Диссертация (1025996), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

2.4. Связь систем координат42При анализе поперечных колебаний ротора движение вокруг оси Z нерассматривается и принимается Ω = const . Вращение ротора характеризуетсяуглом Ω t . Перемещения осей Ox o y o z o в направлениях X и Y определяютсявеличинами xo и yo , а повороты вокруг этих осей – малыми величинами α и βсоответственно. Тогда положение ротора будет определяться обобщеннымикоординатами полюса ротораq = { xo , yo , α, β} .T(2.1)Для вывода дифференциальных уравнений движения ротора используютсяуравнения Лагранжа второго рода [24, 73, 184]d  ∂T  ∂T= Qi , −dt  ∂qɺi  ∂qii = 1,...,4,(2.2)где T – кинетическая энергия, qi – обобщенные координаты, Qi – обобщенныесилы.Выражение для кинетической энергии твердого тела имеет вид [74]()1T = m vo ⋅ vo + 2m v o × Ω ⋅ rc + Ω ⋅ Iˆ o ⋅ Ω ,2(2.3)где vo – скорость полюса O , Ω – угловая скорость тела, rc – радиус-вектор OCцентра масс, Iˆ o – тензор инерции тела в точке O , а слагаемое Ω⋅ Iˆo ⋅ Ω вматричной записи в выбранном базисе имеет вид Ω T I o Ω .В предположении малости параметров неуравновешенности и перемещенийротора проекции угловой скорости на оси Ox o y o z o определяются известнымисоотношениями [24, 73]43 Ω xo   αɺ cos (Ωt ) + βɺ sin (Ωt )  Ω = Ω y o  = −αɺ sin (Ωt ) + βɺ cos (Ωt ) .  Ω −αβɺΩ z o  (2.4)Матрица тензора инерции ротора Iˆ o в точке O при данных параметрахнеуравновешенности в базисе Ox o y o z o имеет видIx0Io =  0Ix 0 −I z o yo0 −I yo zo  ,Iz (2.5)где I y o z o = I z o y o = γ ( I x − I z ) – центробежный момент инерции ротора [24].Согласно [74] в выбранном базисе(vo×Ω)⋅ rc= (v02Ω 3 − v03Ω 2 ) xco + (v03Ω1 − v01Ω 3 ) y co + (v01Ω 2 − v02Ω1 ) z co ,(2.6)где v01 , v02 , v03 – проекции скорости полюса O на связанные с телом оси Ox o y o z o(квазискорости), Ω1, Ω2 , Ω3 – проекции угловой скорости на эти же оси [74, С.

22],xco = e, yco = zco = 0 – координаты центра масс.Выражения для указанных квазискоростей имеют видv01 = xɺo a11 + yɺ o a12 + zɺo a13 ,v02 = xɺo a21 + yɺ o a22 + zɺo a23 ,(2.7)v03 = xɺo a31 + yɺ o a32 + zɺo a33 ,где aik – косинусы углов осей Ox o y o z o с неподвижными осями, выражающиесячерез эйлеровы углы по формулам таблицы косинусов [74, С. 45]. Исходя изэтого, получим(vo ×Ω)⋅ r = Ωe(− xɺ sin (Ωt ) + yɺ cos(Ωt )).coo(2.8)44Выражение для кинетической энергии, учитывая выше приведенныесоотношения в выбранном базисе, примет вид11T = m( xɺo2 + yɺ o2 ) + mΩe(−xɺo sin (Ωt ) + yɺ o cos (Ωt )) + ΩT I oΩ.22(2.9)Подставляя полученное соотношение (2.9) в уравнение Лагранжа второгорода (2.2) и совершая необходимые преобразования, получим известныедифференциальныеуравнениядвиженияроторавкоординатахq = { xo , yo , α , β}Tmxɺɺo = F1 + Fext1 + mΩ2e cos (Ωt );myɺɺo = F2 + Fext 2 + mΩ2e sin (Ωt );ɺɺ + I zΩβɺ = F3 + Fext 3 + Ω2 γ ( I x − I z )cos (Ωt );I xαI βɺɺ − I Ωαɺ = F + F + Ω2 γ ( I − I )sin (Ωt ),xz4ext 4x(2.10)zПервые два уравнения в (2.10) описывают поступательные движенияротора, последние два – угловые движения, причем вторые слагаемые левыхчастей характеризуют влияние гироскопического эффекта.

Как видно изуравнений(2.10)параметрынеуравновешенностииграютрольвнешнейпериодической нагрузки.В матричной записи уравнения движения примут видɺɺ + ΩGqɺ = F + Fext + Ω2Q v (t ),Mq(2.11)где M = diag (m, m , I x , I x ) – инерционная матрица, G – кососимметричнаяматрицасдвумяF = {F1 ,..., F4 } ,TненулевымиэлементамиFext = {Fext1 ,..., Fext 4 }T–(G )34 = −(G )43 = I z ,векторыобобщенныхэлектромагнитных реакций подвеса, внешних сил соответственно, Q v (t ) – векторобобщенных возмущающих сил45 me cos (Ωt ) me sin (Ωt ) Q v (t ) = .γ ( I x − I z ) cos (Ωt ) γ ( I x − I z )sin (Ωt )Обобщенные электромагнитные реакции подвеса создаются управляющимимагнитными силами подшипниковFAMB = { FAx , FAy , FBx , FBy } ,T(2.12)которые приложены к ротору в точках управления АМП А и АМП В нарасстоянии a1 и a2 от точки O .

Датчики имеют те же продольные координаты,что и центры опорных участков ротора, т. е. точки управления совпадают сточками измерения.Векторы F и FAMB связаны соотношениемF = Tb T FAMB ,(2.13)где Tb – матрица преобразований,10Tb = 10001a1001 −a2−a1 0 .a2 0 (2.14)Тогда с учетом выражения (2.13) уравнения движения (2.11) примут видɺɺ + ΩGqɺ = TbT FAMB + Fext + Ω2Q v (t ).Mq(2.15)462.2.1. Моделирование радиальных магнитных подшипниковПринцип действия магнитных подшипников основывается на эффектелевитации в магнитном поле, т. е. вывешивании и/или центрировании ротора безмеханического воздействия только силами притяжения или отталкивания состороны магнитного поля статора, благодаря чему ротор вращается безмеханического контакта со статором [24, 74].

Система датчиков постоянноотслеживает положение вала, и подает сигналы на позиционные магниты статора,корректируя силу притяжения с той или иной стороны.Схема электромагнитных цепей подшипников представлена на Рис. 2.5.47Рис. 2.5. Электромагнитные цепи радиальных подшипников48Наобмотки подаетсятоксмещенияi0 , который суммируется суправляющими токами. Управление осуществляется по дифференциальной схеме,согласно которой управляющие токи в противоположных электромагнитах равныпо значению и противоположны по знаку. Токи iAx и iBx создают магнитные силыFAx и FBx в направлении оси X , а токи i Ay и iBy – силы FAy и FBy в направленииоси Y .

Для магнитных сил подшипников имеем [24, 79, 119, 125, 135, 141, 144,171, 180]22i+ii−iFAx = FAx1 − FAx 2 = k A  0 Ax  −  0 Ax   , δ − xbA   δ + xbA   i + i 2  i − i 2 0Ay  −  0 Ay   ,FAy = FAy1 − FAy 2 = k A  δ − ybA   δ + ybA  22i0 + iBx   i0 − iBx   −   ,FBx = FBx1 − FBx 2 = k B δxδ−x+bBbB  i + i 2  i − i 2 FBy = FBy1 − FBy 2 = k B  0 By  −  0 By   , δ − ybB   δ + ybB  гдеk A = kB =µ 0n2 Acos (χ ) – конструктивный параметр ( µ 02(2.16)– магнитнаяпостоянная, n – число витков обмотки, A – площадь, занимаемая обмоткой, χ –угол отклонения магнитной силы от вертикали/горизонтали равный 22,5° (Рис.2.6)), δ – радиальный зазор, вектор обобщенных координат центров опорныхучастков ротора xbA   x1 − a1β1   ybA   y1 + a1α1 qb =   = , xbB   x1 + a2 β1    ybB   y1 − a2α1 (2.17)49i Ax , iBx , i Ay , iBy–управляющиетокиподшипниковвсоответствующихнаправлениях.Рис.

2.6. Электромагнитные цепи радиальных подшипниковВекторы q и qb связаны соотношениемqb = Tbq.(2.18)При управлении по току предполагается, что требуемое значение токауправления будет обеспечиваться точно в любой момент времени. При подвеселегких роторов и наличии достаточного ресурса напряжения такой подход вполнеоправдан и широко используется на практике [24].В случае подвеса одностороннего действия ток смещения i0 вызываетпостоянную магнитную силу, которая компенсирует силу тяжести. Для подвесадвустороннего действия, как отмечают в [24] существует определенный произволв выборе значений токов смещения. Обычно на практике принимается значениеi0 =imax.2Магнитное смещение, создаваемое токами i0 ,(2.19)вызывает в подвесепредварительный силовой натяг.

Управление силой происходит за счетувеличения натяга в одном направлении при одновременном его уменьшении впротивоположном направлении.502.2.2. Учет влияния электродвигателя на подвесПри включенном электродвигателе в правую часть уравнений движения(2.15) войдет матрица позиционных сил Cmɺɺ + ΩGqɺ = TbT FAMB + Cm q + Fext + Ω2Q v (t ).Mq(2.20)Для электродвигателя длиной lm расположенного в симметричном подвесеротора согласно [24] матрица, учитывающая его влияние на подвес, имеет вид1 + km01 − km0 01+k01−kcmmC= m ,01 + km0 4 1 − km 01 − km01 + km где cm – жесткость электродвигателя, km =lm23(a1 + a2 ) 2(2.21)– постоянная величина(конструктивный параметр электродвигателя).

Матрицы C и Cm связанысоотношениемCm = TbT CTb .(2.22)С учетом (2.22) система уравнений движения (2.20) перепишется в видеɺɺ + ΩGqɺ + (−TbT CTb )q = TbT FAMB + Fext + Ω2Q v (t ).Mq(2.23)2.2.3. Учет гидродинамического сопротивленияРотор, взаимодействующий с потоком жидкости, в данном случае крови,подвержен влиянию циркуляционных сил, обусловленных трением в жидкостномслое [6, 20, 42, 126, 161, 184].51Для тела, имеющего форму цилиндра коэффициент сопротивления (viscousdrag coefficient) зависит от числа Рейнольдса Re [184], которое определяетсявыражениемRe =r2Ω,ν(2.24)где r2 – радиус проточной части насоса, ν – кинематическая вязкость жидкости,зависящая от среды и температуры.

Характеристики

Список файлов диссертации