AOP_Tom1 (1021736), страница 138
Текст из файла (страница 138)
Фаа ди Бруно (г. гаа 6! Вгипо) Яиагсег!у Х Масй. 1 (1857), 359-360), который заметил, что производную можно также представить в виде определителя ("о )и~ (", )ио ( о )из ... (,", о)и 1 ("„,)и -1 (»-2) (»-2) (»-3) ( 4) — 3 (::о) и-- („з) и» вЂ” 2 В," = Вес 0 0 0 (1 + 1/и) (1 + 2/п)...
(1 + х/и) и при и, стремящемся к бесконечности, оно безусловно стремится к единице. Коли пред- положить также, что х! = х(х — 1)!, то нз гипотезы немедленно следует, что (и+ х)), . (х+1)... (я+ и) 1= 1пп = х! !пп »-»» и!и* '»ч»» и.' и* а это эквивалентно определению, данному в тексте.
23. Из (13) и (15) следует, что х(-х)! Г(х) = !!ш,»» П„,(1 — х/и) '(1+ х/и) 24. и /н! = П„" —,(я+ 1)~/ "( П ' е н /и"+' = П = х ~ ДА+ 1) ~' ( П",'е 25. х~+" = х-(х — т)"-; х т» = х~(х-ги)". Из (21) следует что эти правила справедливы также для нецелых т и н.
РАЗДЕЛ 1.2.6 1. и, так как каждое сочетание получается отбрасыванием одного элемента. 2. 1. Существует ровно один способ не выбрать ничего из пустого множества, 3. (1~). Это число равно 635 013 559 600. 4 2» 5г 7г 17 23 41 43 47 5. (10+ 1) = 10000+ 4(1000) + 6(100) + 4(10) + 1. 6. г= — 3: 1 — 3 6 — 10 15 -21 28 — 36 г=-2: 1 — 2 3 -4 5 — 6 7 — 8 г = — 1; 1 — 1 1 -1 1 -1 1 -1 7. При (и/2) либо при (и/2). Из (3) следует, что при меньших значениях биномиальный коэффициент строго возрастает, а при больших убывает до нуля.
где из = (В'и) В„. Обе части этого соотношения представляют собой дифференциальные операторы, которые нужно применить к ш. Обобщение формулы Арбогаста для функции многих переменных, а также список ссылок на другие работы по данной теме можно найти в статье И. Дж. Гуда (1. 1. Особ) Алла!э о/ МаСЬет айса! Всабзбсз 32 (1961), 540 — 541. 22. Выдвигаем следующую гипотезу: !цп„,,(н + х))/(и! н*) = 1. Она справедлива для целых х. Например, если х положительно, то выражение под знаком предела равно 8.
Если обозначить ненулевые элементы в строке аы аэ, ..., а, то они обладают свойством аь = ໠— 7с, 9. Единице, если и положительно или равно нулю; нулю, если и отрицательно. 10. (а), (Ъ) и (!) непосредственно следуют из (е); (с) и (с!) следуют из (а), (Ъ) н (9). Поэтому остается доказать (е). Рассмотрим (") как дробь, которая задается соотношением (3), где и в числителе, и в знаменателе находится произведение сомножителей. Произведение первых Ь щоб р сомножителей в знаменателе не делится на р; очевидно, что эти члены в числителе и знаменателе сравнимы с соответствующими членами биномиального коэффициента (и 1пойр) которые отличаются на величины, кратные р. (Если рассматривать величины, не кратные р, то можно брать по модулю р и числитель, и знаменатель, так как если а = с, Ь = И и а/Ь, с/и — целые, то а/Ь вз с/3 ) Остается Ь вЂ” !с шобр сомножнгелей, каждый из которых входит в (Ь/р! групп из р последовательных величин.
В каждой группе содержится ровно одна величина, кратная р; остальные р — 1 сомножителей группы сравнимы (по модулю р) с (р — 1)!, поэтому они сокращаются в числителе и знаменателе. Остается рассмотреть в числителе и знаменателе (Ь/р! величин, кратных р. Разделив кажлую из них на р, получим биномиальный коэффициент ((и — й 1пос( р) /р! ) ( (Ь/И Если Ь шос! р < и шоб р, то этот биномиальный коэффициент равен ((и/р) ) (Ь/И как и требуется. Если й щедр > и шобр, то другой множитель (" ~эх) равен нулю.
Таким образом, наша формула справедлива во всех случаях. (Ап1ег!сал Х Масй. 1 (1878), 229 — 230; см также Х. Л. Р!пе, АММ 54 (1947), 589-592 ] 11. Если а =а,р'+ +аэ,6= Ь,р'+ +Ье на+Ь=сгр" + +се, тозначениеи (согласно упр. 1,2.5-12 и соотношению (5)) равно (ае+ . +а„+Ьэ+ +܄— са —. — с,)/(р — 1). В результате одного переноса сэ уменьшается на р, а с э.1 увеличивается на 1, что дает по этой формуле суммарное изменение на +1. (Аналогичные утверждения справедливы для д-номиальных и фибономиальных (Р!Ьопоппа1) коэффициентов; см работу Кппсй, Ж16', Сге!!е 396 (1989), 212-219.) 12. Согласно любому из двух предыдущих упражнений и должно быть на единицу меньше степени 2. А если обобщить, то („") не делится на простое число р, 0 < Ь < и, тогда н только тогда, когда и = ар — 1, 1 < а < р, ги > 0 14.
24( )+Зб( )+14( )+( ) и' и' и' и и(и+1)(и+ -)(Зи +Зи — 1) 5 2 3 30 15 15. Проведите доказательство по индукции и воспользуйтесь соотношением (9). 17. Мы можем предположить, что г и э — положительные целые числа. Кроме того, для всех х ( )х =(14х) е =~ ( )х 1 ( )х а это уже позволяет вычислить значение суммы (1 — -сс) Ас(г, С)с". с 27. Чтобы получить (26), умножаем ряд двя х"+'/((С + 1)х — С) на ряд для х' и получаем ряд для х"~'+'/((с + 1)х — с), в котором коэффициенты при с нужно приравнять к соответствующим коэффициентам ряда для хй сцгс/((С + 1) х — С), 28.
Обозначив левую часть через /(г, э, С, и), с помощью тождества находим ) + СУ(г — С вЂ” 1, э+ С, С, и — 1) = /(г, в, С, и). (.) г+э1 - (-)'©/-'=(-)"/( (-- )')=(-)"/П( -/) 0<с<» ЗО. Применяя (7), (6) и (19), получаем Тссу ( — т — 21г — 1) (2/с + 1) ( — 1)»" ь>о Теперь можно применить (26), заменив (г, з, С, и) = (1, ги — 2и — 1, — 2, и — ги). Тогда получим Для положительного и этот результат совпадает с формулой, полученной в тексте, но при и = О наш результат справедлив, а (» с,) — нет. Данное решение имеет еще одно преимущество; ответ ( 1) справедлив для и > О и для всех целых ис. 31. [Эта сумма была впервые получена в замкнутой форме И. Ф. Пфаффом (Л. Е, РГаК), Бога Асса Асаг).
Бссепс. Ресг. 11 (1797), 38 — 57.] Имеем Заменив (»»" ') на (и+» ") и снова применив (20), получаем 32. В формуле (44) замените х значением -х. ЗЗ, 34. (Ссогпасе о2 Мас. Вассабйп! 31 (1893), 291-313; 33 (1895), 179 — 182.) Имеем х" = и' (*~„" '). Следовательно, наше соотношение можно преобразовать следующим образом; х+ у+ и — 11» /х+ (1 — с)сг~ /у — 1+их+ (и — сг)(1 — с) ~ х и — сг / х+ (1 — с)1с' А. Гурвиц (А.
Нпгвчся) [Асса МасЛешайса 26 (1902), 199-203] еще больше обобщил теорему Абеля гледующим образом: ' х(х+с~г~+ -. + вяз„)" ' ' 4" (р — е~щ —. — е хя)" """ '" = (я+ у)", где сумма берется по всем 2" наборам ем..., е„, независимо принимающим значения 0 или 1. Это тождество по х, у, щ,..., аю а формула Абеля — частный случай, когда щ = хя = . = я„. Формула Гурвица следует нз результата упр. 2.3.4.4-30. 52.
) „>о(Ь+ 1) = л~/6. [М. Л. И. Хаутус (М. 1.. Л. Напева) заметил, что эта сумма абсолютно сходится для всех комплексных х, р, х, и, когда с ф О, так как для больших Ь члены суммы всегда имеют порядок 1/Ь~. На ограниченных областях эта сходнмость является равномерной, поэтому можно продифференцировать ряд почлейно. Обозначив через /(х,р,п) значение суммы при а = 1, находим (д/ду)/(х,у,п) = и/(т, у,п — 1) и (д/дх) /(х, у, и) = и/(х — 1, 9+ 1, и — 1), Эти формулы не противоречат тому, что /(х, у, и) = (х+ у)".
Но на самом деле последнее равенство, видимо, выполняется редко (если выпол- няется вообще), если только сумма не является конечной. К тому же производная по а почти всегда является ненулевой.] 53. Для доказательства п. (Ь) в формуле из п. (а) положите г = -' и а = — -'. 54. Вставьте знаки "минус" в шахматном порядке, как показано ниже.
Это эквивалентно умножению а„на ( — 1)'+'. Согласно (33) это и есть искомая обратная матрица. 55. Вставив знаки "минус" в один треугольник (как в предыдущем упражнении), получим обратную матрицу другого треугольника. (Соотношение (47).) 56. 012 013 023 123 014 024 124 034 134 234 015 025 125 035 135 235 045 145 245 345 016. Если зафиксировать с, то пара а, Ь пробегает комбинации из с чисел по два; если зафиксировать с и Ь, то а пробегает комбинации из Ь чисел по одному. Аналогично можно представить все числа в виде п = (,) +( ) +(')+(4), где 0 < а < Ь < с < о.
Эта последовательность начинается с 0123 0124 0134 0234 1234 0125 0135 0235 .... Комбиваторное представление можно найти по принципу максимализма: сначала выбрать наибольшее возможное 8, загсы — наибольшее возможное с для и — (з) и т. д. [Другие свойства этого представления обсуждаются в разделе 7.2.1.] 58. Проведем доказательство по индукции, так как ©,=(".'), ("'~), '=С".'),"(".:~), Отсюда получаем, что обобщение соотношения (21) на случай, когда д не равно 1, выглядит следующим образом: О") ( ' ) ' "" "'=С") ( ' ) ' ""'" = Г") э и ч ь И с помощью тождества 1 — д' = — д'(1 — 9 ') можно легко обобщить (17): (г) ( 1)ь ( — г — ) ь ць 1)?2 Фномиальные коэффициенты имеют много различных применений; см., например, раз- дел 5.1.2 и авторские примечания в Х СотЬ?пасола) ТЬеогу А10 (19?1), 178-180. 67. При (с > 0 упр 1 2 5т24 дает несколько более точные (но не так легко запоминаемые) оценки сверху ("„) = ив/1с' < и"/М < —,'("— „')" < ( "+',)ь Соответствующая оценка снизу выглядит так (") > ((-"-".ьег-')" — ' 68.
Положим !ь = Ь(")р" (1 — р)"+' ~ Тогда !ь — !с ы — — (")р" (1 — р)" ~(!е — ир) Поэтому наша сумма равна (1,, — 1,)+ ~ (гь — !ь+,) =2!1„„ ь<!вр! ьйГч1 (Де Муавр сформулировал это тождество в журнале Мысе!!апеа Апа!усюа (1730), 101, для случая, когда ггр — целое, А Пуанкаре (Н Рогпсаге) опубликовал доказательство общего случая в Са!сп! е(ез РгоЬаЬг!геев (1896), 56-60 Интересную историю этого тождества, а также аналогичные формулы можно найти в работе Р Рласопгв, Я 2аЬе11, Я!а!ганса! Ясгелсе 6 (1991) ] РАЗДЕЛ 1.2.? 1.
0,1и3/2 2. Заменяем каждый член 1/(2™ + !е) оценкой сверху 1/2 3. Нг"1, < 2 2" /2 ', верхняя грань 2' '/(2" ' — 1) 4. (Ь) и (с) 5. 9 78760 60360 44382 6. Индукцией с помощью формулы 1 2 6 — (46) 7. Т(т + 1,и) — Т(гл, и) = 1/(т+ 1) — 1/(лги+ 1) — — 1/(тп+ и) < 1/(т+ 1)— (1/(ти+ и) + + 1/(ти+ и)) = 1/(т+ 1) — и/(ти+ и) = 0 Максимум достигается при ги = и = 1, а минимум — прн очень больших т и и Согласно (3) точная нижняя грань равна ?, которая в действительности никогда не достигается Обобщение этого результата можно найти в АММ 70 (1963), 575 — 577 8.
По формуле Стирлинга!пи' приблизительно равен (и+ -') !пи — и+ 1п г/йяя, сумма ~,", Нь приблизительно равна (и+ 1) 1пи — и(1 — у) + (т+ -'), разность приблизительно равна ?и+ -' !пи+ 158 9. — 1/и 10. Разбиваем левую часть на две суммы и во второй сумме заменяем !е на !е + 1 11. 2 — Н„/и — 1/и для и > 0 12. Значение 1 000 верно с точностью до более чем трехсотого десятичного знака 13. Как и при доказательстве теоремы А, воспользуемся методом ицлукции Есть и другой способ продифференцировать по * и вычислить при х = 1 14. См раздел 1 2 3, пример 2 Вторая сумма равна -(Н4 ы — Н„+г) г !г) 15. 2 "— г(1/у) ~„~ Нь можно просуммировать по формулам, приведенным в тексте В результате получим (и + 1) Нг — (2и + 1) Н„+ 2и 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
