Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 3
Текст из файла (страница 3)
наибольшая длина отрезка Δl k = N k +1 − N k .Дугу кривой называют гладкой, если функции, фигурирующие в еепараметрических уравнениях, непрерывны и дифференцируемы. Дугуназывают кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное числогладких дуг.Рассмотрим сначала дугу, заданную в плоскости: пусть на плоскости Охузадана кусочно-гладкая кривая. Рассмотрим дугу L = ∪ AB этой линии отточки А до точки В. Дадим разбиение Т дуги АВ на участки Δl k = N k +1 − N k(k=0,…,n-1) и в каждом из участков выберем произвольные точки Mk(рис.2.1). Рассмотрим также непрерывную функцию f(M)=f(x,y),определенную во всех точках дуги L.
Составим сумму произведенийзначения функции в выбранных точках на длину соответствующего участкалинии:n −1∑ f ( M k )Δlk .k =0Такая сумма называется интегральнойсуммой для функции f(M) по кривой АВ.Неограниченно увеличивая n (n→∞), аэто приведет к тому,что диаметрразбиения λ стремится к нулю, получим:n −1n −1~~=fMlΔ()∑lim ∑ f ( x k , y k )Δl klimkkλ →0 k = 0λ →0 k = 0Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения Т научастки Δlk и ни от выбора точек на этих частях линии, то он называетсякриволинейным интегралом от функции f(M)=f(x,y), взятым по длинелинии L (криволинейным интегралом I рода) и обозначается символом:n−1lim ∑ f ( M k )Δl k = ∫ f ( M )dl = ∫ f ( x, y )dlλ →0 k =0L(2.1)LПримем без доказательства утверждение о том, что пределинтегральной суммы (2.1) существует, если функция f(x,y) непрерывна налинии, а сама линия является гладкой.Приведем основные свойства криволинейного интеграла I рода:121.
Значение криволинейного интеграла не зависит от направления, вкотором проходится кривая АВ, т.е.:∫ f ( M )dl = ∫ f ( M )dl∪ АВ∪ ВАДействительно, длина участка не изменится, если поменять местами начало иконец этого участка. Таким образом,n−1n −1∫ f ( M )dl = lim ∑ f ( M k )Δl k и ∫ f ( M )dl = lim ∑ f ( M k )Δl kλ →0 k =0∪ АВλ →0 k =0∪ ВАПравые части равенства равны, следовательно, равны и левые.2. Аддитивность по подынтегральной функции − криволинейный интегралот суммы (разности) нескольких функций равен сумме (разности)криволинейных интегралов от слагаемых:∫ [ f1 ( x, y ) + f 2 ( x, y ) − f 3 ( x, y )]dl = ∫ f1 ( x, y )dl + ∫ f 2 ( x, y )dl − ∫ f 3 ( x, y )dlLLLLДоказательство основано на определении криволинейного интеграла I-го рода(см.(2.1)) и на том, что предел от суммы (разности) функций равен сумме(разности) пределов этих функций.3.
Постоянный множитель C можно выносить за знак криволинейногоинтеграла:∫ C ⋅ f ( x, y )dl = C ⋅ ∫ f ( x, y )dlLLДоказательство основано на (2.1) и на том, что постоянный множитель можновыносить как за знак суммы, так и за знак предела.4. Аддитивность по длине интегрирования: если длина L= L1∪ L2∪…∪ Lkдуги L является объединением k длин кривых, имеющих только общиеточки, то:∫ f ( x, y )dl = ∫ f ( x, y )dl + ∫ f ( x, y )dl + ... + ∫ f ( x, y )dlLL1L2LkДоказательство основано на (2.1) и на том, что суммирование от 0 до n-1 в(2.1) можно разбить на части от 0 до m1 для L1, от m1 до m2 для L2 и т.д.
от mk доn-1 для Lk.5. Если в любой точке Рi∈L выполняется неравенство f(Pi)≤g(Pi) и функцииf(Pi) и g(Pi) интегрируемы линии L, то∫ f ( x, y )dl ≤ ∫ g ( x, y )dlLLДоказательство. Т.к. по условию свойства: ∀Pi∈L выполняется неравенствоf(Pi)≤g(Pi), то умножение этих функций на одно и тоже положительное число иn −1n −1i =0i =0их сложение не изменит неравенства, следовательно, ∑ f ( Pi )Δli ≤ ∑ g ( Pi )Δli .Тогда согласно теореме о переходе к пределу в неравенствах получаем:n −1n−1λ →0 i =0λ →0 i =0lim ∑ f ( Pi )Δli ≤ lim ∑ g ( Pi )Δli и из (2.1) следует:∫ f ( x, y )dl ≤ ∫ g ( x, y )dl .LLЧ.т.д.6.
∫ dl = ∪ АВ = l , где l – длина дуги АВ.∪ AB13n −1Т.к. f (х,у)=1, то согласно (2.1) имеем: ∫ 1 ⋅ dl = lim ∑1 ⋅ Δl k = l . Ч.т.д.λ →0 k =0∪ ABТеорема 2.1 (теорема о среднем). Если функция f(P)=f(x,y) непрерывна накривой АВ, то на этой кривой найдется точка P0(x0,y0) такая, что∫ f ( Р)dl = f ( Р0 ) ⋅ l .∪ АВДоказательство этой теоремы основано на свойствах функций непрерывныхв замкнутой, ограниченной области.
Непрерывные функции в этой областидостигают своего наибольшего и наименьшего значения (m≤f(x,y)≤M) ипринимают хотя бы в одной точке области любое численное значение междуm и М. Тогда согласно свойству 5 получаем:свойства№ 3, № 6∫ mdl ≤ ∫ f ( x, y )dl ≤ ∫ Mdl ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ ml ≤ ∫ f ( x, y )dl ≤ Ml∪ АВ∪ АВ∪ АВ∪ АВ1∫ f ( x, y )dl ≤ M , а тогда согласно тому, что непрерывная функцияl ∪ АВf(x,y) принимает любое значение между m и М и, следовательно, в частности,11значение∫ f ( x, y )dl , тогда ∃Р0 ∈ АВ , такая что f ( P0 ) = ∫ f ( x, y )dl ⇒l ∪АВl ∪ АВ∫ f ( Р)dl = f ( Р0 ) ⋅ l .
Ч.т.д.или: m ≤∪ АВТеперь рассмотрим пространственный случай задания дуги. Пусть впространстве Охуz задана непрерывная кривая L = ∪ AB , а на ней задананепрерывная функция f(M), где M(x,y,z) – точка на кривой. Зададимразбиение T кривой L на участки Δlk . На каждой из дуг ∪ N k −1 N k =Δlk выберем по произвольной точке Мk c координатами (ξk, ηk, ζk) и составиминтегральную сумму:nnk =1k =1∑ f ( M k )Δlk = ∑ f (ξ k ,η k , ζ k )Δlk(2.2 а)Криволинейным интегралом I-го рода от функции f(x,y,z) попространственной кривой L называется предел интегральной суммы (2.2а)при бесконечном увеличении числа n и, следовательно, при λ→0, если этотпредел существует и не зависит ни от способа разбиения T на участки, ни отвыбора точек Mk на этих участках:n −1n −1λ →0 k = 0λ →0 k = 0lim ∑ f ( M k )Δl k = lim ∑ f (ξ k , η k , ζ k )Δl k = ∫ f ( M )dl = ∫ f ( x, y, z )dl (2.2 б)LLВычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислениюопределенного интеграла.
Способы этого сведения зависят от способазадания кривой, по которой идет интегрирование.Рассмотрим сначала плоский случай (линия L задана в плоскости Оху).A. Кривая интегрирования задана явноПостановка задачи14Пусть линия L с начальной точкой А(a,y1) и конечной точкой В(b,y2) задана вявном виде: у=ϕ(х), х∈[a,b]. Надо вычислить ∫ f ( х, у )dl .LПлан решенияСогласно (1.9 а) дифференциал длины дуги на плоскости равенdl = dx 2 + dy 2 . Так как по условию кривая задана явно, то заменяемдифференциал функции dy на dy = ϕ ′( x)dx . Тогда dl = 1 + (ϕ ′( x)) 2 dx .Следовательно, выражение f ( x, y )dl равно f ( x,ϕ ( x)) 1 + (ϕ ′( x)) 2 dx изависит только от одной переменной х, которая изменяется по длине линииу=ϕ(х), х∈[a,b]. В результате имеет место равенство:b2∫ f ( x, y )dl = ∫ f ( x,ϕ ( x)) 1 + (ϕ ′( x)) dxL(2.3)aФормула (2.3) дает правило сведения криволинейного интеграла по длинедуги, которая задана явно, к определенному интегралу.B.
Кривая интегрирования задана в параметрическом видеПостановка задачиПусть линия L задана в параметрическом виде: x=ϕ(t), y=ψ(t), t∈[α,β]. Надовычислить ∫ f ( х, у )dl .LПлан решенияТ.к. dx = ϕ ′(t )dt , dy = ψ ′(t )dt , тогда элемент длины: dl = (ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2 dt .Следовательно, выражение f ( x, y )dl равно f (ϕ (t ),ψ (t )) (ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2 dtи зависит только от одной переменной t. Тогда имеет место равенство:β22∫ f ( x, y )dl = ∫ f (ϕ (t ),ψ (t )) (ϕ ′(t )) + (ψ ′(t )) dtL(2.4)αФормула (2.4) дает правило сведения криволинейного интеграла по длинедуги, которая задана параметрически, к определенному интегралу.C. Кривая интегрирования задана в полярных координатахПостановка задачиПусть линия L задана в полярных координатах: r=r(ϕ) ϕ∈[α,β].
Надовычислить ∫ f ( х, у )dl .LПлан решенияПерейдем от декартовых к полярным координатам:x(ϕ ) = r (ϕ ) ⋅ cos ϕdx = x′dϕ = [r ′(ϕ ) ⋅ cosϕ − r (ϕ ) ⋅ sin ϕ ]dϕ⇒y (ϕ ) = r (ϕ ) ⋅ sin ϕdy = y ′dϕ = [r ′(ϕ ) ⋅ sin ϕ + r (ϕ ) cosϕ ]dϕТ.е. получаем параметрическое задание линии L от параметра ϕ, подобноерассмотренному случаю выше. Следовательно, дифференциал дуги равен:dl = dx 2 + dy 2 = r 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ )) 2 dϕ15Следовательно, выражение f ( x, y )dl равно f ( x(ϕ ), y (ϕ )) r 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ )) 2 dϕи зависит только от одной переменной ϕ.
Тогда имеет место равенство:β22∫ f ( x, y )dl = ∫ f (r (ϕ ) ⋅ cosϕ , r (ϕ ) ⋅ sin ϕ ) r (ϕ ) + (r ′(ϕ )) dϕ(2.5)αLФормула (2.5) дает правило сведения криволинейного интеграла по длинедуги, которая задана в полярных координатах, к определенному интегралу.Рассмотрим теперь пространственный случай (кривая L задана втрехмерном пространстве).Постановка задачи⎧ x = x(t )⎪Пусть линия L задана в параметрическом виде: ⎨ y = y (t ) t∈[t1,t2]. Надо⎪⎩ z = z (t )вычислить ∫ f ( х, у, z )dl .LПлан решенияВ пространственном случае дифференциал дуги равен: dl = dx 2 + dy 2 + dz 2Так какdx = x′(t )dt ,dy = y ′(t )dt ,dl = ( x′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 + ( z ′(t )) 2 dt .dz = z ′(t )dtСледовательно,равно f ( x(t ), y (t ), z (t)) ( x′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 + ( z ′(t )) 2 dtодной переменной t.
Тогда имеет место равенство:тогда элемент длины:выражениеf ( x , y ) dlи зависит только отt2222∫ f ( x, y, z )dl = ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t )) ( x′(t )) + ( y ′(t )) + ( z ′(t )) dtL(2.6)t1Формула (2.6) дает правило сведения криволинейного интеграла по длинепространственной дуги, заданной параметрически, к определенномуинтегралу.2.2.
Криволинейный интеграл по координатам и его вычислениеКривую L, определяемую уравнением:r = x(t )i + y (t ) j + z (t )k a ≤ t ≤ b ,будем называть ориентированнойкривой, если на ней задан порядокследования точек, а именно, точкаМ2 следует за точкой М1, еслирадиус-вектор OM 2 = r (t 2 ) точки М2отвечает значению параметра t=t2большему, чем значение параметраt=t1 радиус-вектора OM 1 = r (t1 )точки М1, т.е.
t2>t1.16Точка А с радиус-вектором OA = r (a ) называется началом кривой, а точкаВ с радиус-вектором OB = r (b) – концом кривой (см.рис. 2.2).Пусть в пространстве OXYZ задана непрерывная линия с начальнойточкой А и конечной точкой В. Пусть на этой линии определены тринепрерывные функции: P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
