Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 2
Текст из файла (страница 2)
предел непрерывной вектор-функции равен значению этой функции припредельном значении аргумента. Тогда определение (1.4 б) переписываетсяпрактически дословно для вектор-функции с учетом специфики определениядлины вектора:∀ε >0 ∃δ (ε ) >0 ∀t : t − t 0 < δ ⇒ f (t ) − f (t 0 ) < ε(1.4 г)6Напомним, что производная “обычной” функции в точке х=х0 вводитсяформулой:f ( x0 + Δx) − f ( x0 )f ′( x0 ) = lim(1.5 а)ΔxΔx → 0Запишем определение производной «на языке ε-δ»:f ( x0 + Δx) − f ( x0 )∀ε >0 ∃δ (ε ) >0 ∀x : x − x0 < δ ⇒− f ′( x0 ) < ε (1.5 б)ΔxПроизводной вектора a (t ) по его скалярному аргументу t называется пределотношения приращения вектора a к соответствующему приращению скалярногоаргумента t, когда приращение этого аргумента стремится к 0:a (t + Δt ) − a (t 0 )Δa= lim 0(1.6 а)a ′(t 0 ) = limΔtΔt →0 ΔtΔt →0т.е.
на «языке ε-δ» определение производной вектор-функции скалярногоаргумента (1.6а) перепишется в виде:a (t 0 + Δt ) − a (t 0 )− a ′(t 0 ) <ε (1.6 б),Δtкоторый отличается от вида (1.5 б) только тем, что в последнем неравенствевместо модуля разности действительных чисел стоит норма разностивекторов.Геометрический смысл производной вектора по скаляру. Если мыпоместим начало измененного и начального значений вектора a в одну точку О(рис.1.4), то приращение Δa вектора a будет вектором, соединяющим конецначального значения с концом измененного. Совершенно ясно, что производнаяa ′ вектора a по скаляру t есть также вектор,являющийся функцией от того же скаляра t.
Нагодографе вектора a = a (t ) рассмотрим две точки М иN, соответствующие исходному a (t ) и измененномуa (t + Δt ) значениям вектора. Тогда приращение∀ε >0 ∃δ >0 ∀t : t − t0 < δ < ε ⇒вектора Δa имеет вид: Δa = a (t + Δt ) − a (t ) = MN .Прямая, проходящая через две точки М и Nгодографа,называетсясекущейгодографа.Предельное положение секущей, проходящей черезданную точку М годографа, называется касательнойк годографу в точке М. Отношение приращения Δaвектора a к приращению ∆t скаляра t есть вектор Δa /∆t направлены посекущей МN в ту сторону куда перемещается конец вектора при возрастаниискаляра t.
При стремлении приращения аргумента ∆t к нулю точка Nбезгранично приближается к точке М, а секущая, проходящая через эти точки,безгранично приближается к касательной в точке М. Следовательно, векторΔaΔa /∆t, расположенный на секущей, имеет своим пределом вектор a ′ = lim,Δt →0 Δtрасположенный на касательной.7Определим направление производной вектора. Предположим, что скалярнаявеличина ∆t>0.
Тогда при делении на ∆t направление вектора Δa не изменитсяи вектор Δa /∆t, как и вектор Δa , будет направлен по секущей МN годографа всторону возрастания аргумента. Если, наоборот, ∆t<0, то вектор Δa направлен всторону убывания t, но при делении на отрицательный скаляр направлениевектора меняется на противоположное, и, следовательно, вектор Δa /∆t попрежнему лежит на секущей и направлен в сторону возрастания t. Когда ∆t→0,секущая в пределе превращается в касательную, если последняя существует.Следовательно, производная вектора по его скалярному аргументу естьвектор, направленный по касательной к годографу исходного вектора врассматриваемой точке и направлен в сторону возрастания аргумента.Механический смысл производной: Пусть r есть радиус вектордвижущейся в пространстве точки.
ТогдаMN = Δr (t )(рис.1.5),векторизображает перемещение точки за время Δt, аΔr (t )дает среднюю скоростьотношениеΔtперемещения за этот промежуток времени.Переходя к пределу Δt→0, из вектора среднейскорости, получим вектор истинной скоростиv (t ) в момент времени t. Следовательно, векторскорости v есть производная радиус-векторадвижущейся точки по времени:dydzΔr dr dxv = limj + k (1.7 а)== i +dt dtdtdtΔt →0 Δt222dr⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ .Его норма: v =dt⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠С другой стороны, в дифференциальной геометрии доказывается, чтопроизводная от длины кривой l по параметру t также выражается формулой:222dl⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ Т.о., численное значение вектора скорости (егоdt⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠dlнормы) равно производной дуги траектории по времени: v = .dtДифференцируя вектор r два раза, получим вектор ускорения:222⎛d2y⎞⎛ d 2x⎞⎛ d 2z ⎞w = 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ , который направлен по касательнойdt⎝ dt ⎠⎝ dt ⎠⎝ dt ⎠к годографу скорости.Если в (1.7 а) вместо параметра t (время) взять параметр l (длина дуги,отсчитываемая от определенной точки) и продифференцируем r по скаляру l,d 2r8dr, который согласно геометрическому смыслуdlпроизводной, направлен по касательной к кривой в сторону возрастания l.ΔrdrНорма этого вектора: τ == lim.
Но Δr = MN (хорда), а Δl=∪МNdl Δl →0 Δl(дуга). Из дифференциальной геометрии известно, что отношение длиныхорды, стягивающей дугу, к длине дуги стремится к единице, когда длинапоследней уменьшается до нуля. Следовательно, τ = 1 , т.е. вектор τ естьединичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону возрастаниядлины дуги l. Вектор τ в проекциях на оси координат имеет вид:dr dxdydzτ = = i+j+ k(1.7 б)dl dldldlПравила дифференцирования вектора по скаляру совпадают с правиламиобычного дифференциального исчисления. Как было показано выше,определение производной вектора по скаляру практически совпадает собычным определением для скалярной функции.
Также теоремы о пределахвекторных выражений не отличаются от обычных теорем о пределах ивекторные алгебраические операции подчиняются обычным законам алгебры(кроме переместительности векторного произведения). Таким образом, мыполучаем следующие правила дифференцирования:1. Если вектор функции u , v , w дифференцируемы в данной точке t=t0, то вэтой точке дифференцируема и их сумма (разность), причем производнаяот суммы (разности) равна сумме (разности) производных:(u + v − w)′ = u ′ + v ′ − w′2.
Если вектор функции u , v дифференцируемы в данной точке t=t0, то вэтой точке дифференцируемо и их скалярное произведение, причем:(u , v )′ = (u ′, v ) + (u , v ′)3. Постоянный вектор с можно выносить за знак производной:(с , u ) ′ = (с , u ′)4. Если ϕ(t) - скалярная функция, u (t ) - вектор-функция, то:(ϕ (t )u (t ) )′ = ϕ ′(t )u (t ) + ϕ (t )u ′(t )5.
Если вектор функции u , v дифференцируемы в данной точке t=t0, то вэтой точке дифференцируемо и их векторное произведение, причем:(u × v )′ = u ′ × v + u × v ′Доказательства всех этих формул аналогично доказательствусоответствующих формул дифференциального исчисления. В качестве примеравыведем последнюю формулу. Обозначим векторное произведение векторов u иv за новый вектор R = u × v . Дадим скалярному аргументу t приращение ∆t;тогда функции u , v , R получат также приращения Δu , Δv , ΔR .
Приэтом R + ΔR = (u + Δu) × (v + Δv ) .ОтсюдаΔR = u × Δv + Δu × v + Δu × Δv .то получим новый вектор τ =Следовательно, беря предел от отношения ΔR Δt , получаем:9ΔRΔv ΔuΔu= lim (u ×+×v +× Δv ) =Δt ΔtΔtΔt →0 ΔtΔt →0ΔuΔuΔvΔv= lim u × lim+ lim× lim v + lim× lim Δv = u × lim+Δ t →0Δt →0 ΔtΔt →0 ΔtΔt →0Δt →0 ΔtΔt →0Δt →0 ΔtΔuΔvΔu⋅ lim Δt = u ′ × v + u × v ′ Ч.т.д+ lim× v + lim× limΔt →0 ΔtΔt →0 ΔtΔt →0 ΔtΔt →0(u × v ) ′ = R ′ = lim1.3.
Дифференциал и интеграл от векторной функции скалярногоаргументаПо аналогии с дифференциалом скалярной функции дифференциалвекторной функции a (t ) есть вектор da , определяемый равенством:dada =dtdtгде dt=Δt – приращение скалярного аргумента t (для независимой переменнойдифференциал и приращение совпадают). Значит дифференциал вектора da ,как и производная da dt вектора a лежат на касательной к годографу.Направление da на этой касательной зависит от знака dt (рис.1.6): при dt>0вектор da направлен в сторону возрастания аргумента t, при dt<0, наоборот,в сторону его убывания (при умножении вектора на отрицательный скалярего направление меняется на противоположное).Запись дифференциала векторной функции в проекциях имеет вид:da ydadada = x dt ⋅ i +dt ⋅ j + z dt ⋅ kdtdtdtили da = da x ⋅ i + da y ⋅ j + da z ⋅ kгде dax, day, daz – дифференциалы скалярных функцийax, ay, az.Норма дифференциала векторной функцииопределяется формулой:(da x )2 + (da y )2 + (da z )2da =В частности, для дифференциала радиуса вектора r иего нормы находим:dr = dxi + dyj + dzk(1.8 а)dr = (dx ) + (dy ) + (dz )(1.8 б)С другой стороны, дифференциал длины дуги кривой dl, как известно,определяется формулой:2dl =2(dx )2 + (dy )2 + (dz )22(1.9 а)Следовательно,dr = dl(1.9 б),т.е.
норма дифференциала радиуса-вектора точки равна дифференциалудлины дуги, описываемой этой точкой.10Теперь перейдем к рассмотрению интегралов от векторной функции.Неопределенным интегралом от векторной функции скалярногоаргумента b (t ) называется совокупность всех векторных функций а (t ) ,производные которых совпадают с b (t ) , т.е.da (t )= b (t )(1.91)dtПеренесем дифференциал независимого аргумента в левую часть ипроинтегрируем это выражение.
Следовательно, имеем:∫ b (t )dt = a (t ) + cгде а (t ) - определенная векторная функция, удовлетворяющая уравнению(1.91), с - произвольный постоянный вектор.В проекциях неопределенный интеграл получает вид:(1.92)∫ b (t )dt = i ∫ bx (t )dt + j ∫ b y (t )dt + k ∫ bz (t )dt + cТ.о., интегрирование векторной функции можно свести к трем интегралам отдействительнозначных функций.Пример.
Найти неопределенный интеграл для векторной функцииa (t ) = i cos t + j e −t + k .Решение. Используя формулу (1.92), получим:−t−t∫ a (t )dt = i ∫ cos tdt + j ∫ e dt + k ∫ dt = i sin t − je + k t + cДля интегралов от вектор-функций справедливы следующие свойства:1. ∫ αb (t )dt = α ∫ b (t )dt , α - числовая постоянная()2. ∫ b (t ) ± a (t ) dt = ∫ b (t )dt ± ∫ a (t )dtПусть вектор-функция b (t ) определена и непрерывна на некоторомотрезке [t0,T] изменения аргумента t.Определенным интегралом от векторной функции b (t ) на отрезке [t0,T]n −1называется предел интегральной суммы: ∑ b ( M k )Δt k ,k =0(M k ∈[t k , t k +1 ])пристремлении к нулю длины Δt наибольшего из отрезков [tk , tk +1 ] , на которыеразбит [t0,T]:n −1TΔt →0 k =0t0lim ∑ b ( M k )Δt k = ∫ b (t )dtСправедлива формула:T∫ b (t )dt = a (T ) − a (t 0 )t0где а (t ) - какая-нибудь первообразная для функции b на [t0,T].Если b (t ) = i bx (t ) + j b y (t ) + k bz (t ) , тоTTTTt0t0t0t0∫ b (t )dt = i ∫ bx (t )dt + j ∫ b y (t )dt + k ∫ bz (t )dt11Глава 2.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫДается определение криволинейного интеграла по длине линии и криволинейного интегралапо координатам. Излагаются способы сведения их к определенному интегралу.Рассматриваются условия независимости криволинейного интеграла по координатам от путиинтегрирования.2.1. Криволинейный интеграл по длине дуги и его вычислениеНазовем разбиением T отрезка [a,b] множество действительных чисел⎨N0,N1,…, Nn⎬ такое, что a=N0<N1<…<Nn=b.Диаметром разбиения ⎨N0,N1,…,Nn⎬ называется число λ = max (Δl k ) ,k∈{0,...n −1}т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
