Диссертация (1025996), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Введенныефункции ϕ1, ϕ 2 , ϕ3 , ϕ 4 устанавливают связь между координатами x2 и x1, y2 иy1 , α 2 и α1 , β2 и β1 соответственно, при их движении по соответствующемуаттрактору [25].Чтобы макропеременные (3.17) являлись инвариантными многообразияминеобходимо,ψ1,....,4 = 0 .чтобыДляэтоговведеннаясовокупностьмакропеременных (3.17) должна удовлетворять решению системы основныхфункциональных уравнений метода АКАРT1ψɺ 1 + ψ1 = 0,T ψɺ + ψ = 0,333T2 ψɺ 2 + ψ 2 = 0,T ψɺ + ψ = 0,44(3.18)4где T1 , T2 , T3 , T4 – постоянные времени, влияющие на качество динамикипроцессов в замкнутой системе «объект – регулятор». В общем случае,функциональные уравнения метода АКАР могут иметь вид нелинейныхдифференциальных уравнений 2-го порядка.
Условия устойчивости (3.18) имеютпростейший вид T1 , T2 , T3 , T4 > 0 .Подставив выражения (3.17) и полные производные выражений (3.17) вуравнения (3.18), будем иметьT1 xɺ 2 − ϕɺ 1 + x2 − ϕ1 = 0,T2 yɺ 2 − ϕɺ 2 + y2 − ϕ 2 = 0,T3 αɺ 2 − ϕɺ 3 + α 2 − ϕ 3 = 0,(3.19)T4 βɺ 2 − ϕɺ 4 + β2 − ϕ 4 = 0.Подставляя в (3.19) правые части уравнений для xɺ 2 , yɺ 2 , αɺ 2 , βɺ 2 системы(3.15), разрешим (3.19) относительно внешних управленийПолученные законы управления зависят от ϕ1,....,4 и ϕɺ 1,....,4 .u1, u2 , u3 , u4 .78Под действием внешних управлений u1, u2 , u3 , u4 изображающая точка(ИТ) системы попадет на пересечение многообразий ψ1,....,4 = 0 и затем начнетдвигаться вдоль него к заданному положению фазового пространства.
Припопадании ИТ на пересечение многообразий (3.17) происходит динамическаядекомпозиция системы (3.15). Движение ИТ вдоль пересечения многообразийψ1,....,4 = 0описываетсяуравнениями«внутренней»динамики–декомпозированной системойxɺ1 = ϕ1;yɺ1 = ϕ 2 ;αɺ 1 = ϕ 3 ;βɺ1 = ϕ 4 ;zɺ1 = µ1 ( x1 − x10 );zɺ2 = µ 2 ( y1 − y10 );zɺ3 = µ 3 (α1 −α m1 );zɺ4 = µ 4 ( β1 − β10 );αɺ m1 = ω mα m 2 +s1 ( s1α m1 + s2α m 2 )( Am2 −α m2 1 −α m2 2 )αɺ m 2 = −ω mα m1 +Am2;s2 ( s1α m1 + s2α m 2 )( Am2 −α 2m1 −α 2m 2 )Am2(3.20).Фазовое пространство декомпозированной динамической системы (3.20)имеет меньшую размерность, чем размерность системы (3.15).
В результатедекомпозиции произошло сжатие фазового пространства. Одна из основных идейв методе инвариантных многообразий (ИМ) состоит в сведении процесса высокойразмерностикпоследовательностинекоторыхпроцессовболеенизкойразмерности. На пересечении ИМ (3.17) наблюдается эффект динамического79сжатия фазового пространства. В математическом плане указанный процесссжатия реализуется путем последовательного вложения друг в друга первыхинтегралов дифференциальных уравнений замкнутой системы [36].Далее работаем с декомпозированной системой. Управление – это редукциястепеней свободы исходной сформированной системы дифференциальныхуравнений.
Поскольку переменные x2 , y2 , α 2 , β2 «зафиксированы» с помощьюуправления, которое еще не достроено, но уже включает часть, относящуюся кисключенным переменным, – далее рассматриваем систему, в которой их нет.Для системы (3.20), введенные ранее и названные «внутренними»управления ϕ1, ϕ 2 , ϕ3 , ϕ 4 являются внешними. Тогда для их нахождения в явномвиде введем еще одну параллельную совокупность макропеременныхψ 5 = ( x1 − x10 ) + h1 z1 ,ψ 6 = ( y1 − y10 ) + h2 z2 ,(3.21)ψ 7 = (α1 − α m1 ) + h3 z3 ,ψ8 = ( β1 − β10 ) + h4 z4 ,где h j , j = 1,...4 – постоянные коэффициенты.
В структуру макропеременных(3.21) входят желаемые технологические инварианты (3.16), определяющие целиуправления.Введенная совокупность макропеременных (3.21) должна удовлетворятьрешению системы основных функциональных уравнений метода АКАРT5ψɺ 5 + ψ5 = 0,T ψɺ + ψ = 0,777T6ψɺ 6 + ψ6 = 0,T ψɺ + ψ = 0,88(3.22)8где T5 , T6 , T7 , T8 > 0 – постоянные времени, также влияющие на качестводинамики процессов в замкнутой системе. Чтобы явно определить функцииϕ1, ϕ 2 , ϕ3 , ϕ 4 , продифференцируем макропеременные (3.21) и подставим80выражения для ψ 5,....,8 и их производных с учетом правых частей системы (3.20) вфункциональные уравнения (3.22)T5 ϕ1 + h1µ1 ( x1 − x10 ) + ( x1 − x10 ) + h1 z1 = 0,T6 ϕ 2 + h2µ 2 ( y1 − y10 ) + ( y1 − y10 ) + h2 z2 = 0,T7 ϕ3 −αɺ m1 + h3µ 3 (α1 −α m1 ) + (α1 −α m1 ) + h3 z3 = 0,T8 ϕ 4 + h4µ 4 ( β1 − β10 ) + ( β1 − β10 ) + h4 z4 = 0.(3.23)Отсюда в явном виде найдем выражения для ϕ1, ϕ 2 , ϕ3 , ϕ 4ϕ1 =ϕ2 =ϕ3 =ϕ4 =−( x1 − x10 ) − h1 z1T5− h1µ1 ( x1 − x10 ),−( y1 − y10 ) − h2 z2T6− h2µ 2 ( y1 − y10 ),−(α1 − α m1 ) − h3 z3T7−( β1 − β10 ) − h4 z4T8(3.24)+ αɺ m1 − h3µ 3 (α1 −α m1 ),− h4µ 4 ( β1 − β10 ).Под действием управлений ϕ1, ϕ 2 , ϕ3 , ϕ 4 изображающая точка системыпопадет на пересечение многообразий ψ 5,....,8 = 0 , на которых произойдетвыполнение целей управления – заданных технологических инвариантов.Условием для этого является стремление к нулю zi , i = 1,...,4.
Это хорошо видноиз декомпозированной системы81zɺ1 = −µ1h1 z1;zɺ2 = −µ 2 h2 z2 ;zɺ3 = −µ 3h3 z3 ;zɺ4 = −µ 4 h4 z4 .αɺ m1 = ω mα m 2 +s1 ( s1α m1 + s2α m 2 )(αɺ m 2 = −ω mα m1 +Am2Am2−α m2 1 −α m2 2);s2 ( s1α m1 + s2α m 2 )( Am2 −α m2 1 −α m2 2 )Am2(3.25).Устойчивость вырожденной системы (3.25) задается простыми условиями:µ1h1 > 0, µ 2h2 > 0, µ 3h3 > 0 и µ 4 h4 > 0 для первых четырех уравнений системы.Эталонная модель имеет предельный цикл.
Несомненным преимуществомиспользования свойства сжатия фазового пространства в синтезе законовуправления методом АКАР является наглядность и простота получения искомыхусловий асимптотической устойчивости этих уравнений, а, следовательно, изамкнутой системы.Полные производные от внутренних управлений (3.24) имеют вид−xɺ1 − h1 zɺ1− h1µ1 xɺ1 ,T5− yɺ − h2 zɺ2ϕɺ 2 = 1− h2µ 2 yɺ1 ,T6−(αɺ 1 −αɺ m1 ) − h3 zɺ3ɺɺ m1 − h3µ 3 (αɺ 1 −αɺ m1 ),ϕɺ 3 =+αT7−βɺ − h zɺϕɺ 4 = 1 4 4 − h4µ 4 βɺ1.T8ϕɺ 1 =(3.26)Выражения (3.26) раскрываются с учетом правых частей уравненийсистемы (3.15).Зная в явном виде выражения для ϕ1,....,4 (3.24) и ϕɺ 1,....,4 (3.26), с учетомправых частей уравнений системы (3.15), подставим их в полученные ранее82исходные нелинейные управления u1, u2 , u3 , u4 .
Выражения для управляющихзаконов u1, u2 , u3 , u4 приведены в П.2. Таким образом, в результате применениясинтеза методом АКАР был получен вектор внешних управлений вида u = u ( x ) ,гдеx–координатысостояниясистемыx = {q , qɺ , z , αm } =T= { x1 , y1 , α1 , β1 , x2 , y2 , α 2 , β2 , z1 , z2 , z3 , z4 , α m1 , α m2 } .TДинамическая системаxɺ1 = x2 ;(−a1 + a2 )xɺ2 = −Π H α 2 + x1 +β1 − Π H Ωβ1 + RAx + RBx + ...2+Fx + Ax sin ( pt ) + Ω2 e cos (Ω t ) ;yɺ1 = y2 ;(a − a2 )yɺ 2 = −Π H β2 + y1 + 1α1 + Π H Ωα1 + RAy + RBy + ...2+Fy + Ay sin ( pt ) + Ω2 e sin (Ω t ) ;αɺ 1 = α 2 ;ΠΠαɺ 2 = −Π1Ωβ2 + 2 ( a1 − a2 ) y1 + 2 (a12 + a22 )(1 + km ) − 2a1a2 (1 − km ) α1 + ...24()+a1Π2 RAy − a2 Π2 RBy + M x + Bx sin ( pt ) + Ω2 γ (1 − Π1 ) cos (Ω t );βɺ1 = β2 ;ΠΠβɺ 2 = Π1Ωα 2 + 2 (−a1 + a2 ) x1 + 2 ( a12 + a22 )(1 + km ) − 2a1a2 (1 − km ) β1 − ...24()−a1Π2 RAx + a2 Π2 RBx + M y + By sin ( p t ) + Ω2 γ (1 − Π1 ) sin (Ω t );zɺ1 = µ1 ( x1 − x10 );zɺ2 = µ 2 ( y1 − y10 );zɺ3 = µ 3 (α1 −α m1 );...(3.27)83zɺ4 = µ 4 ( β1 − β10 );αɺ m1 = ω mα m 2 +s1 ( s1α m1 + s2α m 2 )( Am2 − α m2 1 − α m2 2 )αɺ m 2 = −ω m α m1 +Am2;s2 ( s1α m1 + s2α m 2 )( Am2 − α 2m1 − α 2m 2 )Am2,с синтезированными нелинейными законами управления u1, u2 , u3 , u4 (см.
П.2)образуют замкнутую систему «объект – регулятор», а законы управленияобеспечивают желаемое движение системы. Иначе говоря, система (3.27) сзаконами управления u1, u2 , u3 , u4 – это исходная система с наложеннымисвязями, отражаемыми в структуре синтезированных законов управления.Система (3.27) после подстановки законов управления u1, u2 , u3 , u4 иупрощения выражений приведена в П.3.3.3.3.
Расчетные данныеВ соответствии с ГОСТ ИСО 1940-1-2007 [12] на основе выбранного классаточности балансировки e per Ω допустимый остаточный дисбаланс U per (г·мм)может быть рассчитан по формулеU per = 1000(e perΩ) m ,Ω(3.28)где (e perΩ) – показатель класса точности балансировки, мм/с, m – масса ротора,кг, Ω – угловая скорость вращения ротора, рад/с. При показателе класса точности0,4, массе ротора m = 12, 42 ⋅ 10− 3 кг и скорости вращения ротора Ω = 942,5 рад/с(9000 об/мин – рабочая скорость вращения ротора) значение U per = 5,3 ⋅ 10−3 г·мм.84В случае статической балансировки U per полностью относят к однойплоскости. Динамический дисбаланс следует распределить по плоскостямподшипников. Т.
к. a1 = a2U perA = U perB =U per a1a1 + a2= 2,64 ⋅ 10−3г ⋅ мм.(3.29)Согласно [12] для межопорного ротора допустимое значение дисбаланса недолжно превышать 0,7 U per max = 2,4 ⋅10−3г·мм и не должно быть меньше 0,3U per min = 10−3 г·мм. Поскольку расчетное значение (3.29) больше верхнегопредела, но удовлетворяет нижнему, принимаем верхнее значение в качествеокончательного – 2, 4 ⋅ 10−3 г· мм.Удельный дисбаланс соответствует эксцентриситету центра масс ротора[32], поэтомуe=γ=U per= 4, 27 ⋅ 10−7 м,mU perAma1(3.30)= 2,15 ⋅ 10−5 рад.Значения геометрических, конструктивных и физических параметров насосаприведены в Таблице 4.Таблица 4.Параметры НВКВеличинаЗначениеПараметры ротора и АМПДиаметр проточной частиДиаметр ротораD = 16 ⋅10−3 мd = 15,6 ⋅10− 3 м85Таблица 4 (продолжение).ВеличинаЗначениеПараметры ротора и АМПРадиальный зазорδ = 0, 2 ⋅ 10− 3 мДлина ротораl = 22 ⋅10−3 мМасса ротораm = 12, 42 ⋅ 10− 3 кгМоменты инерцииРасстояние от полюса ротора O до центровподшипников АМП А, АМП ВРасстояние от полюса ротора O до точекизмерения отклонений ротораЖесткость электродвигателяКонструктивный параметр электродвигателяI x = I y = 6,9 ⋅10−7 кг ⋅ м 2I z = 3, 78 ⋅ 10− 7 кг·м2a1 = a 2 = 9 ⋅ 10− 3 мa s1 = a s 2 = a1 = 9 ⋅ 10− 3 мcm = 6000 Н·м–1km = 0, 202e = 4, 27 ⋅ 10−7 мПараметры неуравновешенностиγ = 2,15 ⋅ 10−5 радБезразмерный комплекс Π1Π1 =Iz= 0,548IxБезразмерный комплекс Π 2Π2 =ml 2= 8, 714IxБезразмерный комплекс ΠKΠK =kAP= 1053cm Rδ86Таблица 4 (продолжение).ВеличинаЗначениеПараметры гидродинамикиcwηπl 3r 2 lБезразмерный комплекс ΠHΠH =• вязкость крови при 37 °Сmcm= 1,48 ⋅10−7Ixη = 0,003 Па·с(ньютоновская модель крови)• коэффициент сопротивленияcw = 0,91средыДля оценки значений внешних инерционных нагрузок кусочно-постоянногохарактераFx , Fy , M x , M y ,которымможетбытьподвергнутпациент,воспользуемся данными исследования [61] (Таблица 5), введя в соответствии с[61] понятие перегрузки NjN= ,g(3.31)где j – действующее ускорение, g – ускорение свободного падения.Таблица 5.Перегрузки, действующие на человека в повседневной жизни№Условия1.Перегрузка в лифте:− скоростной подъем− порог комфорта− экстренное торможениеВеличины Длительность,воздействияс0,1…0,20,32,51…5-КонтингентГруппа А87Таблица 5 (продолжение).Величины Длительность,воздействияс№Условия2.Перегрузкавобщественном транспорте:− разгон, торможение− экстренное торможение3.4.5.Перегрузка в автомобиле:− нормальное торможение− экстренное торможениеГруппа А0,1…0,20,452,5Группа А0,250,45Перегрузка при ходьбе подеревянному полу:− на каблуке обуви− в зоне таза− на головеПерегрузка на аттракционе(катальная гора)Контингент53,5Группа А311,30,6-3…51,5…0,5Группа АГруппой А обозначены лица, не имеющие специальной физическойподготовки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
