AOP_Tom1 (1021736), страница 135
Текст из файла (страница 135)
И в этом нет ничего таинственного или парадоксального; аналогичная ситуация возникает при сложении, например, .444444... с .55555.... 12. Существует единственный набор значений Им..., Ие, удовлетворяющий соотношению (7). 13. (а) Сначала докажите по индукции, что если р > О, то 1+яр < (1+у) . Затем положите у = х/п и извлеките из обеих частей неравенства корни п-й степени.
(Ь) х = 6 — 1, п = 10 . 14. Ва втором равенстве (5) положите х = !об с, а затем прологарифмируйте обе части. 15. Перенесите !обе у в другую часть равенства и воспользуйтесь формулой (11). 10. !ах/!и 10. 17. 5: 1; 1; 0; не определен. 13. Нет, !обе х = !Ох/!38 = — !Ох. 19. Да, так как !Оп < (!общ и)/.301 < 14/.301 < 47. 20.
Да, это взаимна обратные значения. 21. (!и!их — !и !пЬ)/!вЬ. 22. Из таблиц приложения А получаем, что !йх 1.442б95!пх; !обшх .4342945)пх. Относительная погрешность составляет (1.442б95 — 1.4342945)/1.442б95 0.532% 23. Возьмите фигуру плошадью !ау и разделите ее высоту на х, в то же время умножив ее длину на х, В результате этого преобразования площадь не изменится и будет равна площади фигуры, которая останется после удаления !ах из !и хр, так как высота в точке х+ хе на графике !пху равна 1/(х+ х!) = (1/(1+ !))/х.
24. Везде вместо 10 подс гавьте 2. 25. Обратите внимание, что х = 2 "[23 зх), где р — это точность (т. е. количество двоичных цифр после двоичной точки) *. Величина у+!о83 х приблизительно остается постоянной. 27. Докажите индукцией па й, что 2 (1 б)2 +! — 1 102 ! +31/2+-+Ьь/2 ! ь ~ 2 (1+ )23+! — ! и пролагарифмируйте все части неравенства. 28. В приведенном ниже алгоритме используются те же вспомогательные таблицы, что и раньше (см. выше). Е1.
[Инициализация.[ Если 1 — с — это наибольшее возможное значение х, присвойте у ! — (ближайшее приближенное значение Ь' '), х е- 1-3, /с ь- 1. (При выполнении следующих шагов величина уЬ * останется приблизительно постоянной,) Е2. [Проверка окончания.) Если х = О, то прекратите выполнение. ЕЗ. [Сравнение.[ Если х ( 1ойь(23/(2" — 1)), тп увеличьте /г на 1 и повторите этот шаг. Е4. [Замещение значений.) Присвойте х <- х — !обь(2"/(2~ — 1)), у < — у — (у сдвигается вправо на Ь) и перейдите к шагу Е2.
Если на шаге Е1 положить у равным Ь' '(1+ се), то в результате возникает погрешность вычис/!ений при выполнении операш!й х < — х+1ойь(1-2 )+б! и у е- у(1-2 ")(1+е,) во время 2-го выно/!кения шага Е4, причем б„и е! — некоторые малые погрешности. Когда выполнение алгоритма прекратится, будет вычислена значение у = Ь ' П/(1 + с!). Дальнейший анализ проводится в зависимости от величины Ь и размера компьютерного слова.
Обратите внимание, что и в данном случае, и в упр. 26 можно несколько уточнить оценки ошибок, если рассматривать логарифмы по основанию е. Дело н том, что для большинства значений /с табличное значение 1п(23/(2" — 1)) можно получить с большей точностью. оно равняется 2 + -'2 2" + -'2 3 + Замечание. Аналогичные алгоритмы можно пгшучить и для тригонометрических функций; см. б.
Е. Ме88133, 1ВМ д, )ь(ез, алс( Рет, 6 (1962), 210-226; 7 (1963), 237-245, См. также Т. С. Сйепь 1ВМ Х Вев. аад Рек. 16 (1972), 380 — 388; 3'. Б. 1лпз1су, Ъус/!!31. Маз. 2 (1957), 90-119 (В. С. Линский, Вычнсл. мат. 2 (1957), 90 — 119); Р. Е. Кпцзй, МЕТ/3ГСГ/Т! Т/!е Ргобгат (Веадшбь Маввл Абб(яоп-'ьгь/ез!еуь 1986), 3120 — 147. 29. е,3;4. РАЗДЕЛ 1.2.3 1. а! + аз + аз. 2. -+-+-+-+-+ —, -+-+-+ — +-. 1 1 1 1 1 ! 1 1 ! 1 1 ! 3 3 2 Е 1!' В 3 1 3 3' 3. Нарушено условие, налагаемое на р(у); с одной стороны, значение из = 3 не принимается ни для одного и, а с другой стороны, значение и' = 4 принимается для двух и.
(См. соотношение (18).) 4. (ам) + (ам+ам) + (аз! + ам +азз) = (а!! +ам +аз!) + (ам+ азз) + (азз). 5. длн доказательства достаточно воспользоваться правилом а 2 я!,! х, = с я!,!(ахь): 7. Возьмем одну из сумм (например, первую) и запишем по формуле (3), Затем поменяем пределы местами, перенесем из одного в другой члены ае, ..., а, и па формуле получим вторую сумму. Точка, рвзделяюшвя целую н дробную части двоичного представления числа. — Прим.
нерее. 8, Пусть для всех у > О аб+уу, — — +1, ац,+,у — — — 1, а все остальные а„равны нулю; пусть 11(1) = л(у) = Ч > О". Тогда в левай части получим — 1, а в правой — +1. Я, 10. Нет; правило (б) применимо только для случаев, когда п > О. (Для п = -1 формула верна, но доказательства — нет.) 11. (и+ 1)а. 12.
~1(1 — 1/7"т'). 13. т(п — тч-1)+ -(п — т)(п — т+1), или -(п(п+1) — т(т 1)). 14. -„'(п(а+ 1) — т(т — 1))(о(о+ 1) — г(г — 1)), если т < и и г < о. 13, 16. Ключевые моменты: уху =х ~ /ху ' =х ~ ~(у+ цху о«, усу<» о<о< -у =х ~ ух — + +х ~ х'.
о<у<в-1 о<у< 17. Числу элементов множества о. 18. У(у) = "1 < у < п". ус'(1, у) = "п кратно 1 и 1 > у". 19. а„— а 20 (Ь вЂ” 1) 4 о о(п — уо)Ь + и+ 1 = ~ о оЬ; зта формула следует из формулы (14) и результата упр. 1б. 21. ) я< ау + 2 буау = 2 ау[В(у)]+ 2 .а.[з(/)] = 2 ау([Й(у)]+ (Я(1)]); теперь воспользуйтесь тем, что (й(у)]+ [о(у)] = [уу(у) или о(у)]+ [71(у() и 5(у)]. В целом, обозначение Айверсона позволяет выполнять операции "в строку", а не "под строкой". 22.
Для (5) и (7) достаточно просто заменить знак 2 знаком [[. Кроме того, имеем Пябу Ь'с' ( у[ау у Ьу)(Пябуау) и (П ](П ]=( П "]( П 23. Потому что О+х = х и 1 х = х. Это позволяет упростить многие операции и равенства, например правило (Й) и его анвлог из предыдущего упражнения. 25. Первый и последний шаги выполнены верно. На втором шаге 1 используется для двух различных целей одновременно.
А третий шаг, вероятно, должен выглядеть так: 2т,", и. 26. Приведем ключевые этапы доказательства: П(П ) =П("'П ] Тогда искомое произведение равно Щ," о а,) "+~. 28. (и+ 1)/2п. 29. (а) 4 о<о«у<„а,ауаы (ь) пУсть Я, = 1," оа,'. тогда дла исходной сУммы полУчаем следующее выражение; 15з + 15уЯз + -оЯ~. Более общее решение данной задачи (для большего числа индексов) можно найти в разделе 1.2.9; см. (38).
ЗО. Запишем левую часть в виде 2" 1« „„а351х уе и выполним аналогичные преабраэо1<3,й< 3 ванин в правой части. (Эта тождество является частным случаем более общей формулы из упр. 46 для т = 2.) 31. Если положить а3 = и„53 = 1, х, = и3 и у3 = 1, то получится, что исходная сумма равна и) '" 1 изи3 — (2 ", и3)(2 ", е,). 33. Это можно доказать индукцией па и, если переписать формулу в виде '.— '.— (... П «., е,(х — 1) ф П,, е,(х — '1) Теперь каждая из этих сумм имеет вид первоначальной суммы, но без (и — 1)-го злемента в знаменателе.
По индукции предполагаем, что искомая формула верна для О < г < и — 1. А для г = и рассмотрим тождество П„" (х — хв) х — (х1 + " + хв)х~ + Р(х ) 1 П1< «, ве3 (х3 хь) — П1<, 1333(х3 хь) где Р(х,) — шинном степени и — 2; так как па индукции мы предположили, чта формула верна для г = О, 1,..., и — 1, отсюда получаем, чта она верна и для г = и. Замечание. На самом деле д-ра Матрицу опередил Л. Эйлер (Ь.
Еи!ег), который написал о своем открытии Христиану Гольдбаху (С!11!вс!ап Со!ОЬас!1) 9 ноября 1762 года. См. рабату Эйлера 1пзсйибопит Св(си!1' 1пгебга)!в 2 (1769), 21169, а такэке Е. ЪЧаг!пб, РЬ!!. Тгапи 69 (1779), 64-67. Приведенный ниже альтернативный метод доказательства, в катарам используется теория комплексного переменного,не так прост,но более изящен. По теореме о вычетах значение заданной суммы равно 1 Х' 3(Х 2Я1',/!3! л (х — х1)... (х — х„)' где 77 > !х1),..., !х ). Разложение Лорана подынтегральной функции равномерно сходится при ф = Л и выглядит следующим образам: = х" "+(х1+ +х„)х' " '+(х1+х1хе+ )х" " +..
При почленном интегрировании пропадет все, кроме члена с казффициентом х 1. Этот метод позволяет получить общую формулу для произвольного целого г > О: хо' .. х3". Е 1 М+ +3„= -в-Е! ,3„>О (а. 1. Бу!еевсег, (гаага Х Масб. 1 (1857), 141 — 152.) 34. Если читатель упорно старался решить эту задачу, не заглядывая в ответ, то, вероятно, цель упражнения достигнута. Трудно преодолеть искушение рассмотреть числители как многочлены по х, а не па Й. И, без сомнения, намного проще доказать значительно более общее соотношение П,,<.
Ьв- .) — 1 Е 1=1 П1<г<Ш гнеЬ~ У ) которое является тождествам для 2п — 1 переменных! 33. Если В(У) не выполняется, никогда, то ворл1 1а равен — со. В основе сформулированного аналога правила (а) лежит тождество а+ шак(Ь, с) = пзак(а + Ь, а + с). Аналогично, если все а„Ьэ неоглрицательиме то имеем внряб1 а, ьпрзб1Ь = внряп1 внрщю а,Ь<. Правила (Ь) и (с) остаются неизменными, а для правила (<() получаем более простую форму апр(внрлб1оз э"Рзб1ог) =в"Рнбрмзб~ог 36. Вычитаем первый столбец из столбцов с номерами 2,..., и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
