AOP_Tom1 (1021736), страница 142
Текст из файла (страница 142)
20. Имеем т>. = тах(ас — Ьп...,а„— 6„). Доказательство. Предположим, что это не так, Пусть /с — наименьший индекс, для которого ав — Ьв > ть. Тогда ас не яв- ляется максимумом слева направо и, значит, существует такое у < 6, что а„> аь. Но тогда а„— 6, > аь — Ьл > т>„что противоречит минимальности 6. Аналогично слл шах(6> — а>,...,Ь вЂ” а ).
21. При е > д результат тривиален, поэтому предположим, что с < д. Полагая х = ~~'- -~;- в (25), получим Рг(Х > л(р+ е)) < ((+)е ы( —,',)' ')". Имеем (+)г+' < е ', так как Г < е' для всех действительных 6 И (д — с) 1и;-~;- = е — — 'с д — — 'с д —. < с — с с .
(Более подробный анализ дает несколько более сильную оценку ехр(-с л/(2рд)), где р > з; далее легко получить верхнюю грань ехр( — 2с~п) для всех р.) Поменяв местами роли "орла" и»решки", получим Рг(Л < л(р — с)) = Рг(п — Х > л(у+ с)) < е 22. (а) В (24) и (2о) положим х ш г и заметим, что йь 4-рзг = 1+(г — 1)рь < ем 'зр". ]См. Н. СЬегпоб, Алла1з о/Ма!5, Ясаг. 23 (1952), 493-507.] (Ь) Положим г = 1+ дз где ]5] < 1. Тогда г "е' ' = ехр( — з'з5~+ — 'зб~ — ). Это выражение < е ~ гз при 5 < 0 и < е ~ г~ при 5 Е О -г г-«! (с) По мере того как г возрастаетот1 досо, функция г 'е' " убывает от 1 до О. Если г > 2, то значение функции < 1е'гз < .825; если же г > 4.32, то значение функции < -'.
Интересно заметить, что неравенства для хвостов распределений при х = г дают точно такую же оценку (г "е" ')", если Х из упр. 15 имеет распределение Пуассона. 23. Полагая в (24) х = Г:-'-7Э;, получим Рг(Х < п(р — е)) < ((р,) '(~)' ')" < е ' "Пере( Аналогично при х = ~~'--л+-, получим Рг(Х > п(р+'е)) < ((р+,)р '(~~) ) Положим ((е) = (9+ е) )п(1+ -') — (р+е) 1п(1+ „-') и заметим, что ( (е) = 1п(1+ т) — 1п(1+ р) Отсюда следует, что ((е) < — е /(брд), если 0 < е < р. РАЗДЕЛ 1.2.11.1 1.
Нулю. 2. Символы 0 могут представлять различные приближенные величины. Поскольку ле- вой частью может быть ((и) — (-/(и)) = 2((п), самое большее, что можно сказать, — это О(((п)) — 0(((п)) = 0(/(и)) (следурт из (6) и (7)). Чтобы доказать (7), нужно зэметитзн 'зтоеслн]х-] < М]У(п)] длЯ и > по и]х'„] < М ]((и)] длЯ и > и,', то]хз ~х'„] < ]х„]+]х'„] < (М+ М )]/(и)] для гз > лзах(гзз, па). (Подпись: Студент Квике.) 3.
и(!по) -1- уп+ 0(з/й!пи). 4. 1п а+ (1п а)з/2п+ (!па)з/бпз+ 0(п з). 5. Если /(и) = и и д(п) = 1, то гз принаддежит мнонгеству О(((п) + д(п)), но не мнонгеству /(п) + 0(д(п)). Поэтому утверждение ложно. 6. Символов О переменное число, а именно — и. Их заменили единственным символом О, ошибочно полагая, что одного значения М будет достаточно для каждого неравенства ]!гп] < Мп. Как мы знаем, на самом деле данная сумма равна 61(пз).
Последнее равенство, , 0(п) = 0(пз), совершенно справедливо. 7. Если рассмотреть степенной ряд 1.2.9-(22), то видно, что для положительных х вы- полняется неравенство е* > х т'/(т+ 1)! Отсюда следует, что отношение е*/х нельзя ограничить нн одним М. 9. Сделаем замену и на е" и применим метод из предыдущего упражнения. 9. Если ]((х)] < М]х]~ для ]з] < г, то ед" 1 < ем!*! = 1 + ]з]~(М + М~]з]~(2! + Мз]з]™(31+... ) < 1+ ]з]~(М+ Мзг /2г+ Мзгз~(р+ ) 10. 1п(1+0(з )) = 0(з ), если т — положительное целое. Даказательспзеа. Если ((з) = 0(з ), то существуют положительные числа г < 1, г' < 1 и константа М, такие, что ]/(з)] < М]з] < г~ пРи ]з] < г.
Тогда ]1п(1+ ((з))] < ]((з)]-Ь з]((з)]~+. < ]з] М(1 4- —,'г + ). 11. Формулу (12) можно прилзенить для гл = 1 и з =!пи/и. Это справедливо, поскольку 1и и/п < г для любого заданного г > О, если и достаточно велико, 12. Пусть ((з) = (зе /(е* — 1))'г~. Если бы (г 'зг~ ] было равно 0(пь), то из вспомогатель- ного тождества следовало бы, что (з~] ((з) = 0(п~/(к — 1)'), поэтому степенной ряд для /(з) сходился бы при з = 2лз. Но /(2яз) = со.
13. В определениях 0 и П можно взять 7, = 1/ЛХ. " Н оригинале — з. Н. З2нкЕ От англ. "Чнзсн" (здесь — "сообразительный"). — Прим. иерее. РАЗДЕЛ 1.2.11.2 1 (Во+Взз+Взз~/2!+... )е'=(Во+Взз+Взз~/2!+.. )+з; примените формулу 1 2 9 — (11), 2. Для того чтобы можно было выполнить интегрирование по частям, функция В +з((х)) должна быть непрерывной. 3. !й ) < )В /(т)!) );" !/! !(х)!Нх.
[Замечания. В (х) = ( — 1) В (1 — х) и В (х) равно т!, умноженному на коэффициент при з в разложении зе* /(е" — 1). В частности, так как еюп/(е' — 1) = 1/(е'!з — 1) — 1/(е — 1), имеем В,(1) = (2' — 1)В,„. Нетрудно доказать, что максимум ! — В (х)! для О < х < 1 достигается при х = —, когда зп четно.
А теперь при тп = 23 > 4 давайте просто запишем В и С для величин Я и С~„. Имеем Вм з = С +В = ~;"( — В ((х)))/~~!(У) Нх/т! и  — В~((х)) лежит между О и (2 — 2' )В . Следовательно, В з лежит между О и (2 — 2' )С . Отсюда получаем, что Я лежит между — С,„и (1 — 2' )С (это более сильный результат).
ТаКИМ ОбраЗОМ, ВИДНО, Чта ЕСЛИ /!~+и(Х) /! ЕО(Х) > О дпя 1 < Х < И, тО ВЕЛИЧИНЫ См+З и С е4 имеют противоположные знаки, в то время как В имеет такой же знак, как С, +з, В +з имеет такой же знак, как С +м и !й +з! < )С ез); это доказывает формулу (13). (См. 3. Р, Язе!зепзеп, 1пзегро!аВоп (Ва!з!тоге, 1937), 314.] 4.
~ !з = +~ — ' п = Виы(и) — — В, +и ,„ и + Вь т! з+, 1 1 1+т 19 (т — )з+1)! го+1 т+1 5. 2зч(,)з к = ч/2 1!ш -ч~о з/й(2и)! ' 2 из(и — 1) ... (1) 2 2.4 4 ч и и (и — ~)з(и з)з (1)з 1 3 3 5, 6. Пусть с > О. Рассмотрим сумму 2 е<ь<„!п(!з+ с). Находим !п(с(с+ 1)... (с+ и — 1)) = (и+ с)!п(и+ с) — с!пс — и — -' !п(п+ с) + -' 1пс В,( — 1)" / - ~- .(я-.) ~(.") - — —.-/ "- 1<И<и Кроме того, Вз( — 1) / 1 ~ 1 / В «х))4х 1п(и — 1)! = (и — 1) !пи — и+а+ ~ ( — /! — — у! 3 /з(!з — 1) (,из 'у! т,/„х"' 1<з<м Но !пГ з(с) = с1п(и — 1) + 1п(и — 1)! — 1п(с...
(с+ и — 1)). Выполняя подстановку, при и -+ оо получаем !пГ(с) = — с+(с — -')1пс+а+ ~ — — ( Вз( — 1)ь 1 Г В «х))г!х з 2- Ый-1)сз-~ т/с (х~-а). 1<З<м Отсюда следует, что Г(с+ 1) = се'"гм! имеет такое же асимптотическое представление, как и с!. 7. А и" !зе"7земмзе " !з, где А — константа. Для получения этого результата примените формулу суммирования Эйлера к 2 „",'/с!пй. Чтобы получить более точную формулу, нужно умножить полученный результат на ехр(-В4/(2 3 4п ) — .. — Ви/((21 — 2)(2! — 1)(21)и ) + 0(1/и )). Число А называется постоянной Глейшера и равно 1.2824271...
[Меэгепбег о/ Магй. 7 (1877), 43 — 47]. Эта постоянная, как можно показать, равна г7зг-Ец-0 . «-Г!гуг<гЗ)зузг [бе Вги!1и, Азугорсойс Мезбос!э гп Апа!уэ!э, 13.7]. 8. Мы имеем, например, 1п(апг + Ьп) = 2 1п и -ь !па + !п(1+ Ь/(ап)). Поэтому ответом на первый вопрос будет 2апг 1пп+ а(!па — 1)пг + 2Ьп!пи + Ьп!па + !пи+ Ьг/(2а) + о+ (За — Ь )Ь/(ба п)ч-0(п г). При вычислении величины !п(спг)! -!п(сп — и)! -п!по-!и пг'.+ 1п(пг — и)! = (с — 1)/(2с) — (с — 1)(2с — 1)/(бс и)+О(п г) после многочисленных сокращений получим з1дмг( (с — 1)(2с — Ц) бог п ббг Кстати, ['"„) /с" ("„) можно записать в вице П",з (1 + о//(п~ — 1)), где сг = 1 — 1/с. 9. (а) Имеем !п(2п)! = (2п+ -') !п2п — 2п+ а+ ~„+ 0(п з) и !п(п!) = (2п+ 1) 1пив 2п+ 2а + —.'„+ 0(п з). Следовательно, (г„") = ехр(2п!п2 — -'!пяп — — '„+ 0(п з)) = 2г" (лп) 'г~(1 — -'и ' + фп г + 0(п з)).
(Ь) Поскольку (г") = 2г" [" 'г~) и (" 'г~) = Г(п + 1/2)/(пГ(п)Г(1/2)) = и 'пзсз/,/и, из 1,2.11.1 — (16) получаем такой же результат, потому что !11/21 = ' ~ -1/21 = ( 2 ) = 8' !1-3/2! = ( 4 ) + ( ) 128' Метод (Ь) объясняет, почему все знаменатели в (.) = —.. ~'- 2п1 2г" / и"' и г Зп з 21п з 399п 869п б и / ~/тл 1, 8 128 1024 32768 262144 4194304 имеют степень 2 [КпизЬ, Ъ'аг61, АММ 97 (1990), 629 — 630]. РАЗДЕЛ 1.2.11.3 1.
Проинтегрнруйтепо частям. 2. Подставляем в интеграл ряд для е 3. См. формулу 1.2,9-(11) и упр. 1,2.6-48. 4. 1 + 1/и ограничена кяк функция от и, поскольку она стремится к нулю, когда о пробегает промежуток от г до бесконечности. Замените 1+ 1/и на М, и тогда полученный интеграл будет равен Ме 6. Функция /"(х) = /(х)((п + 1/2)(п — 1/2)/хз — (2и + 1)/х + 1) меняет знак в точке г = и + 1/2 — з/и + 1/2,поэтому ]К] = 0(/б"]/"(х)]з!х) = 0(/б" /"(х)б!х — ]'" /"(х)з!х) = О(/'(и) — 2/'(г) + /'(О)) = 0(/(и)/«/й).
6. Приведем левую часть к виду и" +я ехр((п+ 6)(а/и — о~/2п~ + 0(п з))) н т, д. 7. В подынтегральном выражении, представленном в виде ряда по степеням х ', коэффициент прн х " имеет порядок 0(иг"). После интегрирования члены с х з будут иметь вид Си«/хз = 0(х бг~) н т. д. Чтобы получить в ответе точность порядка 0(х г), можно отбросить члены и"/х с 4пз-п>9 Тогда, разлагая произведение ехр( — иг/2х) ехр(из/Зх )..., в конце концов получим ответ з з 4 7 б 9 3 ух' — — х + — х + — х — — х — — х +( — — — )х +О(х ). ~сз У вЂ” Ыз У -згз У вЂ” г У -з7з У вЂ” згг г У У з -«!4 6 40 12 336 Зб «3456 20г 8. (Решение Миклоша Шимонавица (М))2!оэ Я)шопот)ээ).) Для достаточно больших х имеем )/(х)) < х.
Обозначим через Н(х) = /дт)(е 22"'*) — е ~2"'*))Ыи разность между двумя заданными интегралйми, где д(и,х) = и — х1п(1+ и/х) н Л(и,х) = и~/2х — и~/Зх~+ . + ( — 1) пж/тх Заметьте, что д(и, х) > 0 н Л(и, х) > 0 при )и) < х; кроме того, д(и,х)=Л(и,х)+0(и +/х ), По теореме о среднем значении е' — е = (а — Ь) е' для некоторого с, лежащего между а н Ь. Поэтому )е — е ~ < )а — Ь|, если а, Ь < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
