Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тогда можно считать, чтона кривой L задана вектор-функция:F ( x, y, z ) = {P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )} .При построении разбиения Т в этом параграфе будем предполагать, чтокривая является ориентированной. Обозначим через (Δxi, Δyi, Δzi) координатывектора N i N i +1 . На каждой из дуг ∪NiNi+1 выберем точку Mi(xi,yi,zi), в которойфункция принимает значение P(Mi)=P(xi,yi,zi). Найдем проекцию Δxi дуги∪NiNi+1 на ось Ох и составим интегральную сумму:n −1∑ P( xi , yi )Δxii =0Затем перейдем к пределу при n→∞, т.е. λ→0.Если такой предел существует и не зависит ни от способа разбиениялинии на отрезки и ни от выбора на этих отрезках точек Mi(xi,yi,zi), то онназывается криволинейным интегралом по координате х от функцииP(x,y,z) по линии L и обозначается:n −1lim ∑ P( xi , yi zi )Δxi = ∫ P( x, y, z )dxλ →0 i =0(2.7 а)LАналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x,y,z) покоординате у и от функции R(x,y,z) по координате z вдоль линии L:n −1lim ∑ Q ( xi , yi , zi )Δyi = ∫ Q( x, y, z )dyλ →0 i =0n −1lim ∑ R ( xi , yi , zi )Δzi = ∫ R ( x, y, z )d zλ →0 i =0(2.7 б)L(2.7 в)Lгде Δyi - проекция дуги ∪NiNi+1 на ось Оу, Δzi - проекция дуги ∪NiNi+1 на осьOz.Теперь можно дать определение криволинейного интеграла покоординатам общего вида.
Пусть существуют пределы интегральных сумм(2.7 а-в) при λ→0, причем эти пределы не зависят ни от способа разбиениякривой L, ни от выбора точек на дугах. Тогда криволинейным интеграломпо координатам(или криволинейным интегралом II рода) вдольориентированной пространственной кривой L, называется сумма интеграловопределенных формулами (2.7 а), (2.7 б), (2.7 в):n −1n −1⎛ n −1⎞lim ⎜ ∑ P( xi , yi zi )Δxi + ∑ Q( xi , yi , zi )Δyi + ∑ R( xi , yi , zi )Δzi ⎟ =λ →0 ⎝ i =0i =0i =0⎠= ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R ( x, y, z )dz(2.8 а)L17Если непрерывная кривая L задана на плоскости Оху и на этой линииопределены две непрерывные функции: P(x,y), Q(x,y), следовательно, можносчитать, что на кривой L задана вектор-функция:F ( x, y ) = {P ( x, y ), Q( x, y )}.Тогда можно аналогично определить криволинейный интеграл покоординатам на плоскости:n −1⎛ n −1⎞Δ+P(x,y)x(2.8 б)∑ Q( xi , yi )Δyi ⎟ = ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dylim ⎜ ∑i iiλ →0 ⎝ i =0i =0⎠ LВычисление криволинейного интеграла II-го рода также как и I-города сводится к вычислению определенного интеграла.
Способы этогосведения также зависят от способа задания кривой.Рассмотрим сначала плоский случай.Постановка задачиПусть линия L с начальной точкой А(a,y1) и конечной точкой В(b,y2) задана вявном виде: y=y(x), x∈[a,b]. Надо вычислить интеграл ∫ P( х, у )dx + Q( x, y )dy .LПлан решенияМеняем в интеграле ∫ P( х, у )dx + Q( x, y )dy у на у(х) и dy на y ′( x)dx . Тогда:Lb∫ P( х, у )dx + Q( x, y )dy = ∫ (P( x, y ( x)) + Q( x, y ( x)) ⋅ y ′( x) )dxL(2.9 а)aПостановка задачиПусть линия L задана в параметрическом виде: x=ϕ(t), y=ψ(t), t∈[α,β]. Надовычислить ∫ P( х, у )dx + Q( x, y )dy .LПлан решенияДелаем замену в интеграле х на x=ϕ(t), у на y=ψ(t), dx на ϕ ′(t)dt dy наψ ′(t)dt . Тогда:β∫ P( х, у )dx + Q( x, y )dy = ∫ (P(ϕ (t ),ψ (t )) ⋅ ϕ ′(t ) + Q(ϕ (t ),ψ (t )) ⋅ψ ′(t ) )dt (2.9 б)αLПостановка задачиПусть линия L задана в полярных координатах: r=r(ϕ) ϕ∈[α,β].
Надовычислить ∫ P( х, у )dx + Q( x, y )dy .LПлан решенияПерейдем от декартовых координат к полярным координатам в интеграле.⎧ x = r (ϕ ) cos ϕ ⎧dx = (r ′(ϕ ) cos ϕ − r (ϕ ) sin ϕ )dϕ⇒⎨⇒⎨⎩ y = r (ϕ ) sin ϕ⎩dy = (r ′(ϕ ) sin ϕ + r (ϕ ) cosϕ )dϕβ∫ P( х, у )dx + Q( x, y )dy = ∫ [ P(r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ ) sin ϕ ) ⋅ (r ′(ϕ ) cosϕ − r (ϕ ) sin ϕ )dϕ +Lα18β+ ∫ Q(r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ ) sinϕ ) ⋅ (r ′(ϕ ) sin ϕ + r (ϕ ) cos ϕ )dϕ(2.9 в)αТ.о., формулы (2.9 а-в) дают правила сведения криволинейного интегралапо координатам плоской дуги к определенному интегралу.⎧ x = x(t )⎪В случае кривой L, заданной в пространстве параметрически: ⎨ y = y (t )⎪ z = z (t )⎩t∈[t1,t2], поступаем по аналогии с плоской кривой и, ⇒, имеем:t2∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz = ∫ P( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ x′(t )dt +Lt1(2.9 г)t2+ ∫ [Q( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ y ′(t ) + R( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ z ′(t )]dtt12.3.
Векторная форма записи и свойства к.и. II родаРассмотрим криволинейный интеграл второго рода по пространственнойкривой L:∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dzLПодынтегральное выражение этого интеграла представляет собой скалярноепроизведение двух векторов:P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz = ( F , dr )гдеF = i ⋅ P + j ⋅Q + k ⋅ R–вектор-функция,dr = i ⋅ dx + j ⋅ dy + k ⋅ dz касательный вектор линии L (см.(1.8а)). Следовательно:(2.91 а)∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz = ∫ ( F , dr )LLВ случае если вектор-функция F ( x, y ) = i ⋅ P( x, y ) + j ⋅ Q( x, y ) задана наплоскости, то: ∫ P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ ( F , dr )L(2.91 б),Lгде dr = i ⋅ dx + j ⋅ dy .
Пусть на плоскойкривой Г даны две произвольные точки М1 иМ2 (рис.2.3). Обозначим через Δl длинукривой между точками М1 и М2, через Δх –абсциссу вектора М 1М 2 , через Δу – егоординату.Из прямоугольного треугольника M1M2DпотеоремеПифагораполучаем:M 1M 2 = Δx 2 + Δy 2 .limΔl → 0M 1M 2Δl= 1,т.е.бесконечномалыехордаИзвестно,идугачтоявляются19эквивалентными Δl ≈ M 1M 2 . Пусть ϕ - угол между вектором М 1М 2 и осьюабсцисс, а α - угол между касательной к кривой Г в точке М1 (предельноенаправление вектора М 1М 2 при Δl→0) и положительным направлением осиОх.
Тогда при Δl→0 имеем ϕ→α. Кроме того, при малом значении Δl можносчитать, что Δl≈dl, Δx≈dx, Δy≈dy.Поскольку при Δl→0 Δx=Δl⋅cosϕ,Δy=Δl⋅sinϕ, то получаем:±dx=dl⋅cosα, ±dy=dl⋅sinαЗнак перед дифференциалами координат зависит от угла α (острый илитупой), который касательный вектор образует с осью Ох в точке М1. Теперьможем записать (2.91 б) в виде:(2.92 а)∫ ± P( x, y )dx ± Q( x, y )dy = ∫ ( P( x, y ) ⋅ cos α + Q( x, y ) ⋅ sin α )dlΓΓВ случае пространственной кривой касательный вектор dr к линии Г вточке М1 образует с координатными осями Ox, Oy, Oz углы α, β и γ,соответственно, а вектор М 1М 2 образует с теми же осями углы ϕ, ψ и θ. Приэтом Δx= М 1М 2 ⋅cosϕ, Δy= М 1М 2 ⋅cosψ, Δz= М 1М 2 ⋅cosθ, аМ 1М 2 ≈Δl.Напомним, что длина вектора dr есть не что иное, как дифференциал дугикривой (cм.(1.9 б)).
Поэтому в пределе при Δl→0 получаем:± dx = dl ⋅ cos α , ± dy = dl ⋅ cos β , ± dz = dl ⋅ cos γЗнак перед дифференциалами координатвектора dr выбирается взависимости от того, какой угол образует этот вектор с соответствующимкоординатным ортом. Теперь мы можем записать (2.91 а) в виде:∫ ± P( x, y, z )dx ± Q( x, y, z )dy ± R( x, y, z )dz =Γ= ∫ ( P( x, y, z ) ⋅ cosα + Q( x, y, z ) ⋅ cos β + R( x, y, z ) ⋅ cos γ )dl(2.92 б)ΓЗаметим, что в (2.92 а-б) слева стоит криволинейный интеграл второго рода,а справа – криволинейный интеграл первого рода.
Формулы (2.9 а-б) даютсвязь между криволинейными интегралами I-го и II-го рода дляпространственного случая и плоского.Из формул (2.9 а-б) следует, что почти все свойства интегралов подлине дуги верны также и для интегралов по координатам, кроме первогосвойства.В силу того, что произведения dl⋅cosα, dl⋅cosβ, dl⋅cosγ - это проекциикасательного вектора dr на координатные оси, которые могут бытьположительными, если этот вектор образует с осями координат острые углыпри заданном направлении обхода линии (от точки А к точке В), иотрицательные в противном случае.
Поэтому имеет место свойствокриволинейного интеграла по координатам, отличное от свойств интегралапо длине линии (свойство 1): значение криволинейного интеграла зависит отнаправления, в котором проходится кривая АВ. Если кривую АВ проходить20не от точки А к точке В, а в обратном направлении от В к А, то значениеинтеграла изменит знак на противоположный, т.е.(2.92 в)∫ Pdx + Qdy + Rdz = − ∫ Pdx + Qdy + Rdz∪ AB∪ BAЕсли кривая L – замкнута, то криволинейный интеграл вдоль Lобозначается:(2.92 г)∫ ( F , dr ) = ± ∫ Pdx + Qdy + RdzLLи называется циркуляцией вектора F ( x, y, z ) по контуру L.
Знак перединтегралом зависит от направления обхода кривой. Подробнее это будетрассмотрено в разделе 2.4.2.4. Формула ГринаФормула Грина устанавливает связь между двойным интегралом поплоской области и криволинейным интегралом по границе Г этой области.Изобразим на плоскости две декартовы системы координат (рис.2.4).Принципиальноеразличиеэтих систем состоит в том, чтопутемперемещениявплоскости,невозможнодобиться совмещения системкоординат а) и b), так чтобысовпалиположительныенаправления осей. Системукоордината)называютправой, а систему координатb) – левой.Рассмотрим некоторую область на плоскости с заданной системойкоординат. Для системы координат а) на рис.2.4положительнымнаправлением обхода границы области будем считать направление, придвижении по которому область остается слева и ориентация плоскостиназывается правой.
Для системы координат b) при положительномнаправлении обхода границы область должна оставаться справа иориентация плоскости называется левой. (На рис.2.4 изображеныположительные направления обхода границ указанных областей).Отрицательным направлением обхода границы области считаетсяпротивоположное направление.При правой ориентации плоскости обход против часовой стрелки позамкнутому контуру L дает положительный знак перед интегралом (2.92 г)для циркуляции вектора F ( x, y, z ) по контуру L.
Обход же по часовой стрелкедает отрицательный знак перед интегралом (2.92 г).При левой ориентации плоскости обход по часовой стрелки позамкнутому контуру L дает положительный знак перед интегралом (2.92 г).Область считается ориентированной положительно (и обозначается D+),если на ее границе задано положительное направление обхода, и21ориентированной отрицательно (обозначается D−), если на ее границе заданоотрицательное направление обхода.Теорема 2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
