Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 9
Текст из файла (страница 9)
U( r ). Математическая теорияполя изучает свойства полей (в частности, скалярных и векторных), крассмотрению которых приводят многие задачи, как самой математики, так ифизики и др. наук. Математическим аппаратом, наиболее соответствующимизучаемым в теории поля явлениям, служит векторная алгебра и векторныйанализ.4.2. Геометрия скалярного поляГоворят, что в области D задано скалярное поле U, если каждой точкеМ∈ D поставлено в соответствие некоторое число F(M).Рассмотрим важнейший из стандартных способов задания скалярного поля— задание с помощью координат.
Скалярное поле отображает точкипространства (или радиусы-векторы этих точек) во множество чисел. Точка ивектор определяются своими координатами. Поэтому скалярное поле с помощьюкоординат можно определить формулой вида:(4.1)F (r ) = F ( xi + yj + zk ) = U ( x, y, z )где U(x,y,z) — обобщенное алгебраическое выражение от переменных x ; y ; z ,т.е. математическое выражение, состоящее из указанных переменных,обозначений элементарных функций, алгебраических операций, скобок и другихвспомогательных символов, принимающее числовое значение при заданииконкретных числовых значений переменных.
Формула (4.1) устанавливаетсоответствие между скалярными полями и функциями нескольких переменных.Таким образом, если дано некоторое скалярное поле в области D⊂R3 (илиD⊂R2), то, введя систему координат Oxyz (или Oxy) можно представитьскалярное поле в виде некоторой функции U=F(x,y,z) (или U=F(x,y)).Пусть задано стационарное скалярное поле U=F(M)=F(x,y,z), где функциюF(М) будем всегда предполагать непрерывно дифференцируемой врассматриваемой области. Основной вопрос исследования скалярного поляесть вопрос об изменении функции U при переходе от одной точкипространства в другую. Для выяснения этого вопроса скалярные поля частоизображаются геометрически.
Геометрической характеристикой скалярногополя служат называемые поверхности уровня и линии уровня.Поверхностью уровня (эквипотенциальной поверхностью) скалярногополя называется множество всех точек пространства R3, в которых функцияполя U = F(x,y,z) имеет одно и тоже постоянное значение С.Уравнение поверхности уровня имеет вид:F (x,y,z) = С, C=const(4.2 а)Это уравнение можно рассматривать как уравнение некоторой поверхности впространстве. Придавая величине С различные значения, получим рядповерхностей, на каждой из которых физическое явление протекает46одинаково. Эти поверхности называются поверхностями уровня скалярногополя.
Так как функцию, задающую скалярное поле, часто, независимо от еефизического смысла, называют потенциалом, то поверхности уровняназывают также эквипотенциальными поверхностями, т.е. поверхностямиравного потенциала.Т.к. U=F(x,y,z) – однозначная функция, то каждой точке полясоответствует одно значение функции, поэтому через каждую точку поляпроходит только одна поверхность уровня, т.е. поверхности уровня дляразличных значений С не пересекаются.Например, если скалярное поле задано функцией U = x 2 + y 2 + z 2 , топоверхности уровня имеют вид: x 2 + y 2 + z 2 = C .
При С≥0 они представляютсобой семейство концентрических сфер с центром в начале координат ирадиусом С .Если скалярным полем является поле распределения температуры внекоторой части пространства, то поверхностями уровня этого поля являютсятак называемые изотермические поверхности, т.е. поверхности на каждой изкоторых температура постоянна. В случае бесконечной равномерно нагретойнити изотермическими поверхностями будут круговые цилиндры, оськоторых совпадает с нитью.Наряду со скалярными полями в пространстве рассматриваются такжеплоские скалярные поля. Скалярное поле называется плоским, еслисуществует некоторая плоскость такая, что во всех плоскостях параллельныхуказанной, скалярное поле будет одним и тем же. Если эту плоскостьпринять за плоскость xOy, то скалярное поле определится скалярнойфункцией:U= F(M)= F(x,y).Геометрической характеристикой плоских скалярных полей служат линииуровня – геометрические места точек, в которых скалярная функция имеетодно и тоже значение.
Линия уровня данного плоского поля определяетсяуравнением:U=F(x,y)=C, C=const(4.2 б)Такиелинииуровняразличных скалярных полейвсем хорошо известны:линииравнойвысотыместности над условнымуровнем моря (горизонтали)удобны для изображенияразмера местности, илилинии равных давлений(изобары) в метеорологии ит.д. Смысл линий уровняпервогопримералегкопредставить,рассмотревтопографическийплан47(рис.4.1 а). Кривую поверхность (горы, холмы) рассекают горизонтальнымиплоскостями, расположенные на одном и том же расстоянии h (величина«шага») одна от другой (рис.4.1 б). Полученные сечения ортогональнопроектируют на горизонтальную плоскость, принятую за основную.
Околокаждой проекции пишут расстояние секущей плоскости от основной (отуровня моря). Тогда на основной плоскости получается система кривых,называемых линиями уровня или горизонталями. Система линий наосновной плоскости – на плоском чертеже – дает представление о видекривой поверхности. Места сгущений линий уровня соответствуют болеекрутым участкам кривой поверхности, места разрежения – более пологим.Линии уровня применяются и в самой математике (раздел- аналитическаягеометрия) при исследовании поверхностей с помощью сечения.4.3.Предел и непрерывность скалярной функции от векторного аргументаОпределения предела и непрерывности скалярного поля (т.е. скалярнойфункции от векторного аргумента) практически без изменений переносятся сопределений для «обычной» функции, т.е.
действительнозначной функциидействительнозначного аргумента. Обобщая равенство (1.3а) получаем:(4.3 а)lim F (r ) = Cr → r0На языке «ε-δ» по сравнению с (1.3б) для окрестности, в которойвыполняется неравенство вводится норма разности векторов вместо модуляразности действительных чисел, т.е. отрезка:∀ε >0 ∃δ >0 ∀r : r − r0 <δ ⇒ F (r ) − C <εНепрерывность скалярного поля также обобщается без проблем:скалярное поле является непрерывным в точке с радиус вектором r0 , если:(4.3 б)lim F (r ) = F (r0 )r → r0На языке «ε-δ»:∀ε >0 ∃δ (ε ) >0 ∀r : r − r0 <δ ⇒ F (r ) − F (r0 ) <εА вот определение производной для скалярного поля обобщитьтрадиционным способом не удается, так как приращение аргументаявляется вектором, и поэтому не может оказаться в знаменателе. Поэтомувводятся две конструкции дифференциальных операций.
Так называемаяпроизводная «по направлению» является прямым обобщениемклассического определения производной. Но помимо производной понаправлению вводится еще одна дифференциальная характеристика —градиент.4.4. Производная по направлениюЧтобы изучить физическое явление, определяемое скалярной функциейU(x,y,z) нужно в первую очередь исследовать, как изменяется U от одной точкипространства к другой, т.е.
определить производную от скалярной функциивекторного аргумента. Так как главной проблемой к настоящему времениявляется тот факт, что в знаменателе формулы (1.5а) не может находиться вектор.48Но подобная ситуация встречалась и в теории функций нескольких переменных[4]. Там выходили из затруднения введением понятия "частная производная". Приэтом позволяли изменяться только одной из переменных, фиксируя значенияостальных переменных. Геометрически это означает дифференцирование понаправлению одной из координатных осей. Используя эту аналогию, можно дляскалярного поля предложить построить аналог производной, используяследующую идею: фиксируя направление приращения вектора, изменять будемтолько длину этого приращения.
В итоге получаем следующее определение.Если f - скалярное поле, n = t ⋅ n 0 - не нулевой вектор, то производной понаправлению n в точке с радиус вектором r называется число,определяемое равенством:∂fΔff ( r + tn 0 ) − f ( r )= lim= lim(4.4)∂n t →0 t n 0 t →0t n0где n 0 - единичный вектор, t - переменная, принимающая действительныезначения.Отношение приращения функции f к длине вектора n назовем среднейскоростью изменения функции f на длине вектора n . При стремлении длинывектора n к нулю (т.е., к точке М), отношение Δf t n 0 стремится к( )некоторому пределу, называемому истинной скоростью изменения скалярнойфункции f в точке М (характеризующейся радиус-вектором r ) понаправлению n .
Эта скорость есть скаляр, так как является пределомскалярной величиныΔf t n 0 . Следовательно, величина∂f ∂n( )характеризует скорость изменения функции f в направлении n : чем больше∂f ∂n , тем быстрее изменяется (растет или убывает в зависимости от знака∂f ∂n ) функция f в направлении n . В этом состоит физический смыслпроизводной по направлению. Это определение производной понаправлению носит инвариантных характер, т.е. не связано с выбором началакоординат. Если же задана система координат, то можно вывести расчетнуюформулу для вычисления производной скалярного поля по заданномунаправлению.Теорема 4.1. Если функция f дифференцируема в точке М0(x0,y0,z0), то длянее имеет смысл производная по направлению любого единичного вектораn 0 = (cosα , cos β , cos γ ) , выражаемая формулой:∂f∂f∂f∂f=cosα+cosβ+cos γ(4.5 а)∂y∂z∂n 0 ∂xгде α, β, γ - углы, которые вектор n 0 составляет с осями координат Ox, Oy,∂f ∂f ∂fOz;, , - частные производные в точке М0(x0,y0,z0).∂x ∂y ∂zДоказательство.
Проведем прямую через точку М0(x0,y0,z0) параллельнуюединичному вектору n 0 . Возьмем на этой прямой произвольную точку М с49координатами (x,y,z). Так как единичный вектор n 0 и вектор М 0 Мколлинеарны, то согласно условию коллинеарности двух векторов вкоординатной форме имеем:x − x0 x − y 0 x − z 0(4.5 б)==cosαcos βcos γОбозначая отношение (4.5 б) через t, координаты текущей точки М(x,y,z)можно представить в виде:⎧ x = x0 + t cos α⎪⎨ y = y0 + t cos β⎪ z = z + t cos γ0⎩Следовательно, f(x,y,z) есть сложная функция одного аргумента t, и тогда ееприращение, вызванное приращением независимой переменной t равно:Δf =∂f ( x, y, z ) Δx∂f ( x, y, z ) Δy∂f ( x, y, z ) ΔzΔt +Δt +Δt + o(Δt )∂z∂xΔt∂yΔtΔt(4.5 в)где все частные производные вычисляются при t=0 (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
