Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 14
Текст из файла (страница 14)
раздел5.2.2) элементарный потокпозамкнутойΔПповерхности ΔS равен суммепотоков чрез все его грани.Поток ΔП1 через грани ABCDи A1B1C1D1 равен:ΔΠ1 = ΔΠ ABCD + ΔΠ A1B1C1D1 = ∫∫ ( F , dsABCDРаскрывая скалярное произведение ( F , ds ) , получим знак минус у потокаΔΠ A B1C1D1 , который обусловлен тем, что нормаль к этой грани образует1тупой угол с осью Ох. Так как на грани ABCD все абсциссы точек равных+Δх и ds = idydz , то ( F , ds ) = Fx ( x + Δx, y, z )dydz .На грани A1B1C1D1 имеем ( F , ds ) = − Fx ( x, y, z )dydz .
Поскольку граниABCD и A1B1C1D1 равны, то получим:ΔΠ1 = ∫∫ (Fx ( x + Δx, y, z , ) − Fx ( x, y, z ) )ABCDИспользуя формулу Тейлора, получим:(Fx ( x + Δx, y, z, ) − Fx ( x, y, z ) ) = ∂Fx Δx + o(Δx) ,∂xгде o(Δx) - бесконечно малая более высокого порядка, чем Δх. Тогдаподынтегральное выражение:(Fx ( x + Δx, y, z, ) − Fx ( x, y, z ) )dydz = ∂Fx Δxdydz + o(Δx)dydz∂xсодержит бесконечно малую более высокого порядка, чем третий ( o(Δx)dydz )и как показано ранее этой бесконечно малой можно пренебречь.
В результатеполучим:∂FxdydzΔΠ1 = Δx ∫∫ABCD ∂xПо теореме о среднем значении двойного интеграла:∂Fx∂F ( x, y, z )dydz = ΔxΔyΔz xΔx ∫∫∂xABCD ∂xОткуда получим выражение для потока:72∂Fx ( x, y, z )ΔV∂xАналогично получим на остальных гранях:ΔΠ1 =∂Fy ( x, y, z )∂Fz ( x, y, z )ΔV∂z∂yгде x = x + θΔx , y = y + θΔy , z = z + θΔz , 0<θ<1. Складывая все трисоставляющие потока, получим:⎛ ∂F ( x, y, z ) ∂Fy ( x, y, z ) ∂Fz ( x, y, z ) ⎞⎟ΔVΔΠ = ΔΠ1 + ΔΠ 2 + ΔΠ 2 = ⎜ x++⎜⎟∂x∂y∂z⎝⎠При ΔV→0 ⇒ Δx→0, Δy→0, Δz→0 соответственно x → x , y → y , z → z .Тогда согласно определению (5.6 б):∂Fx ( x, y, z ) ∂Fy ( x, y, z ) ∂Fz ( x, y, z )++ΔΠ∂x∂y∂zdiv F = lim= limΔV =ΔV →0 ΔVΔV →0ΔV∂F ∂F ∂F= x + y + z∂x∂y∂zΔΠ 2 =ΔV и ΔΠ 3 =В других обозначениях, если F = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )k , то:div F =∂P ∂Q ∂R++∂x ∂y ∂z(5.7)Свойства дивергенции1.
Если F - постоянный вектор, то div F = 0 .Т.к. P, Q, R = const, а частная производная от постоянной равна нулю.2. Дивергенция от суммы векторов равна сумме дивергенций этихвекторов: div F + G = div F + divGТ.к. производная суммы равна сумме производных.3. Если U – скалярное поле, а F = {P, Q, R} - переменный вектор, тодивергенция произведения скалярной функции на вектор имеет вид:divU F = Udiv F + F gradU()Пусть вектор Φ = UF ⇒ Φ = (U ⋅ P )i + (U ⋅ Q) j + (U ⋅ R )k . Тогда согласноопределению дивергенции и правилу взятии частной производной отпроизведения функций имеем:∂ (U ⋅ P ) ∂ (U ⋅ Q ) ∂ (U ⋅ R )∂U∂P∂U∂QdivΦ =++=U+P+U+Q+∂x∂y∂x∂x∂y∂y∂z⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞ ⎛ ∂U∂R∂U∂U ⎞∂U⎟⎟⎟⎟ + ⎜⎜ P+U+Q+R+R= U ⎜⎜++∂z∂z∂x∂y∂z∂x∂y∂z⎝⎠ ⎝⎠73∂U ∂U ∂Uесть проекции gradU на оси,,∂x ∂y ∂zкоординат, то вторая скобка представляет собой скалярное произведениевекторов F = {P, Q, R} и gradU , записанное через координаты.Следовательно:divΦ = div UF = UdivF + FgradU4.
Постоянный множитель (с) можно выносить за знак дивергенции:div c F = cdiv FТак как частные производные( )( )Доказывается на основе свойства 3 с учетом того, что градиент постояннойвеличины равен нулю.()5. div a × b = b rota − arotbДоказательство этого свойства будет дано в примере 2 раздела 5.9.5.4. Теорема Остроградского- Гаусса и ее векторная записьФормула Остроградского-Гаусса, как и формула Грина, объединены одной идеей:они выражают интеграл, распространенный на некоторый геометрический образ, черезинтеграл, взятый по границе этого образа. Формула Грина относится к двухмерномупространству, Гаусса-Остроградского – к трехмерному.Теорема 5.2.
Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со своимичастными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области,имеющей объем V, то имеет место формула:∫∫[ P( x, y, z ) cos α + Q( x, y, z ) cos β + R( x, y, z ) cos γ ]dS =S= ∫∫∫ (V∂P ∂Q ∂R++ )dV∂x ∂y ∂z(5.8)гдеповерхностьSограничивает область V,причем поток берется повнешней стороне этойповерхности(т.е.единичныйнормальный0вектор n направлен внеобъема V).Доказательство.Рассмотрим в пространствеOxyz область V следующеговида: снизу эта областьограничена поверхностью S1с уравнением z=h(x,y);сверху поверхностью S2 с74уравнением z=H(x,y); сбоку – цилиндрической поверх-ностью S3 с образующими,параллельными оси Oz.
Направляющая цилинд-рической поверхности S3 есть замкнутаякривая L (в плоскости Oxy), ограничи-вающая область σ (см. рис.5.7).Т.е. сначала мы рассматриваем частный случай, когда P(x,y,z)= =Q(x,y,z)=0 для∂Rобласти являющейся цилиндром с образующей вдоль Oz. Найдем ∫∫∫ dV . ПоV ∂zправилу вычисления тройного интеграла имеем:H ( x, y )∂R∂R=σdzdVd∫∫∫∫∫∫∂∂zzVh( x, y )σВозьмем внутренний определенный интеграл:H ( x, y )H ( x, y )∂Rdz = R( x, y, z )= R ( x, y, H ( x, y )) − R( x, y, h( x, y )) ,∫h ( x, y )h ( x , y ) ∂zто∂R∫∫∫ dV = ∫∫ R( x, y, H ( x, y ))dσ − ∫∫ R( x, y, h( x, y ))dσV ∂zσσ(5.9 а)Рассмотрим поток вектора R( x, y, z )k через верхнюю сторону поверхности S2 суравнением z=H(x,y) и через нижнюю поверхность S1 с уравнением z=h(x,y), т.е.поверхностные интегралы ∫∫ R( x, y, z ) cos γdS и ∫∫ R( x, y, z ) cos γdS . НужноS2S1учитывать, что эти поверхностные интегралы вычисляются по сторонам поверхностейS1 и S2 «внешних» по отношению к телу V. Поэтому (рис.
5.7) для первогоповерхностного интеграла γ– острый угол и, следовательно , cosγ>0, а для второго - γ –тупой угол и, следовательно, cosγ<0. В связи с этим используя (3.8) и (3.93), получим:∫∫ R( x, y, z ) cos γdS = ∫∫ R( x, y, H ( x, y ))dσ(5.9 б)∫∫ R( x, y, z ) cos γdS = − ∫∫ R( x, y, h( x, y ))dσ(5.9 в)S2S1σσТогда согласно (5.9 а-в) имеем:∂R∫∫∫ dV = ∫∫ R( x, y, z ) cos γdS + ∫∫ R( x, y, z ) cos γdS (5.9 г)V ∂zS1S2Равенство (5.9 г) не нарушится, если к его правой части прибавим интеграл∫∫ R( x, y, z ) cos γdS , взятый по внешней стороне цилиндрической поверхности S3. ЭтотS3интеграл равен нулю, потому что нормаль к этой цилиндрической поверхностисоставляет с осью Oz угол π/2, а cos(π/2)=0.
Таким образом,∂R∫∫∫ dV = ∫∫ R( x, y, z ) cos γdS + ∫∫ R( x, y, z ) cos γdS + ∫∫ R( x, y, z ) cos γdSV ∂zS1S2S3Используя свойство аддитивности поверхностного интеграла (см раздел 3.3), получаем:∂R(5.9 д)∫∫∫ dV = ∫∫ R( x, y, z ) cos γdS∂zVS75где S = S1 ∪ S 2 ∪ S 3 . Подобным же образом выводим формулу∂P(5.9 е)∫∫∫ dV = ∫∫ P ( x, y, z ) cos αdSV ∂xSдля частного случая, когда R(x,y,z)=Q(x,y,z)=0∂Q(5.9 ж)∫∫∫ dV = ∫∫ Q( x, y, z ) cos βdS∂yVSи для частного случая, когда P(x,y,z)=R(x,y,z)=0.Складывая соотношения (5.9 д), (5.9 е), (5.9 ж) получим формулу ОстроградскогоГаусса:∂P ∂Q ∂R+ )dV∫∫ [ P( x, y, z ) cosα + Q( x, y, z ) cos β + R( x, y, z ) cos γ ]dS = ∫∫∫ ( +xy∂∂∂zSVЧ.т.д.
Эта формула выражает поверхностный интеграл общего вида по внешней сторонезамкнутой поверхности S через тройной интеграл по области V, ограниченной этойповерхностью. Используя связь между поверхностными интегралами первого и второгорода (см. (5.8)) преобразуется к виду:∫∫ P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dxdz + R( x, y, z )dxdy = ∫∫∫ (SV∂P ∂Q ∂R++ )dV∂x ∂y ∂z(5.9 з)Векторная запись формулы Гаусса-ОстроградскогоПеренесем гидромеханическую терминологию на случай произвольногополя, тогда можно сказать, что дивергенция произвольного поля является«расходом поля в данной точке, отнесенным к единице объема» и на основеэтого переформулировать теорему Остроградского.Первая часть формулы Острогорадского является потоком поля череззамкнутую поверхность S, ограничивающую область V, т.е.
пределом суммыэлементарных потоков:n()∫∫ ( F , n )ds = lim ∑ Fk , n k S k ,Sn →∞ k =1причем элементарные потоки положительны там, где вектор поля направленнаружу области V, и отрицательны там, где вектор поля направлен внутрь.Вторая часть формулы Остроградского (5.8) является тройныминтегралом от дивергенции по области V, ограниченной поверхностью S, т.е.n∂P ∂Q ∂R+ )dV = ∫∫∫ div F dV = lim ∑ div F M k Vk∫∫∫ ( +∂y ∂zn→∞ k =1V ∂xVПроизведение объема частичной области Vk и значения дивергенции в некоторой точкеMk области Vk приближенно является расходом поля из частичной области Vk. Тройнойинтеграл, являющийся пределом суммы этих элементарных расходов, дает,следовательно, расход поля из всей области V.
Таким образом, на основании вышесказанного приходим к следующей формулировке теоремы Остроградского:Теорема 5.3. Поток поля через замкнутую поверхность S равен расходу поля изобласти V, ограниченной этой поверхностью:()76∫∫ ( F , n )dS = ∫∫∫ divFdVS(5.91)V5.5.
Линейный интеграл. Его физический смысл. Циркуляция векторного поляПусть даны - непрерывное векторное поле F ( М ) и кусочно-гладкаякривая Г, на которой выбрано направление (ориентированная кривая).Физически вектор-функция F ( М ) ассоциируется с силовым полем, когда вкаждой точке пространства на материальную точку действует сила F ( x, y, z ) .Примером такого поля может служить гравитационное поле, электрическоеполе, магнитное поле и т.д.Пусть на материальную точку М(х,у) плоскости ОХУ действует сила F ,зависящая только от положения точки М.
При таких условиях на плоскостиопределено силовое поле, а сила F , действующая на материальную точку,называется напряженностью поля. Пусть материальная точка под действиемсилы F = P( x, y )i + Q( x, y ) j движется в силовом поле по кривой Г от точки Адо точки В. Найдем работу совершаемую силовым полем.Проведем разбиение Т кривой Г точками А=М0, М1, М2,…, Мn=B наэлементарные дуги. Если элементарные дуги ∪MkMk+1 достаточно малы, то всилу непрерывности F ( М ) можно считать, что на каждой элементарнойдуге сила мало меняется, и она может считаться постоянной и равной своемузначению в начальной точке дуги: F ( М ) ≈ F ( M k ) . Обозначим через αk уголмежду направлением силы F в точке Mk и секущей М k M k +1 (рис.5.8).
Тогдаработа Аk по перемещению материальной точки вдоль кривой Г от точки Mkдо точки Mk+1 будет определяться по формуле: Ak = F ( M k ), M k M k +1 == P ( M k ) ⋅ Δxk + Q( M k ) ⋅ Δy k . Работа по перемещению материальной точкивдоль кривой от А до В будет равна суммарной работе, совершаемой на всех()77n −1элементарных дугах: A = ∑ Ak . Переходя к пределу и устремляя диаметрk =0разбиения к нулю, получаем:n −1n −1k =0λ →0 k = 0(A = ∑ Ak = lim ∑ Ak = ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ F ( x, y ), dlΓΓ)(5.92а)Физическискалярноепроизведение ( F ( x, y, z ), dl ) = dAимеет смысл работы, которуюсиловоеполеF ( x, y, z ) совершает, перемещаяматериальную точку по вектору dl .
Если же F - стационарное полескоростей движущейся несжимаемой жидкости с плотностью ρ≡1, толинейный интеграл характеризует количество жидкости, протекающей заединицу времени через трубку элементарного сечения вдоль АВ, отнесенноек площади элементарного сечения (сечение берется ортогональным к АВ).Замечание. Если сила F действует на точку M(x,y,z) в пространстве OXYZ, торабота по перемещению материальной точки будет иметь вид:(5.92 б)A = ∫ F ( x, y, z ), dl = ∫ P ( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + Q( x, y, z )dzΓ()ΓВид (5.92 а-б) иногда называют линейным интегралом от вектора F вдольлинии Г.Важной характеристикой векторного поля является циркуляциявекторного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
