AOP_Tom1 (1021736), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Нг -г — -,'Н -г 17. !?ервое решение (элементарное) (Положим знаменатель равным (р — 1)', что кратно истинному знаменателю, но не кратно р Тогда достаточно показать, что соответствгющяй числитель, (р — 1)'/1+(р — 1)'/2+ +(р — 1)'/(р — 1), лвллепгсл кратным р (р — 1)'/!е = (р — 1)'!г' по модулю р, где й' определяется нз соотношения !г!г' шее(р = 1 Множесгво (1',2',, (р — 1) ) — это просто множество (1, 2,, р — 1), поэтому числитель сравним с (р — 1)' (1 + 2 + + р — 1) ш 0 Второе решение (более сложное). Из упр. 4.6.2-6 имеем хо ш хо — х (по модулю р); тогда из упр. 1.2.6 — 32 получаем [~] ш Б»р — Б»».
А теперь применим упр. 6. Известно, что числитель Нр 1 на самом деле кратен р при р > 3; см, работу Нах»(у, г %г!6ЬИ Ал 1псго»!все!оп го гйе г'Ьеогу о/ХптЬет, Яесйоп 7.8. 18. Если и = 2 т, где т нечетко, то сумма равна 2г»т»/тг, где и т», и 1иг нечетны. [АММ 67 (1960), 924-925.) 19. 'Галька при и = О, п = 1. Для и > 2 положим )г = (!8 и) . Существует ровно один член, знаменатель которого равен 2», поэтому 2" '̈́— -' является суммой членов, в знаменателе которых содержатся только простые числа.
Если бы Н„было целым, то 2» 'Н вЂ” -' имело бы знаменатель, равный 2. 20. Разлагаем подынтегрвльное выражение и интегрируем почленно. См, также АММ 69 (1962), 239, и статью Н. ЪЧ. Сои!6, Магйетайсо Мабая!пе 34 (1961), 317-321. 21. И„„— Н„„. 2 (г! 22. (и+ 1)(Нг — Н! !) — 2и(̈́— 1). 23.
Г'(и+ 1)/Г(и+ 1) = 1/и+ Г'(и)/Г(и), так как Г(х+ 1) = хГ(х). Отсюда Н„= 7+Г'(и+1)/Г(и+1). Функция»р(х) = Г'(х)/Г(х) = Н» -7 называется иси-функцией или дигамма-функцией. Некоторые значения для рациональных х приведены в приложении А. 24. Получаем (и„ыо)р Аур1 хх .у»1 ), х(х+1)... (*+ и) и*и! »рм Замечание. Следовательно, обобщенная величина Н, рассмотренная в предыдущем упРажнении, Равна Н~" = 1»йо(1/(5+ 1)" — 1/(к+ 1+ х)') пРи г = 1.
ЭтУ же идею можно использовать для более высоких значений г. Наше бесконечное произведение сходится для всех комплексных х. РАЗДЕЛ 1.2.8 1. Через /г месяцев будет Р»»г пар, значит, через год — Р»4 = 377 пар. 2. !п(ф'т~/»/5) = 1000 !пф — -'!и 5 = 480.40711. !обш Г|ооо равен предыдущей величине, умноженной на 1/()и 10), т. е. 208.64. Следовательно, Р)ооо — это число, состоящее нз 209 цифр, первой из которых является 4. 4.
О, 1, 5; после этого функция Б, возрастает слишком быстро. 5. 0,1,12. 6. По индукции. (Это равенство выполняется также для отрпцагиельнмх и; см. упр. 8.) 7. Если 4 является собственным делителем и, то Ро делит Р . Далее, Ро больше единицы и меньше Р при условии, что о( больше 2. Единственное не простое число, которое не имеет собственного делителя, большего 2,— зто и = 4.
Следовательно, единственным исключением является Р4 = 3. 8 Р— ~ = 1; Р-г = — 1. Инлукцией по и можно доказать, что Р- = (-1)"+~г» 9. Не выполняется (15). Остальные соотношения справедливы; зто можно установить индукцией "назад", т. е, показать, что лредположение верно для и — 1, если оно верно для и и ббльших значений.
10. Если и четно, то оно больше, а если и нечетно, то меньше (см. формулу (14)). 11. По индукции (см. упр. 9). Это частный случай упр. 13, (а). 12. Если б(з) = ~ У' з", (1 — з — зз)б(з) = з+ Гозз + Гззз ч- = з+ згС(з). Отсюда б(з) = С(з) + зС(з)г; из (17) находим » = ((Зп+ 3)/5)Ä— (и/5)Г„+з. 13. (а) а = гГ„з+вГ„г (Ъ) Поскольку (6„+э+с) = (6»+з+с)+(Ь„Ьс), можем рассмотреть новую последовательность Ь'„=6„+с. Применяя п, (а) к Ь'„, получим сГ»-з+(с+1)Г„-с. 14. а =Гт+зà — з+(Гм+г+1)Г» ( ) ( ) ''' ( ). 15. с = ха„+ УЬ -г (1 — х — у)Г» 16.
Г»ез. Доказываем по индукции и применяем соотношение (и+1 — Ь) (и — Ь) ((73 — 1) — (Ь вЂ” 1)) 17. Воспользуемся тем, что (х"+" — у"+з)(х з — у з) — (х" — у")(х — у ) равно (ху) (х — У )(х — у ). В этом соотношении положим х = ф, у = ф и разделим его на (з/5) . 18. Да, так как это Гз +з. 19. Пусть и хз сов 72', о = сов Зб'. Имеем и = 2оз — 1, о = 1 — 2з1п 18' = 1 — 2из.
Отсюда и+ о = 2(ог — иг), т. е, 1 = 2(о — и) = 2о — 4ог + 2. Следовательно, о = -'ф. (Кроме того, и = -'ф ', з1п36' = -',50мф ч', эш72' = -',5'~'фч~) 20. Г тз — 1. 21. Умножаем на х +х — 1 и находим ответ: (х "+'Г ез + х"+зÄ— х)/(х +х — 1).
Если знаменатель обращается в нуль, т. е. х равно 1/ф илн 1/б, то рензением будет ((и+ 1)х" Г +з + (и+ 2)х"+~à — 1)/(2х 4-1). 22. Г +г: в следующем упражнении положите З = 2. ( )(фзûà -зф бзГзГ -зот) (ф™(ФГз+ К~-з) т (фГз+ Гз-з)") = Г~ы . з/5 24.
Г +з (разложите определитель по элементам первой строки). 25. 2" з/5Г = (1+ з/5)" — (1 — з/5)". 26. По теорелзе Ферма 2» ' ш 1; теперь используем предыдущее упражнение и упр. 1,2.6- 10(Ь). 27. Для р = 2 утверждение верно. Для остальных р справедливо соотношение Гг-зГ»ез— Гр — — -1. Тогда из предыдущего упражнения и по теореме Ферма получаем: Гр зГр+з щ 0 (по модулю р). Только один из этих сомножителей может быть кратным р, поскольку Г„., =Г,+Г,, 28. Сг". Замечание. Решениезз рекуррентных соотношений а„ез = Аа + В", ао = 0 является а» = (А' — В")/(А — В), если А зе В, а„= пА" ', если А = В.
29 (а) (о)л (,) (,) (з) (,) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 О О О 0 1 1 1 0 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 3 6 3 1 0 0 1 5 15 15 5 1 0 1 8 40 60 40 8 1 (Ь) следует из (6). (Е. 1 исае, Апзег. Х Мазб. 1 (1878), 201-204.) 30. Доказательство проводим индукцией по пд при гл = 1 утверждение очеицдно. (п»~ ( 1 ц -»//цр -»Р Ь ч ~™ — 1~ ( 1)цт-»//цР— г ( ) Е( ) (-»""-"'"'~.; —,'(- )" » — ( ) Г 7 (гл 1) ( 1)н -1-»)/2!Р -2 О (с) Так как ( — 1)~Г» = Р»,Р— Г~Р ~ и Р ф О, из (а) и (Ь) следует, что Е ( ) (-1)В )/ЦР »Г„, = О, (6) Поскольку Р„.»» = Г» ~Р„+лЄ+ц результат следует из (а) и (с).
Этот результат можно также доказать в более общем виде, если воспользоваться 9-номнальной теоремой из упр. 1.2.6-58. (См. Пот Загбеп, йеспгг/п8 Яецпепсеэ, 2пс( ей. (Летова!еш, 1966), 30-33; Л. Кюгбап, Ппйе Ма»Ь. Х 29 (1962), 5 — 12.] 31. Используйте уяр. 8 и 11.
32. По модулю Р' последовательность Фнбоначчи выглядит так: О, 1,...,Ь'„-»,О, Е -г — м 33. Заметим, что сов з = -'(е'* + е '*) = -1/2 для этого конкретного х, и воспользуемся тем, что зш(п+ 1)х + з)п(п — 1) г = 2 е(пня соз х для всех ю 34. Сначала докажем, что единственно возможным значением Г», является наибольшее число Фибоначчн, которое меньше или равно и. Отсюда и — Г», меньше, чем Г», ы и по индукции получаем, что существует единственное представление и — Г»,. Это доказательство во многом аналогично доказательству теоремы о единственности разложения целого числа на простые множители.
Система чисел Фибоначчи была предложена Э. Зекендорфом (Е. ХесЬепоогЕ) [см. Я/топ Ягегш 29 (1952), 190 — 195; Ви/1. Кос. Яоуа)е»(еэ Бс/евсее»/е Мейе 41 (1972), 179 — 182]; более общие результаты приведены в упр. 5,4.2-10. 35. Сч. С. М. Вегбшап, МагЬешабсе Мабав/пе 31 (1957), 98-110. Чтобы представить х>0, найдите наибольшее Й, для которого ф" < х, и представьте х как ф плюс представле» ние х — ф . » Представление для неотрицательных целых чисел можно получить также с помощью следующих рекуррентных соотношений, которые справедливы для всех целых чисел, начиная с 0 и 1 (представленне которых тривиально). Пусть 1„= ф" + ф'" = Г„»~ Ч- г'„ Тогда представлением Ьы + гл для 0 < и» < Аэ„ ~ и и > 1 будет фы + ф ~" плюс представление т. Представлением бы ы + т для 0 < гл < Ьэ„и и > 0 будет ф»4 ы + ф плюс представление гп — ф ~".
Последний результат получен с помощью соотношения ф ф ' = ф" ' + ф" + ' ' + ф» П~'. Оказывается, что все строки а, состоящие из нулей и единиц (такис, что с» начинается с 1 и не имеет соседней единицы), встречаются слева от разделяющей точки в представлении ровно одного положнтельного целого числа. Исключение составляют строки, которые заканчиваются 10ы 1, но они никогда не встречаются в подобных представлениях.
36. Рассмотрим бесконечную строку Я~„первые Р„букв которой для любого и > 1 образуют строку Я„. В этой строке нет ни удвоения буквы а, ни утроения буквы Ь. В строке о содержится Г„э букв а и Е ~ букв Ь. Если выразить пг — 1 с помощью системы чисел Фибоначчи (как в упр. 34), то а будет и»-й буквой строки Я„, тогда и только тогда, когда Ь, = 2. С другой стороны, Ь будет Ь-й буквой строки Я„тогда и только тогда, когда ((Ь ч- 1)ф '] — (Ьф '] = 1. Поэтому количество букв Ь среди первых Ь букв равно ИЬ+ 1)ф ']. Кроме того, Ь будет Ь-й буквой тогда и только тогда, когда Ь = (тф] для некоторого целого положительного тп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
