(и, ю) = ~ гт(и, ю, цз) Н(и, ю, в) атп. Следовательно, Отметим, что по сравнению с двумерным случаем искажающая функция трехмерного суммарного изображения несколько уже Здесь функция Л, спадает как 1/г', где г=) х'+у'+з', а в двумерном случае — как 1/г, Этот факт также следует из вида фильтра (см уравнение (167)), который показывает, что запотнение частотного пространства спектрами проекции для данной траектории зондирования происходит более равномерно 2 Рассмотрим линейную траекторию источника В этом случае "з(х у г' Ч') = 1 " ехр(г(их+ оу+ил)] /1и с(тз с(тп. (2н)' 4 / ц ') '(и соз м + ю 8)п р)э + трз Будем проводить вычисление интеграла во вращающейся системе координат и,.
о, Тогда й (х, У) = 6(х, У, 0), (1. 88) т, е. классическая томограмма в некотором приближении описывается сечением трехмерного суммарного изображения. Из выражений (! 85) и (! 56) вытекает связь классической томограчмы с исходной фуккцией объекта /з (х, у) = ( р (х, у, г) (к)ф /з (х, у, г) !хг, где ЭЭ вЂ” значок двумерной свертки по осям к, у, Таким образом, нид иска- жающей функции 6 определяет степень отличия классической томограммм й от самого объекта / В $ 1 3 мы определили фурье-образ функции й для различнмх видов угло- вой зависимости, т е различных траекторий Поэтому саму искажающую функ- цию получим простым обратным преобразованием Фурье от функций (167), (1 69), (1 7! ) 1 Рассмотрим двумерную область Г Ниже будет показано, что данная схе- ма зондирования реализуется в оптических схемах при построении изображений трехмерных обьектов В этом случае функция Л равна /!! (х, у, г) = 2к/(х + уз+ гз).
(1.87) Тогда получим, что 166 ° /юз (г, х; 6) = — 1а (рг) 4 (рй ф 6) ра(р. Используя еще одно свойство функций Бесселя ~ г.тэ (аг) Уэ (м~ ) с(г = ()~а) 6 (м — а), а > О, Ь окончательно имеем 6(г — 1 х ! 1КО) 2н ~ Х ! (!.89) Данный результат согласуется с выводами работы [47!. Представляет самостоятельный интерес задача получения методов обработки проекций, регистрируемых в классических томографах, а также самих классических точограмм с целью синтеза по инм точныэ изображений слоев трехмерного объекта, т е. томограмм в современном понимании этого термина Для вмвода алгоритмов восстановления томограмм по проекииям, регистрируемым в классических томографах, воспользуемся следующим формальным приемом В выражении для трехмеркого обратного преобразования Фурье сО у х) 2 ' ) Р (и' тг' ®) е" р !з (их+пу+пзх)) аис1'бачр(1.90) сделаем замену координаты гэ на 8 ло закону чп=(исовр+пз!пр) 1д6, Так нан интеграл по ю имел бесконечные пределы интегрировакия, то, следовательно, надо потребоватгь чтобы для любых фиксированных и, о величина зиО изменялась также от — со до +со.
Поэтому необходимо, чтобы ~8~<и/2. 48 1 " ехр !1 (и,х, + ю,у, + ащ)] Йз (х, у, д; ф) = 2 )з ) Ц аиэгзтттичО Уи'+ ыг' Огсюда следует, что искажающая функция будет равна 6 (у,) 6 (х 81п р — у соз р) Мз(х, у, х; м) (1.88) 'г'ха+ х 'рг(х сов р+уз)пр)з+хз т. е. ее вид в координатах х„х совпадает с искажающей функцией в двумеряом случае.
3. Рассмотрим траекторию источника в виде окружности. Как следует из (1.72), фильтр Нз обладает циляндрнческой симметрией относительно оси ю. Поэтому будем вычислять функцию Из в цилиндрнчесннх коордикатах г, х, где х= р х'+у' ю ээ йз (г, х; 6) = — ~ ~ Ов(р, чр; 6),/о(рг) е'мхрЫрс(тн, -со в тде уэ(х) — функция Бесселя нулевого порядка. Для вычисления ивтеграла по тв воспользуемся следующим равенством: 1 Е пах хо (Х) = — „ з р'Т вЂ” чнз Для )прощения дальнейших расс)ждений потребуем-также, чтобы зависимость ф(8) была монотонной на всем интервале изменения О. якобиаион такого преобразования служит функция у дш/дО. При этом величина ф чожет быть алп параметром, или функцией от угла В. Используя теорему о центральном слое (1.03), из (!.90) получаем а> «1З :/(х, у, г)= — з Ц ') Ф(и,о; 6, р(8)) ~./(и, о; 6) ! ехр(([и(х+ -оз — «12 + я 1д 0 сов ф (9) ) + ф (у + г 1и 0 в)п (8)) Ц с(гироЮ.
Обозначая через со чжг (х, у; 9, р(0)) = — ( ( Ф(и, о; О, ф(9)) ),/(и, о; 8) ! )с, (2н)з Х ЕГ1" г+вт)С(иЖ так называемые «фильтрованные» двумерные проекции, выражение для / можно переписать в виде ~з у(х, у, н) = — ~ Ф(зг+312 Осовф, у+г1ЕОв!пф", О, р (6))(29.
(!.9!) 2н Полученное выражение аналогично по своей структуре формуле (!.82), выра- жающей алгоритм суммирования фильтрованных обратных проекций. Таким образом, для восстановления двумерной томограммы слоя г=сопз1 необходимо над проекциямн Ф(х, у, О, ф) выполнить следующие операции; !) фильтрацию проекций, т. е переход от Ф(х, у,' О, ф) к Ф(х, рд 8, ф); 2) обратное проецирование, т. е замену координат х на х+г1нОсоэф, у на !1+х(пОз!пф Эту операцию можно также интерпретировать как сдвиг каждой проекции на велвпшу — х1цО соя ф вдоль оси х и на — з190з!пф вдоль оси р Отметим, что дзя восстановления томограммы слоя х 0 необхо.
димо совместить все проекцяи без сдвига; 3) суммирование всех преобразованных проекций Ф(х+а(69созф, у+г168 з!п ф! О, ф). Модуль якобнана преобразования ноордииат определяет вид фильтра для спектоа проекций. В том случац когда задана зависимость ф=ф(0), этот фильтр имеет эид ! /(и ° 9) ! — ! и(сов ф (6)/сова 8 — я!и ф (О) фз1К 8)+ Ох о!в!пф (9)/совз 6 + сову (6). ф',1Е 6]1, (!.92) Для линейной траектории ф(0) =сопя! фильтр равен ! Уз(и, о; О) ! =(!/сояО) (исовф(0)+оя(пр(0) ~, (! 93) т, е. он является цилиндрическим р-фильтром с переменной амплитудой. Удобно воспользоваться записью якобиана через выражение траектории источкика г= г(ф (ОЦ = Яя(Е 9 В этом случае получаем, что ! 3(и, о; 9) ! = ! г„'ф'(и (г„'сов р (6) — гв!п ф(9))+ + о (г," яп ф (О) + г сов ф (8) Ц (, где г =дг/дф. Если ввести обозначения 1яа(0) г/г, 9(8) =ф(0)+а(8), то ! l(и,о; О) ! = $ исоя9+он!пр ! $ ф,'/г„! )кг~;й+г', 4 — 1!57 49 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
