Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 19
Текст из файла (страница 19)
теорему 4.3). Следовательно, орт нормали кповерхности σ:grad ( z − x 2 − y 2 )− 2 xi − 2 yj + kn=±=±grad ( z − x 2 − y 2 )4x2 + 4 y 2 + 1По условию задачи берется внешняя нормаль, а она образует тупой угол γ с осью Оz,поэтому перед дробью следует взять знак минус. Таким образом,2 xi + 2 yj − k1⇒ cos γ = −<0n=22224x + 4 y + 14x + 4 y + 198dxdy= 4 x 2 + 4 y 2 + 1 ⋅ dxdycos γи тогда согласно (3.4 г): dσ =( )2 y3 − zНаходим скалярное произведение: F , n =4x2 + 4 y 2 + 1Искомый поток в силу формулы (5.5 а) равен:(( )Π = ∫∫ F , n dσ = ∫∫ 2 y 3 − zσ(Dxy))2z=x + y22π⎧ x = r cosϕ ⎫dxdy = ∫∫ 2 y 3 − y 2 − x 2 dxdy = ⎨⎬=Dxy⎩ y = r sin ϕ ⎭(2())= ∫∫ 2r sin ϕ − r rdrdϕ = ∫ dϕ ∫ 2r 4 sin 3 ϕ − r 3 dr = −2π332Dxy00где Dxy - круг с центром в начале координат и радиусом R= 2 .Ответ: П = −2πПример 6.
Найти дивергенцию поля: F = i x( y 2 − x 2 ) − j y ( z 2 + x 2 ) + k z ( x 2 + y 2 ) вточке М(1,2,3).Решение. По формуле (5.7) находим дивергенцию векторного поля F :∂∂∂divF =x( y 2 − z 2 ) −y( z 2 + x 2 ) +z( x 2 + y 2 ) ⇒∂x∂y∂z()()()⇒ divF = y 2 − z 2 − z 2 − x 2 + x 2 + y 2 = 2 y 2 − 2 z 2 .Подставляя в полученное выражение координаты точки М, получим:divF ( M ) = 2 ⋅ 2 2 − 2 ⋅ 32 = −10Так как дивергенция векторного поля F в точке М меньше нуля, следовательно, в этойточке находится сток.Ответ: divF ( M ) = −10⎧x 2 + y 2 = 1Пример 7.
Найти поток вектора F через замкнутую поверхность σ: ⎨⎩ z = 0, z = 1(нормаль внешняя), F = 3x 2 i − 2 x 2 yj + (1 − 2 x)k .Решение: Так как поверхность замкнутая, то воспользуемся формулой ОстроградскогоГаусса (5.91):Π = ∫∫ ( F ⋅ n 0 )dσ = ∫∫∫ divFdV = ∫∫∫ divFdxdydzσVVСледовательно, надо найти дивергенцию векторного поля F . Используя (5.7) найдем ее:∂Fy ∂Fz∂FdivF = x ++= 6x − 2x2∂x∂y∂zΠ = ∫∫∫ 6 x − 2 x 2 dxdydz = сделаем переход к цилиндрической системе координатV()⎧ x = r cosϕ ⎫ 2π 112π1⎪⎪222⎨ y = r sin ϕ ⎬ = ∫ dϕ ∫ r 6r cosϕ − 2r cos ϕ dr ∫ dz = 6 ∫ cos ϕdϕ ∫ r dr −0000⎪z = z⎪ 0⎩⎭()992π r 3 1 ⎛sin 2ϕ ⎞ 2π r 4 1ππ− ∫ (1 + cos 2ϕ )dϕ1∫ r dr = 6 sin ϕ=0− =−− ⎜ϕ +⎟0 3 0 ⎝2 ⎠0 4 02200πОтвет: Π = − .2Пример 8.
Найти циркуляцию векторного поля F = 2 zi − xj + yk вдоль контура Г:⎧ x = 2 cos t , y = 2 sin t(в направлении, соответствующем возрастанию параметра t) .⎨z1=⎩Решение. Используя (5.92 в) и учитывая, что по условию задачи обход контура Гпроисходит в положительном направление, получаем:⎧dx = −2 sin t , dz = 0⎫Ц = + ∫ Fx dx + Fy dy + Fz dz = ∫ 2 xdx − xdy + ydz = ⎨⎬=dy2costdt=ΓΓ⎩⎭2π2π2π= ∫ − 4 sin t − 4 cos 2 t dt = ∫ (− 4 sin t − 2 − 2 cos 2t )dt = (4 cos t − 2t − sin 2t ) =0o0= −4πОтвет: Ц= − 4π2π1(3)ПРИЛОЖЕНИЕ. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ1. Векторная алгебраДекартов прямоугольный векторный базис в пространстве – система трех единичныхвзаимно-перпендикулярных векторов i , j , kВектор в декартовой системе координатНаименованиеОбозначение, формулаВектор аa = a x i + a y j + a z k =(ax, ay, az){}Вектор АВAB = ( x B − x A , y B − y A , z B − z A ) , где A(xA,yA,zA) –начало, B(xB,yB,zB) – конец вектораНорма (длина) вектора аa = a x2 + a 2y + a z2Направляющие косинусывектора аayaxa, cos β =, cos γ = z , где α, β и γ aaaуглы, образуемые вектором с осями координатa + b = (a x + bx , a y + b y , a z + bz )Сложение двух векторовcosα =ka = (ka x , ka y , ka z )Умножение вектора на число kСкалярное произведениевекторовПроекция вектора а наненулевой вектор b( a , b ) = a x bx + a y b y + a z b zПрb a =(a , b )b=a x b x + a y b y + a z bzbx2 + b y2 + bz2100Косинус угла между векторамиcos ϕ =Векторное произведениевекторовa x bx + a y b y + a z bza x2 + a 2y + a z2 bx2 + b y2 + bz2jkia × b = axaya z = (a y b z − a z b y )i +bxbybz+ (a z bx − a x bz ) j + (a x b y − a y bx )kСмешанное произведение трехвекторов(a × b , c ) =(a, b ) = (b , a )axayazbxcxbycybzcz(a × b , c ) = (a, b × c )a × b × c = b ( a, c ) − c ( a, b )a × b = −b × aФормула «бац минус цаб»Некоторые критерии ( a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 )Коллинеарности (параллельности)ортогональностикомпланарностиa = λb ; или a × b = 0(a, b ) = 0(a × b , c ) = 02.
Векторный анализОсновные характеристики полейВид поляСкалярное полеU=U(x,y,z)Характеристики:Поверхность (линия) уровня:U(x,y,z)=const; U(x,y)=constПроизводная по направлению:∂U ∂U∂U∂U=cos α +cos β +cos γ∂l∂x∂y∂zгде α, β и γ – углы, образуемые даннымнаправлением с осями координатГрадиент поля:∂U∂U∂UgradU = ∇U =i +j+k∂y∂x∂zВекторное полеF = F {P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )} == Pi + Qj + RkХарактеристикиdx dy dz==P Q RПоток:П = ∫∫ F , dσ = ∫∫ F , n dσ =σ() ( )σ= ± ∫∫ Pdydz ± ∫∫ Qdxdz ± ∫∫ RdxdyD yzDxzDxyДивергенция:∂P ∂Q ∂RdivF =++∂x ∂y ∂zЦиркуляция:101∫ (F , dr ) = ∫ Pdx + Qdy + RdzΓΓРотор:i∂rotF = ∇ × F =∂xPj∂∂yQk∂ ⎛ ∂R ∂Q ⎞⎟i +=⎜−∂z ⎜⎝ ∂y ∂z ⎟⎠R⎛ ∂Q ∂P ⎞⎛ ∂P ∂R ⎞⎟⎟k+⎜−−⎟ j + ⎜⎜∂∂xy⎝ ∂z ∂x ⎠⎝⎠Основные соотношения в скалярных и векторных поляхНаименованиеФормула0Формула Гаусса-Остроградского∫∫ ( F ⋅ n )ds = ∫∫∫ divFdVSФормула СтоксаV∫ (F , dr ) = ∫∫ (rotF ,ds) = ∫∫ (rotF , n )dsLСоленоидальное полеСоленоидальность поля ротораПотенциальное полеSrotF = 0 ;SdivF = 0divrotF = 0F = gradU ; ∫ F , dr = 0()LПотенциал поляU ( x, y , z ) =M ( x, y ,z )∫(F , dr ) + CM 0 ( x0 , y0 , z0 )Гармоническое поле FследствиеdivF = 0; rotF = 0divgradU = 0Векторные дифференциальные операторыОператор Гамильтона («набла»)∂∂∂∇= i +j+ k∂x∂y∂zОператор Лапласа («дельта»)∂2∂2∂2Δ = ∇2 = 2 + 2 + 2∂x∂y∂zДифференциальные операции102gradU = ∇U(divF = ∇, F)rotF = ∇ × FdivgradU = (∇, ∇ )U = ∇ 2U = ΔUrotgradU = ∇ × ∇U = 0()divrotF = ∇, ∇ × F = 0ЛИТЕРАТУРА1.
Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления.М.: «Высшая школа». 1966. 252 с.2. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. М.: «Наука».1978. 160 с.3. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальныефункции. Преобразования Лапласа. М.: «Наука». 1980. 335 с.4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.:«ФИЗМАТЛИТ». 2005. т.3. 728 с.5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.
«Техникотеоретической литературы». 1956. 436 с.6. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. М.: ФИЗМАТГИЗ. 1962. 132 с.ОГЛАВЛЕНИЕВВЕДЕНИЕГлава 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕКТОРЫ1.1. Вектор-функция одного скалярного аргумента1.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции скалярного аргумента1.3. Дифференциал и интеграл от векторной функции скалярного аргументаГлава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ2.1. Криволинейный интеграл по длине дуги и его вычисление2.2. Криволинейный интеграл координатам и его вычисление2.3. Векторная форма записи и свойства к.и.
II рода2.4. Формула Грина2.5. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от путиинтегрирования2.6. Решение типовых примеровГлава 3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ3.1. Понятие поверхности3.2. Векторный элемент площади поверхности3.3. Поверхностный интеграл I-го рода и его свойства3.4.
Поверхностный интеграл II-го рода и его связь с п.и. I-го рода3.5. Решение типовых примеровГлава 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ4.1. Понятие поля4.2. Геометрия скалярного поля4.3. Предел и непрерывность скалярной функции от векторного аргумента4.4. Производная по направлению4.5.
Градиент скалярного поля и его свойства4.6. Направляющие косинусы нормали к поверхности4.7. Решение типовых примеров33610121216192124273232343639424545464848505657103Глава 5. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ5.1. Векторные линии и векторные трубки5.2. Поток векторного поля5.2.1. Задача о потоке жидкости5.2.2. Поток векторного поля5.3. Дивергенция (расходимость) векторного поля5.4. Теорема Гаусса-Остроградского и ее векторная запись5.5.
Линейный интеграл. Его физический смысл. Циркуляция векторного поля5.6. Ротор (вихрь) векторного поля5.7. Формула Стокса и ее векторная запись5.8. Специальные поля5.8.1. Потенциальное поле5.8.2. Соленоидальное поле5.8.3. Гармоническое поле5.9. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка5.10. Решение типовых примеровПРИЛОЖЕНИЕ. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛЛИТЕРАТУРАОГЛАВЛЕНИЕ62626666686974767882858587909195100102103104.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
