AOP_Tom1 (1021736), страница 137
Текст из файла (страница 137)
х+т х+т 1 и — 1 (х)+т и — 1 !(х)+т! х+т 35. — 1= — — — — — < — < ~ < . А теперь и и и и и и 1 и ! и воспользуйтесь упр. 3. Применив упр. 4, можно получить аналогичный результат для функции "потолок". Оба тождества являются частными случаями теоремы Мак-Элиса из упр. 34. 36. Предположим сначала, что и = 25 Тогда следовательно, с помощью результатов упр.
33 получаем И, если и = 21+ 1, имеем 1~ Ч- (и/2) = 1~ Ч- Г = из/4 — 1/4. Аналогично для второй суммы получаем (и(и+ 2)/4). шй+ х тп(п — 1) 37. «э + х. Обозначим через (р) величину р(по41. Чтобы полуп 2 а<э< чить требуемую сумму, мь( должны вычесть из предыдущего равенства о<а< Велнчинй Я состоит из «( экземпляров одной н той же суммы, так как если ( = и/8, то имеем (тй+ х) (т(Л <-1) + х) Положим и = т/4 тогда Поскольку $ .1 и, последняя сумма равна (хшобд) (хшо(1о 1) (х шопе 1 — 1) И наконец, так как (х шо((8)/и < 1//, то, опустив скобки в этой сумме, получим (((х п«об «() ( — 1) и 2 Применяя упр.
4, получим тождество ~лй+х ) (ш+ 1)(п — 1) 4 — 1 2 2 оба<« Если суммирование распространить на область О < Л < и, формула станет симметричной относительно т и п. (Эту симметрию можно объяснить, нарисовав график функции> стоящей под знаком суммы, как функции от Л, а затем отразив его относительно прямой р =х.) 38. Обе стороны равенства увеличиваются на (у), когда х увеличивается на 1, поэтому можно предположить, что О < х < 1. При х = О обе части обращаются в нуль. Когда х возрастает, при каждом переходе значения 1 — Л/у прн р > Л > О обе части увеличиваются на 1.
(Сгейе 138 (1909), 42; случай П = и был рассмотрен 1П. Эрмитом (С. Негш!(е), Асса МайЛ. б (1884), 315.) 39. Докажем п. (1). Рассмотрим более общее тождество. Па<с<„2 эш х(х+Л/и) = 2 эш лпх. Поскольку 2э(п8 = (е'о — е 'а)/1 = (1 — е ла)с*а * /«, данное тождество является следствием следующих двух формул: П ' -о («э»ь/») ° — 2 « 1 — е )=1 — с Т"Т («-(1/2)-)-(а/»)) (»« — 1/2) =г о«ь< а<а< Вторая форл«ула верна, так как функция х — -' репликативна, а первая верна, так как в разложении многочлена на множители х" — а» = (х — а)(х — ып)... (х — (о" а), где «» = е '/, можно положить х = 1. к Г. Айзенштайну (С. Е!эепеге!п), Сге/!е 28 (1844), 246 — 248; в этом же томе журнала Айзенштайн дает несколько различных доказательств данного, а также других законов взаимности.
48. (а) Очевидно, что при и < 0 это тождество не всегда верно; но легко проверить, что оно справедливо прин > О. (Ь) [(и+2 — [и/25))/3) = [(и — [и/20с))/3~[ = ((и+ [ — и/25))/3[ = [[24и/25"!/3~[ = [би/25) = [(8и+ 24)/25). Предпоследнее равенство доказано в упр. 35.
49. Так как /(О) = /(/(О)) ж /(/(0) + 0) = /(О) + /(0), то /(и) = и лля всех целых и. Если /(1) = !с < О, то !с = /( —,' „/(1 — Ь)) = /( —,' (/(-') — !с)) = /(0) = О. И если /( — „' ) = О, то /(-') = /(-„1/(! + — „',)) = /( — ',) = 0 н для 1 < т < и нндукцией по т можно доказать, что /( — ) = /(-'/("— „)) = /(-1) = О, где а = [и/т). Поэтому, так как /(-') < О, то /(х) = [х) для всех рациональных х. С другой стороны, если /(1) > О, то функция д(х) = -/(-х) удовлетворяет условиям (1) и (й) н д(0) = 1 — /(1) < 0; поэтому /(х) = -д(-х) = -[-х) = [х) для всех рациональных х. [Р. Е!ае!е, К. Р.
Наде!ег, АММ 97 (1990), 475-477.[ но отсюда не следует,что /(х) = [х) или (х) для всех дебсисеигаельнмх значений х. Если, например, Ь(х) — это произвольная функция, удовлетворяющая условиям Ь(1) = 1 и ь(х + д) = ь(х) + !1(р) для всех действительных х и д, то функция /(х) = [ь(х)) удовлетворяет условиям (1) и (й). Но при 0 < х < ! функция Ь(х) может быть неограниченной и достаточно непредсказуемой [С, Нагие!, МаСЬ. Алла!еп 60 (1905), 459-462[.
РАЗДЕЛ 1.2.5 1. 52!. Для тех, кого это интересует, данное число равно 806 58175 17094 38785 71660 63685 64037 66975 28950 54408 83277 82400 00000 00000 (!). 2. р ь = р !ь 1!(и — Ь + 1). После размещения первых и — 1 объектов для последнего объекта остается только одна возможность. 3. 53124, 35124, 31524, 3 1 254, 31245; 4235 1, 41352., 41253, 31254, 31245. 4. Всего в этом числе 2 568 цифр. В старшем разряде стоит цифра 4 (так как 1обш 4 = 2 1об,о 2 .602).
В младшем разряде стоит цифра нуль, и нз (8) следует, что в младших 249 разрядах стоят все нули. Точное значение 1000! было вычислено Г С. Улером (Н. Я. ИЫег) с помощью арифмометра и многолетнего терпения и опубликовано в 5сгсрса Ма!бета!!са 21 (1955), 266 — 267. Это число начинается цифрами 402 38726 00770 .... Последнюю точку в этой истории поставил Джон В. Ренч (мл.) (дойп 1Ч. %гепсй, дг.), когда перемножил числа 750! и П, !с на компьютере В!Ч!ЧАС ! "''за рекордно короткое время — 2 1/0 минуты". 1000 В наше время на любом персональном компьютере можно легко вычислить 1000! в течение доли секунды и убедиться в том, что полученное Улером значение на 100040 верно.
5. (39902)(97/96) св 416 + 39902 = 40318. 6. 210 30 50 7 . 11 13 17 19. 8. Этот предел равен 1ип,ч, т" т!/((и+ос)!/и!) = и! Впс „„т"/((т+1)... (т+и)) = и!, так как т/(ти + !с) -+ 1. 9. 1/л и — 21/я. (Использовано упр. 10.) 10. Да, за исключением случаев, когда х — отрицательное целое илн равно нулю. Действительно> ги* т! ги Г(х41)=х йш -+ ю х(х + 1)... (х + ги) 1 х + т + 1/ 11,12. д=(адр + .+01)+(аьр + +аз)+ +аь = аь(р" '+ +р+1)+ +а1 — — (аь(р — 1)+ +ао(р — 1))/(р — 1) = (и — аь — — а1 — ао)/(р - 1). 13.
Для каждого и, 1 < и < р»определите и', как в упр. 1.2 4 — 19, Согласно свойству !.2.4П существует ровно одно такое й, и (и')' = и. Поэтому мы можем разбить числа на пары при условии, что и' зс п. Если, и' = п, то ни = 1 (по модулю р). Следовательно, как и в упр. 1.2.4 — 26, и = 1 или и = р — 1. Поэтому (р — 1)! ш ! . 1... 1 ( — 1), так как 1 и р — 1— это единственные элементы, не имеющие пары. 14. Среди чисел (1,2,..., и), не кратных р, существует (и/р!' полных наборов из р — 1 последовательных элементов, произведение которых сравнимо с — 1 (по модулю р) (по теореме Вильсона). Помимо этого, остается еще ао элементов, произведение которых сравнимо с ао! (по модулю р); поэтому вклад от сомножителей, не кратных р, составляет (-1) ) шя аэ!.
Вклад от сомножителей, которые кратнм р, является таким же, как вклад в (и/р)1 Повторяя этн рассуждения, получим искомую формулу. 16. (и!) . В формуле содержится и! членов. В каждом члене присутствует по одном! элементу из каждой строки и каждого столбца, поэтому его значение равно (и!) . ~ з 16. Члены суммы не стремятся к нулю, так как козффвтщенты стремятся к 1/с. 1Т. Запишите гамма-функции в виде пределов по формуле (15) 1(1)Г(з) и — —,' и+,-' Г(1)Г(1) (Принадлежащее Валлнсу эвристическое "доказательство" можно найти в книге П.
Л. Я!гиря Яопгсе Воок )л Майетаг!сэ (Наггагб Пп!гегз!су Ргезэ, 1969), 244 — 253.) 19. Сделаем замену переменных Г = тле, проинтегрируем по частям и проведем доказательство по индукции. 20. (Для полноты картины докажем неравенство, сформулированное в условии задачи. Начнем с легко проверяемого неравенства 1 + х < с*. Положим х = мс/и и возведем обе части неравенства в н-ю степень; в результате получим (1 ю 1/п)" < еэ( Следовательно, е-а ъ (! Г/и)» с-с(! !/п)»еФ ъ е-с(! Г/п)»(1+1/и)» с — с(! 12/п2)» ъ е — с(1 !2/и) (см. упр. 1.2.1 — 9).) Теперь отнимем от заданного интеграла Гм(я) и получим / е '1* 'Ж+// (е ' — (! — — ) )1* Йй Прн т -+ оо первый из этих интегралов стремится к нулю, так как для больших 1 имеем 1* < е ~, а второй интеграл меньше, чем ! + с ~!! < — З/ !»»! сг)1-+О о пь э 21.
Если обозначить соответствующий коэффициент через с(п, у, !сп «ю... ), то после диф- ференцирования находим с(п+1, 1, йп...) = с(п,/-1,)п — 1, )сз,... )+(!г~+!)с(п, 1, )с~+1,йг-1, )сз,... ) + (Й2+ 1)с(п, я, йы )гз+ 1, йз 1, Й»,... ) + ' ' ' Заметим, что после осуществления шага индукции соотношения й~ + йз + = / и й~ + 2)сз + = и сохраняются.
Коэффициент и)/()и!(!!)~')сз'(2!)~з...) можно вынести из каждого члена правой части соотношения для с(п+ 1, 1,)сы...); в результате останется Й~ + 2аз + Зяз + . = п»- !. (Доказательство удобно проводить в предположении, что существует бесконечно много йо хотя очевидно, что )г».ь~ = й»тг = = 0.) В приведенном доказательстве использовались стандартные методы, но оно не дает удовлетворительного объяснения по поводу того, почему формула имеет такой вил и как она была открыта. Попробуем ответить на этот вопрос с помощью доказательства методами комбинаторики, предложенного П С.
Воллом (Н. Я. ЪУа(!) (Вп!!. Атег. Мае)с. Яос. 44 (1938), 395 — 398). Для удобства введем обозначения ш = Р„'ш, иь = Рьи. Тогда Р,(ш,) = вс~.сис и Р,(иь) = пьес. Используя эти два соотношения и правило дифференцирования произведения, получим Р,ш = вгис 1 Р ш = (вгисис + шсиг) Р ш = ((шзисисис + взигис + шзисиг) + (вгисиг + всиз)) и т. д. По аналогии можно построить соответствующую таблицу для разбиений множеств: Р' =(Ц Рг = ((2)(Ц+ (2, Ц) Р' = (((3)(2)(1Э+ (3,2)(ц+ (2)(3, ц) + ((3)(2, Ц+ (3,2, ц)) и т.
д. Если асаз... а„— разбиение множества (1, 2,..., и — Ц, то формально определим Рос аг... аг — — (п)ос аз... а + (ас Р (п))аг... а + ас (аг 1! (п))... аг + . + ос аз... (ас О (и)). Это правило — точная копия правила дифференцирования Р„(ш,и„иег и,) = в,+сиги„и,... и,, + шси„оси„...и, + вси„и„ес... и„, + + шси„и,г... и,,+с, если члену шси„,и„,... и, поставить в соответствие разбиение асаг... а, с гс элементами в а„1 < ! < г. Поэтому существует естественное отображение Р" в Р"„ш и легко видеть, что Р" содержит каждое разбиение множества (1, 2,..., и) ровно один раз (см.
упр. 1,2.б-б4). Таким образом, если сгруппировать одинаковые члены в Р",со, то получим сумму членов видас(кс, !сг,... )в,и",'и"'..., где г = !ос+!сг+ и и = !сс+2!се 4, а с(!сс,!сг,. ) это число разбиений множесгпоа (1,2,..., и) на) подмножеств, таких, что суисестоует !сс подмножесспо, состоящих из ! злеменспоо. Осталось подсчитать эти разбиения. Рассмотрим множества, состоящие из !сс ящиков емкостью й (сз Число способов помещения и различных элементов в ячейки — это полиномиальный коэффициент (...,...,....,, )ш и и.' 11 122 233 34 ) 1!зс2!згЗсьз Чтобы получить с(!сс, !сг, кз,... ), нужно разделить это выражение на !сс! !сг! !сз!..., так как ячейки в каждой группе !сс не отличаются одна от другой и их можно переставить !сс! способами, не оказывая никакого влияния на разбиение множеств.
Оригинальное доказательство Арбогаста (Рп Са!сп! с!ея Рбптаг!опз (ЯсгазЬопгб, 1800), '352) основывалось на том факте, что Р~~и)йс — это коэффипиеит при г~ в выражении для и(х+х), а В.„'ш/у! — коэффициент прн 9» в выражении для ш(и+ 9). Отсюда следует, что коэффициент при х" в формуле для ш(и(х + х)) равен ь1.~-2ьо ь е ь ьььм »ь >о Формула Арбогаста долгие годы оставалась забытой, а затем была вновь независимо от- крыта Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
