Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 10
Текст из файла (страница 10)
в точке М0(x0,y0,z0));o(Δt ) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δt , т.е.o(Δt )= 0 . Поделим (4.5 в) на Δt и перейдем к пределу при Δt →0:limΔt →0 Δto(Δt )Δf∂f∂f ( x, y, z ) dx ∂f ( x, y, z ) dy ∂f ( x, y, z ) dz= 0=+++ lim=dtdtdt Δt →0 Δt∂x∂y∂zΔt →0 Δt∂n∂f ( x, y, z )∂f ( x, y, z )∂f ( x, y, z )=cos α +cos β +cos γ .∂x∂y∂zЧ.т.д.Если скалярное поле плоское, т.е. z=f(x,y), то вектор n 0 лежит вплоскости xOy ⇒ cos γ = 0 . Тогда формула (4.5) преобразуется к виду:∂f∂f∂f∂fπ∂f(4.5 г)= cos α + cos β = 〈 β = − α 〉 = cos α + sin α0∂x∂y∂x∂y2∂nlim4.5.
Градиент скалярного поля и его свойстваГрадиентом функции называется вектор, проекции которого на оси∂U ∂U ∂Uкоординат являются значения частных производных:;;∂x ∂y ∂z∂U∂U∂U∂U ∂U ∂U(4.6 а);;)=kgradU = (i +j+∂x∂y∂x ∂y ∂z∂zВ случае плоского поля U=U(x,y) градиент поля имеет вид:∂U∂U(4.6 б)gradU = i+ j∂y∂x50Согласно определению градиента скалярного поля полный дифференциалскаляра поля может быть представлен как скалярное произведение двухвекторов:∂U∂U∂U∂U∂U∂UdU =dx +dy +dz = (i +j+k , i dx + j dy + k dz ) =∂x∂y∂z∂x∂y∂z= ( gradU , dr )где второй сомножитель является дифференциалом радиуса вектора текущейточки (см.
(1.8а)).Теорема 4.2. Пусть задано скалярное поле U=U(x, y, z) и в нем определенополе градиентов: gradU . Тогда проекция вектора gradU на единичныйвектор n 0 = cosα ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k равна производной функции U(x, y, z)по направлению единичного вектора:∂U(4.7)Прn 0 gradU = 0∂nДоказательство: Из векторной алгебры известно, что проекция какого-либовектора на единичный вектор равна скалярному произведению векторов:∂U∂U∂UПрn 0 gradU = (n 0 , gradU ) = (cosα ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k ,i +j+k) =∂x∂y∂z∂U∂U∂U∂U=cos α +cos β +cos γ = 0 ч.т.д.∂x∂y∂z∂nТ.е.
скорость изменения скалярного поля по некоторому направлениюравна проекции градиента на это направление.Теорема 4.3. Градиент в данной точке поля Uнаправлен по нормали к поверхности уровня в этойточке (рис.4.2).Доказательство. На поверхности уровня поля:U(x,y,z) = C возьмем какую-нибудь точку М(x,y,z) ипроизвольно проведем через нее линию L,расположенную на поверхности. За параметр,определяющий положение точек на линии L,возьмем длину дуги s, отсчитываемую отопределенной, лежащей на линии L точки А.Координаты текущей точки линии будутфункциями от s: x=x(s), y=y(s), z=z(s). Так как линия лежит на нашейповерхности уровня, то координаты текущей точки ее удовлетворяютуравнению этой поверхности:U[x(s), y(s), z(s)] = CПродифференцировав это тождество по s в точке М∈L, то на основанииправила дифференцирования сложной функции получим следующеевыражение:dU ∂U dx ∂U dy ∂U dz=++=0∂x ds ∂y ds ∂z dsds51или в виде скалярного произведения двух векторов:dU= ( gradU ,τ ) = 0(4.8)dsгде векторdzdxdyτ =i+ j+kdsdsdsявляется касательной к линии L в точке М (см.
(1.7б)). Так как скалярноепроизведение рано нулю, следовательно, касательные в точке М квсевозможным линиям поверхности уровня, проходящим через эту точку,располагаются в одной плоскости, перпендикулярной к градиенту. Ч.т.д.Теорема 4.4. Производная скалярного поля U в данной точке понаправлению градиента имеет наибольшее значение и равна модулюградиента.Доказательство. Согласно теореме 4.2 производная по направлению естьпроекция вектора градиента на единичный вектор l 0 , т.е. равна скалярному∂U= (l 0 , gradU ) .
Согласно теореме 4.3произведению этих векторов:0∂lградиент поля направлен по нормали к поверхности уровня поля; его ортобозначим через - n 0 . Тогда раскрывая скалярное произведение черезпроизведение модулей векторов на косинус угла между ними, получим:∂U= ( gradU , n 0 ) = gradU ⋅ n 0 ⋅ cos ϕ = gradU ⋅ 1 ⋅ cos 0 0(4.9 а),0∂nт.е.∂U= gradU(4.9 б)∂n 0По всякому другому направлению l 0 производная будет меньше модуляградиента:∂U ∂U<,∂l 0 ∂n 0так как сosϕ<1 для остальных направлений.
Ч.т.д.Из формулы (4.9 а) следует, что если направление, по которому беретсяпроизводная, перпендикулярно к направлению градиента (т.е. по касательнойк поверхности уровня), то производная по такому направлению будет равнанулю.Итак, градиент есть вектор, направленный по нормали к поверхностиуровня в сторону возрастания функции U(M) и численно равный скоростиизменения функции U(M) по этому направлению. Чтобы получить скоростьизменения U(M) по любому направлению, достаточно спроектировать gradUна это направление. Таким образом, в каждой точке скалярного поля можнопостроить вектор – градиент поля, который образует уже векторное поле. Вп. 4.2 отмечалось, что свойства скалярного поля могут быть обнаружены спомощью изображения на плоскости линий уровня (см.рис.4.1а).
Эта системалиний представляет широкий план изменения поля (функции) точки, ее52общую картину, не искажая при этом основных черт изменения. Благодаряэтой системе можно сразу «сверху» обозреть основные особенности данногополя. Однако, система линий уровня построена так, что, показывая общуюкартину изменений, локальных явлений не определяет, так как намнеизвестны направления «наибольшей крутизны поверхности» для любойточки М, а также и «крутизна поверхности» в любом направлении, идущемот точки М. Теперь же, введя понятие градиента, знаем, что направлениеградиента, всегда указывает направление наибольшей крутизны подъемаповерхности, идущей от заданной точки, а длина этого вектора, равнаяпроизводной по направлению, характеризует величину крутизны.
Натопографическом плане (см.рис.4.1а) горизонтали позволяют нагляднопредставить вид данной местности сверху. Согласно этому плану безпредварительных вычислений видим, где вершины холмов, где долины, а гдепологие скаты. Горизонтали пронумерованы, и потому разность их номеровсразу же указывает на разность высот местности. Если на этом планепроведем линии, расположенные по нормалям к системе горизонталей, тополучим векторные линии (об этих линиях мы будем еще говорить подробнов разделе «Векторное поле») поля вектора градиента.
Градиент же в каждойточке укажет нам направление наибольшей крутизны местности для любойточки, а модуль градиента каждый раз выражает «степень» (значение) этойкрутизны. По такому плану можно, например, определить пути естественныхстоков воды. Вода будет стекать в направлении наибольших склоновместности, т.е. вдоль линии градиентов, но в направлении противоположныхтому, которое указано стрелкой градиента для данной высоты местности. Таккак стрелка градиента указывает направление наибольшей крутизны, то водабудет течь в противоположном направлении – от мест самых крутых – вниз.Резюмируя, еще раз подчеркнем характерные свойства градиента:1. Градиент всегда направлен в сторону возрастания поля.2. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или линииуровня, если поле плоское).3. Модуль градиента равен наибольшей производной по направлению вданной точке поля:∂U∂U∂U∂Umax= gradU = ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2(4.91)∂n∂x∂y∂zЭти свойства дают инвариантную характеристику градиента.
Они говорят отом, что вектор gradU указывает направление и величину наибольшегоизменения скалярного поля в даннойточке.На основе вышесказанного дадимеще одно определение вектораградиента. Производная вводиласькак характеристика для измеренияскоростиизмененияфункции.Рассмотрим, каким образом определить53"скорость изменения функции" в точке М0. Ясно, что эта "скорость" будетвектором. Рассмотрим, например, сферу σ с центром в точке M0. Для того чтобыпонять, какова скорость изменения функции в направлении прямой L,проходящей через точку M0, возьмем две точки с радиус-векторами r1 и r2соответствующими точкам пересечения прямой L со сферой. Выберем насфере окрестности σ1 и σ2 этих точек, пусть площадь каждой из этихокрестностей равна S(σi).
Тогда естественно изменение (еще не скоростьизменения) скалярного поля f в направлении L определить как (σ0=σ1∪σ2):f (r2 )n (r2 ) S (σ 2 ) − f (r1 )n (r1 ) S (σ 1 ) ≈ ∫∫ f (r )n dσσ0Тогда суммарное изменение поля по сфере σ равно ∫∫ f (r )n dσ . Скоростьσможно определить как предел отношения "изменения" скалярного поля кобъему сферы. Ясно, что нам не следует ограничиваться только сферами,необходимо брать поверхности и другой формы.
Тогда получим следующееопределение "скорости изменения скалярного поля" в точке.Градиентом скалярного поля f (r ) называется векторное поле gradf, каждойточке с радиус-вектором r ставящее в соответствие вектор∫∫ f (r )ndσσ (V )gradf (r ) = limλ →0∫∫∫ dVVгде V - трехмерная односвязная область, содержащая точку с радиус-векторомr ; σ(V) - поверхность, ограничивающая область V; λ=diam(V) - максимумрасстояния между точками области.Дифференциальные свойства градиента вытекают непосредственно изопределения градиента (4.6):1.
Градиент алгебраической суммы скалярных функций равен суммеградиентов этих функций:grad (U 1 + U 2 ) = gradU 1 + gradU 2Т.к. производная суммы равна сумме производных.2. Градиент алгебраической суммы скалярной функции и постоянногочисла С равен градиенту этой функции:grad (U + C ) = gradU , C = constТ.к. градиент постоянной равна нулю.3. Градиент произведения скалярных функций равен сумме векторов:grad (U ⋅ V ) = V ⋅ gradU + U ⋅ gradVПусть скалярная функция f=U⋅V. Тогда согласно определению градиента:∂f∂f∂f∂ (U ⋅ V )∂ (U ⋅ V )∂ (U ⋅ V )gradf = i +j+ k=i +j+k=∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂V∂U∂V∂U∂V∂U+V+V+V= i (U) + j (U) + k (U)=∂x∂x∂y∂y∂z∂z54⎛ ∂V∂V∂V= U ⎜⎜ i+ j+k∂y∂z⎝ ∂x⎞⎛ ∂U∂U∂U ⎞⎟ = V ⋅ gradU + U ⋅ gradV⎟⎟ + V ⎜⎜ i+ j+k∂y∂z ⎟⎠⎠⎝ ∂x4.
Градиент произведения скалярной функции на постоянное числоимеет вид:grad (СU ) = СgradU , C = constТак как градиент постоянной величины равен нулю.U V ⋅ gradU − U ⋅ gradV5. grad =VV2Пусть Ф=U/V, тогда:∂Φ∂Φ∂Φ⎛ U ′V − UV ′ ⎞ ⎛ U ′yV − UV y′ ⎞⎟⎟ j +gradΦ =i +j+k = ⎜ x 2 x ⎟i + ⎜⎜∂x∂y∂zVV2⎝⎠ ⎝⎠() ()V U x′ i + U ′y j + U z′ k − U Vx′i + V y′ j + Vz′k⎛ U ′V − UV ′ ⎞ч.т.д.+ ⎜ z 2 z ⎟k =VV2⎝⎠∂f6. gradf (U ) =gradU∂U∂f∂f7. gradf (ϕ ,ψ ) =gradϕ +gradψ∂ϕ∂ψСвойства 6-7 доказываются на основании (4.6) и правила взятия частныхпроизводных от сложной функции.На основе вышеперечисленных свойств градиента основано его широкоеприменение, как в математике, так и в других науках.
Приведем несколькопримеров.1. Если поместить в начало координат О массу m и рассмотреть поленьютоновского гравитационного притяжения, то его напряженность F(т.е. сила притяжения, действующая на единичную массу) в точке M(x,y,z)будет:mrmF = −γ 2 = − 3 rr rrгде γ – гравитационная постоянная, r = xi + yj + zk радиус вектор точки М,r = r = x 2 + y 2 + z 2 - расстояние от начала координат до точки М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
