AOP_Tom1 (1021736), страница 141
Текст из файла (страница 141)
2 и вычеркивая нули или несоседние коэффициенты; существует Г !+г способов сделать это. Точно так же можно интерпретировать /,„, только г! должно остаться. В п. (Ь) мы будем иметь дело с многочленом Ь = г дэ! ! + г !/ы-г Это сумма всех членов, получаемых из г!... гм путем вычеркивания коэффициентов, которые не являются соседними циклически. Например, Ьз = 212222 + г!21 + 212з + 2222. (Ь) Согласно п, (а) Я„(21,...,2 1,2) = [г" ] 1 ",„2"г„", '/„, "д,"„.
Отсюда Я(„..., )= С ( )( )а" 'Ь'Га!" 0<!< ° < где а = 2 д -1, Ь = 2 -!д -г, с = г / 1,а! = г 1/ г. Умножая это равенство на 2" и суммируя сначала по и, затем по т и наконец по 2, получим выражение в замкнутом виде: 1 .!.1 +1 Я (21,...,2 )=[г") (1 — аг)(1 — Иг) — Ьсгг р — сг где 1 — (а+ И)2+ (а!1 — Ьс)21 = (1 — рг)(1 — ог). Здесь а+ !4 = Ь, а ад — Ьс можно упростить до вида (-1) г!... г„,. [Дополнительно мы получили рекуррентное соотношение Я„ Ь Я ! — ( — 1) г!...
г Я 2, которое не так просто вывести без помощи производящих функций] (с) Пусть р! — — (г -!- 1/22 + 42)/2 и а! — — (г — з/22 + 42 )/2 — корни при т = 1; тогда Р,=Р! Иа =а1. Карлитц использовал этот результат для вывода следующего удивительного факта. Характеристический многочлен с(ег(2/ — А) матрицы размера и х и О О ... О (,') О О ... (,') (',) состоящей из "расцоложерных по правой стороне биномиальных коэффициентов", равен 2» Я) ( — 1)П" »Нзйх», где ("„) — фибономиальные коэффициенты (см. упр, 1.2.8-30). Используя аналогичные методы, он также показал, что (йй -»Ьз) (ййз+ййз) (йз +Ь»)»~ » 2 з, ...зз, Ь,„(-з, ',...,-зп') — 4зз.
зм [Са11есйапеа МайЛ. 27 (1965), 281-296.] 24. Обе части тождества равны 2 ( ) [з"](зС(з))». Для С(з) = 1/(1 — з) тождество принимает вид 2 „( )(„" ') = (»„" ') (см. соотношение 1.2,6-(21)), а для С(з) = (е' — 1)/з — 2 гп-(„") = т" (см. соотношение 1.2.6 — (45)). 25. 2»[ш»П1 — 2ш)" [з"]з»(1 + з)з" з» = [3"](1 + з)з" 2 [ш»](1 — 2ш)" (з/(! + з)з)», а это равно [з"](1+ з)з" (1 — 2з/(1+ з) )" = [з"](1+ зз)" = ( " )[п четное]. Аналогично находим 2» (")(з" з")(-4)" = ( — 1)" (з„"). Мнозкество примеров применения этого метода суммирования можно найти в книге Г. П. Егорычева Интегральное представление и вычисление комбинагарных сумм (Новосибирск; Наука, 1977), 284 с, (С. Р. ЕбогусЬещ йпйебгай КергеэепсаИап апйй йЬе СатрийаНоп о/СатЬйпайалай Яитз (Апзег. МасЬ. 8ос., 1984)).
26. [Р(з)] С(з) обозначает постоянный член Р(з з)С(з). Этот вопрос обсуждается в работе П. Е. КппйЬ, А С1аэшса1 Мйпсй (Ргепбсе-На11, 1994), 247 — 258. РАЗДЕЛ 1.2.10 1. С„(0) = 1/п; зто вероятность того, что Х[п] имеет наибольшее значение. С"(1) = Е~Ь(Ь вЂ” 1)р» С'(1) = Е,йры 3. (ш!и О, ате 6.49, пзах 999, бег 2 42). Обратите внимание, что Нй ! приближенно равно зг'/6; см, 1.2,7-(7). ( )Р 9 $. Среднее равно 36/5 = 7.2, а среднее квадратичное отклонение — бз/2/5 1,697, 6.
Для (18) формула рй' рс' йз сз !п(9+ Ре') = 1п(1+Рй+ — + — + ..) = Рй+ р(1 — Р) — +Р(1 — Р)(1 — 2Р) — + 2 6 / 2 6 говорит о том, что кз/п = р(1 — р)(1-2р) = рд(д — р). (Но эта схема не распространяется на коэффициент при йз.) Полагая р = йз з, получим кз = 2 ", Ь (1 — Ь )(1 — 25 ) = Н 3Н„+ 2Н1 для случая распределения (8). И для (20) имеем 1и С(е') = й+ Н(пй) — Н(й), где Н(й) = 1п((е' — 1)/С). Поскольку Н'(з) = е'/(е'-1) — 1/й, в этом случае к„= (п' — 1)В,/г для всех г > 2, в частности кз = О.
7. Вероятность того, что А = йс, равна р». Можно считать, что мы рассматриваем величины 1,2,...,т. Для любого заданного разбиения п элементов на т непересекающихся множеств существует гп.' способов присвоения этим множествам чисел 1,..., т. Алгоритм М работает с данными величинами так, как будто присутствуют только крайние справа элементы каждого множества Поэтому р» — среднее для любого фиксированного разбиения.
Например, если и = 5, т = 3, то одно иэ разбиений выглядит так: (Х[1], Х[4]) (Х[2], Х[5]) (Х[3]); возможными размещениями будут 12312, 13213, 21321, 23123, 31231, 32132. В каждом разбиении мы получаем одинаковое число размещений с А = )е. С другой стороны, если у нас больше информации, то распределение вероятностей изменится. Например, прн и = 3 и т = 2 рассматриваются шесть возможностей: 122, 212, 221, 2Н, 121, 112 (см. рассуждения из предыдущего абзаца).
Если же нам известно, что имеются две двойки и одна единица, то следует рассмотреть только первые три из приведенных шести возможностей. Но такая интерпретация не согласуется с постановкой задачи. 8. Мв/М". Чем больше значение М, тем данная вероятность ближе к единице. 9. Пусть 9 — вероятность того, что имеется ровно т различных значений; тогда из рекуррентного соотношения М вЂ” ш+1 Ш 9- = Ч!.-!К вЂ” 1+ Мй<»-!1 получим, что д„= М! ( )//(М вЂ” т)! М". См, также упр.
1.2.6-64. 10. Нужно просуммировать йе р,„е по всем т. Получим М "~ (,„) 1г,"„1!~е+!~ Формула для среднего, которое меньше, чем м Нм — 2 (1 — — ) ' =Н„+~ (( ) — 1) В„М "й т=! е=! далеко непроста. 11. Так как зто произведение, семиинварианты складываются, Если Н(е) = х", Н(е') = е"е, то к! = и, а все остальные семиинварианты равны нулю. Следовательно, шеап(Р) = и+ шеап(С), а все остальные семиинварианты остаются без изменений. (Этим обьясняется название есемиинварнант" ".) 12. Первое тождество очевидно, если записать функцию е"' в виде степенного ряда. Чтобы получить второе тождество, положим н = 1+ М!е + Мезе/2! +...
При е = О имеем и = 1 и Р! и = Ме. Кроме того, Р! (1пи) = (-1)' '(у — 1)!/иц Согласно упр. 11 такие же формулы применимы и для центральных моментов, если отбросить все члены, для которых )е! > О; таким образом, ке = тю ке = и!з, ке = те — Зте. 2 Г(е+1) ее ж е"! ". При и -е оо и фиксированном 1 имеем е -! 1. Следовательно, Г(е„+1) -! 1 и 1пп е„""С„(е„) = !пп ехр ~ + (е'~! " — 1) 1пп) 1пп ехр( +0( — )) =е Замечание. Это теорема Гончарова (Изв.
АН СССР. Сер. Маг. 8 (1944), 3-48). Ф. Флажоле (Р. Р1а)о!е!) и М. Сориа (М. Яойа) (Р!ес. МаНь 114 (1993), 159-180] провели дополнительные исследовании и показали, что распределение с производящей функцией С„(е) и большое семейство близких к нему распределений не только являются приближенно нормальными "Полувензменкый". — Прим. верее. вблизи средних значений кроме того, хвосты данных распределений равномерно мажори- руются экспонентой, т. е.
/ Х.-„„( вероятность >1~ ~ > х/> < е >У для некоторой положительной константы а и для всех и и х. 14. е св >»>»с" (д + реп>»>ест")" = (де '~в~»>"с" + раас~"~~)». Разложив экспоненцивль- ные функции в степенные ряды, получим (1 — 1>/2п + 0(л вз'))" = ехр(л!п(1 — 1~/2л + 0(л ~>~))) = ехр(-г~/2+ 0(л '>~)) з ехр( — 1~/2).
1б. (а) 2 ь>ее "(Дх)"/И = еж*"'1. (Ь) )не'0 0 =Д(е' — 1), поэтомУ все семиинваРианты равны д. (с) ехр( — сйлр/,/лр) ехр(пр(>2/,,/лрр+-1/2пр+0(п ~>'))) = ехр( — с~/2+0(л '>~)). 1В. д(х) = Х вреда(х), теап(д) = 2 ьрь теап(дь) и тат(д) = ) рь тат(дь) + ~„< р>рь(теап(д>) — теап(дь))з. 1>. (а) Коэффициенты разложений /(х) и д(х) неотрицательны и /(1) = д(1) = 1. Оче- видно, что 6(х) имеет такие же свойства, поскольку 6(1) = д(/(1)), а коэффициенты раз- ложения 6 являются многочленами от неотрицательных коэффициентов / и д. (Ь) Пусть /(х) = 2 рьх~; рь — это вероятность того, что случайная величина Хс, соответствующая /(х)> принимает значение й, рь = РХу = 6. Пусть д(х) ж 2 дьхь; дь — вероятность того, что случайная величина Хв, соответствующая д(х), принимает значение 6.
"Тогда 6(х) = 2 гьхь соответствует случайной величине Хь такого вцла: Хь = 2 6 = 1в Хуы где Хув — независимые одинаково распределенные случайные величины, каждая из ко- торых распределена так же, как Ху, и все они не зависят от Хв. (Это легко показать, если заметить, что /(х) = 2 всх', где в> — вероятность того, что сумма й независимых л случайных величин Лу> равна б) Пример, Если / дает вероятности того, что мужчина имеет 6 потомков мужского пола, а д — вероятности того, что в л-м поколении й мужчин, то 6 порождает вероятности того, что в (и+ 1)-м поколении будет 6 мужчин (при условии независимости). (с) теап(6) = теап(д) п>еап(/); тат(6) = таг(д) п>еап~(/) ч- п>еап(д) тат(/).
18. Рассмотрим выбор величин Х[1),...,Х[л[ как процесс, в котором мы сначала раз- мещаем все числа л, затем среди ннх размещаем все (л — 1),... и наконец среди всего остального размещаем единицы. Когда мы размещаем числа г среди чисел г + 1,..., и, число локальных максимумов при движении справа налево возрастает на единицу тогда и только тогда, когда мы помещаем число г в крайнюю позицию справа. Вероятность этого события равна 6,/(6»+ 6»е>+ + й»), 19. Положим аь = 1. Тогда аь — максимум слева направо последовательности а> ...а у < lс влечет а, < 1 е=ь а„ > 1 влечет / > 1с ч=ь у > 1 влечет Ь, > 6 6 в минимум справа налево последовательности Ь>...6 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
