AOP_Tom1 (1021736), страница 136
Текст из файла (страница 136)
К первой строке добавим строки с номерами 2,..., и. Теперь остается вычислить определитель треугольной матрицы. 37. Вычитаем первый столбец из столбцов с номерами 2,..., и, Затем вычитаем (Ь вЂ” 1)-ю строку, умноженную на хн из й-й строки, где Ь = и, и — 1,..., 2 (именно в этом порядке) Теперь вынесем коэффициент х~ из первого столбца, а коэффициенты ха -х ~ — - нз столбцов Ь = 2,...,п. В результате получим определитель матрицы Вандермонда порядка п — 1, умноженный на х~(хз — х~)... (х„— х~). Далее проводим доказательство по индукции. Приведем альтернативный метод доказательства с использованием высшей математики. Искомый определитель является многочленом от переменных хм..., х„обшей степени 1+ 2+ + п.
Он обращается в нуль, если х, = О или х, = х~ (1 < у) и коэффициент при х( хе~... х„"равен +1. Это характерные особенности данного определителя Вообще, если две строки матрицы становятся равными при х, = х, то их разность обычно делится на х, — хз, и этот факт часто помогает ускорить процесс вычисления определителей. 33. Вычитаем первый столбец из столбцов с номерами 2,..., п и выносим из второго столбца (Ьч — уз), из третьего — (Ьч — уз) и т. д, и из и-го — (щ — Р„). После этого выносим (х~ + Ьч) ' из первой, (хг + Ьч) ' — из второй и т. д. н (х„»- у~) ' — из и-й строки. Теперь вычитаем первую строку из строк с номерами 2,, п и выносим (х~ — хз) (х~ — х )(х! + Уз) ...
(х~+ Уч) . В РезУльтатеостаетса опРеделитель матРицы Коши порядка и — 1. 39. Пусть 1 †э единичная матрица (бч), а 1 †матри, состоищая из одних единиц. Так как Х~ = пЮ, имеем (х1+ 31)((х + пу)1 — 31) = х(х+ пу)й 4О. ~;Ь„,,' =; Д (х —.,)/*, Д ( ь — .,) =бо с=1 1<~ < Г ~<л<ь 41. Это немедленно следует из формулы, выражающей элементы обратной матрицы через алгебраические дополнения. Будет интересно привести здесь также прямое доказательство этого факта. Имеем 1 '-'- Пья,(х, + Рь — )П еь(х + у ) Š— Ь„= Е вяжи ,=, ' +Р ' ~ Пья,(х. — * )Па~и(ус — Пь) при х = О.
Правая часть — это многочлен от х, степень которого не превышает и — 1. Если положить х = х, + 3„1 < э < и, то все члены обратятся в нуль, за исключением случая, когда э = Г Поэтому значение данного многочлена равно П(-"-')/П(* -") =П(* -* -*)/П(* -*) ья зяб ья~ ! ья, 46. Для любых целых йыйю...,й положим е(йм...,й ) = мбп(П~<,<,< А й)) где ябпх = ]х>0] — (х<0]. Если (1ы...,Ь») получается из (йм...,й») в результате перестановки значений й, и й, то имеем е(1ц...,1 ) = — е(йм,й,). Отсюда следует равенство бес(Вы е ) = е(йм,..,й ) дес(Вн,о ), если и « .
1' — это чнслайц..,,й записанные в порядке неубывания. Теперь из определения детерминанта получаем, что I В»»В) = » ',(Я„...,»)(» ° ..», ] (» ..Ь., ] 1<ц,.з <» ь»! ь»! аы ...а ь ~~> е(1з,...,1 )Ьь н...Ьь Е ~<э,,,ь <» ь30 ~ <» азь, ... а ь бес(Вь, ь ) ~<эь,ь <» е(йц..., й,„)оп„... а ь бес(Вм .о ) 1<ем...,ь < атее(А„о ) бее(Вм .о ). ~<и«" з <» И наконец, если два индекса у равны, то без(Аго ) = О. (Х 4е РЕсо1е Ро1уеесйтдие 9 (1813), 280-354; 10 (1815), 29-112. Вине и Коши представили свои статьи в один н тот же день 1812 года.] 47. Пусть ам и Щ:',(х,+р ))(П» ~,(х +9л)) Вычтем (й-1)-9 столбец из й-го столбца н вынесем рь, — дь, где й = и, и — 1,...,7+ 1 (именно в этом порядке), ау = 1, 2,..., и — 1 (именно в этом порядке).
После вынесения останется произведение П,<,«»(р~ — 9з), 1«з<» умноженное на дес(Ь, ), где Ьч — — П"„,,(х, + дь). Теперь из й-го столбца вычтем (й+ 1)-и столбец, умноженный на дэе, где й = 1, ..., и — у, ау = 1, ..., п — 1. В результате получим бес(со), где сч = х, ~, что, в сущности, определяет матрицу Вандермонда, продолжая преобразования, как в упр. 37, т, е.
выполнкя операции уже не над столбцами, а над строками, получим б ( )<» П (х* — *) -9,) ьр <з< Для р, = д, = р„где 1 < 1' < н, матрица из этого упражнения является матрицеб Коши, 1-я строка которой умножена на П», (х, +р, ). Поэтому данный результат обобщает упр. 38, так как добавляется и — 1 независимых параметров. [Маппвсг!рса Маей. 69 (1990), 177 — 178.] РАЗДЕЛ 1.2.4 1. 1, -2, -1, О, 5.
2. (х]. 3. По определению (х] — наибольшее целое число, меньшее нли равное х, поэтому (х]— такое целое, для которого (х] < х и (х] + 1 > х. Последние свойства и тот факт, что для целых чисел гл и и неравенство гл < и выполняется тогда и только тогда, когда гл < и — 1, позволяют легко доказать пп, (а) и (Ь). Для доказательства пп. (с) и (0) используются аналогичные рассуждения. И наконец, пп. (е) и (1) — это просто комбинации предыдущих утверждений.
4, Так как х — 1 < (х] < х, то — х + 1 > -(х] > -х, откуда следует нужный результат. б. (х+ т]. Значение ( — х округленное) будет равно значению -(х округленное), за исключением случал, когда хшо41 = -'. В последнем случае отрицательные значения округляются по направленрю к нулю, а положительные — в противоположном от нуля направлении.
6. УтвеРждение (а) веРно'.ъ~з/х) = и С=Ь нз < х < (и + 1)' е=ь пэ < (х) < (н+ 1) ч=ь ~Дх) ) = и. Аналогично доказывается справедливость утверждения (Ь). Но утверждение (с) неверно, например, для х = 1.1. 7. (х+91 = '((х)+х що41+ (у1+р що41) ж (х1+(у1+(х шод 1+р шоб Ц. Для функции "потолок" выполняется неравенство со знаком ">",прнчем равенство достигается тогда и только тогда, когда либо х или р — целое, либо х щоб 1+ у щоб 1 > 1.
8. 1,2,5,— 100. 9. -1,0,— 2. 10. 0.1, 0.01, — 0.09. 11. х = у. 12. Все. 13. х1, — 1. 14. 8. 16. Умножаем обе части равенства (1) на х; при р = 0 доказательство очевидно 17. В качестве примера рассмотрим свойство А применительно к умножению. Для некоторых целых д и г имеем а = Ь+ йщ и х = у+ гт, поэтому ах = Ьу+ (Ьг+ яд+ йгт) пь 18. Для некоторого целого Ь имеем а — Ь = Ьг, а также Ьг ы 0 (по модулю э). Тогда согласно свойству В Ь ги 0 (по модулю э), поэтому а — Ь = йвг для некоторого целого д. 20. Обе части сравнения умножаем на а'. 21.
Согласно ранее рассмотренному упражнению существует по меньшей мере одно такое представление Если предположить, что существует два представления, и = р~...рь = д~... дм, то получаем, что дю .. яч ш 0 (по модулю р~). Поэтому, если ни одно из чисел д, не равно рн то, согласно свойству В ик все можно сократить и получить в результате 1 га 0 (по модулю р~). Но это невозможно, так как р~ не равно 1.
Поэтому некоторое йз равно р~ инар~ =Рз рь = В д~-~й чю ..д . Теперь, если и — простое число, теорема доказана; в противном случае можно доказать по ицлукции, что эти два разложения числа и/р~ на простые множители одинаковы. 22. Пусть т = ах, где а > 1 и х > О.
Тогда ах щ О, но х х 0 (по модулю гн). 24. Свойство А всегда справедливо для операций сложения и вычитания; свойство С справедливо всегда. 26. Если Ь не кратно р, то Ь вЂ” 1 кратно, поэтому один из сомножителей должен делиться 2 на р. 27. Произвольное число взаимно просто с р' тогда н только тогда, когда оно не кратно р.
Поэтому, сосчитав числа, не кратные р, получим р(р') = р' — р' 28. Если а и Ь взаимно просты с т, то и аЬ шос(т взаимно просто с т, так как любое простое число, делящее аЬшос(щ и т, должно также делить а или Ь. А теперь пусть числа хы, ..,хв~„,п меньшие т, взаимно просты с як заметим, что ах~ шос(т,...,ахчо,~ шоб т — это те же самые числа, но взятые в ином порядке, и т, д.
29. Докажем (ь). если г .ь э и ь~ делит гж то найдется такое простое р, что р делит гз. 2 Поэтому р делит, предположим, т и не делит э; следовательно, р делит г. Таким образом, ((гэ) = 0 тогда и только тогда, когда ((г) = 0 нли у(в) = О. 30. Предположим, г 1 ж Идея доказательства такова: показать, что х(ге) чисел, взаимно простых с ге,— это в точности х(г)у(э) различных чисел (эх, + гу,) шоб (ге), где хы, хгр~ и Ум..., Угм1 — чиода, взаимно пуостые с г и з соответственно.
Так как 1е является мультйпликативной функцией, то ы(10 ) = 1с(2 )1е(5 ) (2 — 2 )(5е — 5~) = 400000. А в общем случае, когда и = р",...р„'", имеем 'Р(и) = (Р~ Рь ) ° (Р~ Р ) = и П (1 1/Р) р1к,р — рос в (Другой вариант доказательства приводится в упр. 1.3.3 — 27.) 31. Воспользуйтесь тем фактом, что делители гэ можно единственным образом записать в виде о1, где с делит г, а И делит з. Аналогично, если /(и) > О, можно показать, что функция шахщ„ /(Н) мультипликативна (см.
упр. 1.2.3 — 35). ЗЗ. Либо и+ т, либо и — ти+ 1 четно, поэтому одна из величин в квадратных скобках является целой. Таким образам, нестрогое неравенство из упр. 7 обращается в равенство и на этом основании получаем; (а) и; (Ь) и+ 1. 34. Ь должно быть целым числом > 2. (Положим х = Ь.) Достаточность доказывается, как в упр.
б. Это же условие является необходимым и достаточным для того, чтобы (1обь х) = ~1обь(хц Примечание. Р. Дж. Мак-Элис (В. 3. МсЕйесе) укззал обобщение этого результата. Пусть / — непрерывная, строго возрастающая функция, определенная на интервале А. Предположим, что если х принадлежит А, то и значения функций (х) и (х) принадлежат А. Тогда утверждения "(/(х)) = (/((х))~ для всех х из А" и "(/(х)) = ~/((х))) для всех х из А" равносильны и выполняются тогда н толысо тогда, когда для всех х из А удовлетворяется гледующее условие: "если значением функции /(х) является целое число, то х тоже целое число".
Очевидно, что данное угловне является необходимым, так как если значением /(х) является целое число, равное (/((х))) или (/((х))), то х должно равняться (х) илн (х). И обратно, если, например, (/((х))) < (/(х)), то в силу непрерывности функции /(х) существует такое у, (х) < у < х, для которого значение /(у) является целым, но у не может быть целым числам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
