Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если функции P(x,y) и Q(x,y), а также их частныепроизводные (∂Q/∂x) (∂P/∂y) непрерывны на замыкании области D и этаобласть может быть разбита прямыми, параллельными координатным осям,на конечное число правильных областей, то имеет место формула:⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟⎟dxdy−(2.93)∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫∫ ⎜⎜xy∂∂ΓD⎝⎠Причем интегрирование по контуру Г происходит против часовой стрелки,т.е. в положительном направлении.Формула (2.93) называется формулой Грина. Ниже приводится выводэтой формулы.Пусть на плоскости Оху задана односвязная область D. Она ограниченасправа и слева отрезками прямых х=а и х=b, а снизу и сверху дугами кривых,уравнения которых y=ϕ2(x) и y=ϕ1(x) (см.рис.2.5а), т.е.
является правильнойобластью в направлении оси ОY (область типа I).∂P∂Pdxdy . Заметим, чтоdy = d y P - это∂yD ∂yчастный дифференциал функции P(x,y). Тогда, по правилу вычислениядвойного интеграла, имеем:ϕ2 ( x )bbb∂P∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ d y P( x, y ) = ∫ [ P( x,ϕ 2 ( x)) − P( x,ϕ1 ( x))]dx = ∫ P( x,ϕ 2 ( x))dx −D ∂yaaaϕ1 ( x )Рассмотрим двойной интеграл − ∫∫b− ∫ P( x,ϕ1 ( x))dxabbaaИнтегралы ∫ P( x,ϕ 2 ( x))dx и ∫ P( x,ϕ1 ( x))dx - это криволинейные интегралыпо соответствующим дугам линии Г (см.(2.9а )), причем обход контура Гпроизводится против часовой стрелки. Следовательно,bbaa∫ P( x,ϕ 2 ( x))dx − ∫ P( x,ϕ1 ( x))dx = − ∫ P( x, y )dx − ∫ P( x, y )dx∪ MN(2.94 а)∪ KL22На линиях NK (x=a) и LM (x=b) дифференциал dx=0 и, следовательно,∫ P ( x, y )dx = ∫ P ( x, y )dx =0 .
Поэтому их можно добавить к (2.94 а) и∪ NK∪ LMполучить интеграл по замкнутому контуру Г:− ∫ P( x, y )dx − ∫ P( x, y )dx − ∫ P( x, y )dx − ∫ P( x, y )dx = − ∫ P( x, y )dx∪ MN∪ KL_ NK_ LMГЗнак «∪» означает дугу, знак «_» - прямую линию. Итак, для правильныхобластей типа I имеет место формула:∂P( x, y )(2.94 б)dxdy = − ∫ P ( x, y )dx∫∫y∂DГЭта формула справедлива и для областей, которые можно разбить наконечное число правильных областей типа I.Докажем это, например, для областиD,изображеннойнарис.2.5в.Разобьем область D отрезками MK иNG на правильные области D1, D2, D3и D4.
Тогда интеграл по границе Гобласти D равен согласно свойству 4криволинейных интегралов суммеинтегралов по границам областей D1,D2, D3 и D4. Так как отрезки ML, LK,NF и FG, не входящие в первый интеграл, в интегралах суммы проходятдважды: сначала в одну сторону, а потом в другую, и поэтому взаимноуничтожаются в силу свойства 1 криволинейного интеграла второго рода(см.(2.92 в)).Двойной интеграл по области D равен сумме интегралов по областям D1,D2, D3 и D4. Поэтому получаем:44∂P( x, y )∂P( x, y )dxdy=dxdy=−∑∑∫∫∫∫∫ P( x, y )dx = −[ ∫ Pdx + ∫ Pdx +∂y∂yi =1 Γi =1 Di∪ MK_ KLD+ ∫ Pdx + + ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx +_ LM_ ML∪ LaF∪ FbL_ LK∪ KG_ GF_ FN+ ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx] = −[ ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx +_ NF_ FG∪GN∪ NM∪ MK∪ KG∪GN∪ NM∫ Pdx + ∫ Pdx] = − ∫ Pdx∪ LaF∪ FbLΓТаким образом, формула (2.94 б) справедлива и для области на рис.2.5 в,которая сама не является правильной, но может быть разбита на конечноечисло правильных областей типа I.Рассмотрим теперь правильную область в направлении ОХ (область типаII).
Напомним, что такая область ограничена сверху и снизу отрезкамипрямых y=d и y=c, а справа и слева – графиками непрерывных функцийх=ψ2(у) и х=ψ1(у) (рис.2.5 б).23Аналогично предыдущему, можно доказать, что для такой области, атакже для областей, которые могут быть разбиты на конечное число областейтипа II, т.е прямыми параллельными оси ОХ, справедлива формула:ψ 2 ( y ) ∂Q ( x, y )dd∂Q( x, y )dxdy = ∫ dy ∫dx = ∫ [Q(ψ 2 ( y ), y ) − Q(ψ 1 ( y ), y )]dy =∫∫∂x∂xDccψ1( y)= ∫ Q( x, y )dу +∪ LK∫ Q( x, y )dу = ∫ Q( x, y )dу + ∫ Q( x, y )dу +∪ NM∪ LK_ KN∫ Q( x, y )dу +∪ NM+ ∫ Q( x, y )dу = ∫ Q( x, y )dу_ ML(2.94Γв)Если область можно разбить и на правильные области типа I и на правильныеобласти типа II, то для нее справедлива как формула (2.94б), так и формула(2.94в).Сложив формулы (2.94б) и (2.94в) получим формулу Грина:⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟⎟dxdy ч.т.д.−∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫∫ ⎜⎜∂∂xyГD⎝⎠2.5.
Условия независимости криволинейного интеграла II рода от путиинтегрированияВ общем случае значение криволинейного интеграла по координатамзависит от подынтегральной функции, от формы кривой вдоль которойведется интегрирование и от направления интегрирования. Важным являетсяслучай, когда интеграл не зависит от формы дуги кривой (путиинтегрирования), а зависит лишь от начальной и конечной точек этой дуги.Теорема 2.3. (необходимый и достаточный признак независимостикриволинейного интеграла по координатам от пути интегрирования).Для того, чтобы криволинейный интеграл II рода ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy не∪ АВзависел от формы кривой AB, необходимо и достаточно, чтобы выполнялосьодно из следующих условий:1. ∫ P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 для любого замкнутого контура L, на которомLлежат точки A и B.∂P ∂Q2.во всех точках некоторой области D, содержащей кривую AB.=∂y ∂x3.
Существует функция U(x,y) такая, что подынтегральное выражениеявляется ее полным дифференциалом: P( x, y )dx + Q( x, y )dy = dU ( x, y )Докажем первое условие:∫ Pdx + Qdy не зависит от формы АВ ⇔ ∫ Pdx + Qdy =( AB )1AB= ∫ Pdx + Qdy ⇔ ∫ Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy = 0 ⇔( AB ) 2( AB )1( AB ) 2⇔ ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = 0 ⇔ ∫ Pdx + Qdy = 0 ⇔( AB )1( BA) 2ABA24⇔ ∫ Pdx + Qdy = 0∀LДокажем второе условие:Эквивалентность условий 1 и 2 следует из формулы Грина:⎛ ∂Q ∂P ⎞∂Q ∂P⎟⎟dxdy = ∫ Pdx + Qdy ⇒ , еслидля−=∫∫ ⎜⎜∂y ⎠∂x ∂yD ⎝ ∂xL∀(х,у)∈D,то⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟dxdy ≡ 0−∂y ⎟⎠D ⎝ ∂x∫∫ ⎜⎜⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟⎟dxdy = 0 для ∀ области−Обратно, если ∫ Pdx + Qdy = 0 при ∀L, то ∫∫ ⎜⎜∂xy∂D⎝L⎠∂Q ∂PD, ограниченной L, ⇒−≡ 0 , т.к.
если допустить, что хотя бы в∂x ∂y∂Q ∂Pодной точке это не так, то по непрерывности будет−≠ 0 в некоторой∂x ∂y⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟dxdy ≠ 0 , а по формуле−области D′ , содержащей эту точку, ⇒ ∫∫ ⎜⎜∂y ⎟⎠D′ ⎝ ∂xГрина ⇒ ∫ P ( x, y )dx + Q( x, y )dy ≠ 0 , что противоречит исходному условию.L′Докажем третье условие:Эквивалентность условий 2 и 3. Сначала покажем, что из условия 3⇒2.Т.к. по условию 3P( x, y )dx + Q( x, y )dy = dU ( x, y ) = U ′x dx + U ′y dy ,⇒,P ( x, y ) = U x′ ( x, y ) и Q( x, y ) = U ′y ( x, y ) .
Возьмем в соответствие с условием 2′′ и Qx′ = U xy′′ . По теореме очастные производные от Р(x,y) и Q(x,y),⇒, Py′ = U xyсмешанных производных известно, что смешанные производные равны∂P ∂Q′′ = U ′yx′ ), если они непрерывны и, ⇒,между собой (U xyЧ.т.д.=∂y ∂x∂P ∂Qпри ∀(x,y)∈D ⇒ ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy не=∂y ∂x∪ АВзависит от формы AB (по условию 2).Выберем AB так, чтобы она соединиланекоторую фиксированную точку (x0,y0) ипеременную точку (x,y) по ломанной,состоящей из отрезков, параллельных осямкоординат (так всегда можно сделать,оставаясь в области непрерывности функций Pи Q и их частных производных).Обратно, пусть дано25⇒∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy =ABACCB⎧ y = y0 = const⎪ x − параметр⎪AC : ⎨⎪ xнач = x0 , xкон = x⎪⎩dy = 0⎧ x = const⎪⎪⎪ y − параметрyxCB ⎨= ∫ P( x, y0 ) dx + ∫ Q ( x, y ) dy = обозначим = U ( x, y )x0y0=,=yyyy⎪ нач0кон⎪⎪⎩dx = 0Вычислим U x′ , используя теорему дифференцирования интеграла,зависящего от параметра и правило Ньютона-Лейбница:y⎞ ′ ⎛y⎞′∂U ⎛ x∂Q= ⎜⎜ ∫ P ( x, y0 )dx ⎟⎟ + ⎜⎜ ∫ Q( x, y )dy ⎟⎟ = P ( x, y0 ) + ∫dy =∂x ⎝ x0∂xy0⎠ х ⎝ y0⎠xсогласно условию 2:yy=y∂Q ∂P∂P== P ( x, y0 ) + ∫ dy = P ( x, y0 ) + P( x, y )= P ( x, y 0 ) + P ( x , y ) −y = y0∂x ∂yy0 ∂y− P ( x, y 0 ) = P ( x , y )Аналогично⎞ ′ ⎛y⎞ ′∂U ⎛ x= ⎜⎜ ∫ P ( x, y0 )dx ⎟⎟ + ⎜⎜ ∫ Q( x, y )dy ⎟⎟ = 0 + Q( x, y ) = Q( x, y )∂y ⎝ x0⎠ y ⎝ y0⎠y∂U∂Udx +dy = dU ( x, y ) - полный дифференциал∂x∂yпостроенной функции U(x,y), иными словами из 2 ⇒ 3.Теорема доказана полностью.Следствие 1.
Если выражение P( x, y )dx + Q( x, y )dy является полнымдифференциалом некоторой функции U(x,y) в области D, то для любой дуги∪АВ линии l, лежащей в области D, имеет место равенство:Т.е. P ( x, y )dx + Q ( x, y ) dy =B∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = U ( B) − U ( A)∪ АВ(2.95)AСледствие 2. При тех же условиях, что и следствие 1, если l – замкнутаякривая, то справедливо равенство:(2.96)∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0lСледствие 3. Криволинейный интеграл вида ∫ P( x)dx + Q( y )dy не зависит отlпути интегрирования.Все эти утверждения непосредственно вытекают из доказанной теоремы.26Теорема 2.4.
(необходимый и достаточный признак независимостикриволинейного интеграла по координатам от пути интегрирования впространственном случае). Для того, чтобы криволинейный интеграл:∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz не зависел от формы кривой AB,ABнеобходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно1. ∫ Pdx + Qdy + Rdz =0 для ∀L, на которых лежат точки A и B;изусловий:L∂P ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂R=;при ∀(x,y,z)∈ D, содержащей кривую AB.=;=∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y2.3.
Pdx + Qdy + Rdz = dU , где U(x,y,z) - некоторая функция, дифференцируемая в области D.2.6. Решение типовых примеровПример 1. Вычислить ∫ xy 2 dl , где L – это отрезок прямой между точкамиLА(0,0) и В(4,3).Решение. Прямая между точками А и В имеет вид: y =формуле (2.3) имеем:43x . Тогда согласно433 245 4 3∫ x ydl = ∫ x ( x) 1 + ( ) dx =∫ x dx = 454464 00L22Ответ: 45.Пример 2. Вычислить интеграл222∫ ( x + y )dl ,где кривая АВ – это дуга∪ AB2окружности х +у =1 между точками А(0,1) и В(1,0).⎧ x = cos tπ, где t∈[0, ] ТогдаРешение. Введем на ∪АВ параметризацию: ⎨2⎩ y = sin tx′(t ) = − sin t , y ′(t ) = cos t , dl = (− sin t ) 2 + (cos t ) 2 dt = dt .
Применяя формулу(2.4), получим:22π /222π /2π02∫ ( x + y )dl = ∫ (cos t + sin t )dt = ∫ dt =∪ ABОтвет: ∫ ( x 2 + y 2 )dl =π0.2Пример 3. Вычислить интеграл ∫ xydl , где L – это четверть эллипса∪ ABL22xy+ 2 = 1 , лежащего в первом квадранте.223Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
