Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Они так называются, потому чтосводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций.Нетрудно убедиться, что таких операций может быть только пять:() ()(())()922. (∇, ∇U )3. ∇ × (∇U )4. ∇, ∇ × F5. ∇ × ∇ × F6. ∇ ∇, FПравила работы с «набла»:((( )))n1. Если ∇ стоит перед линейной комбинацией ∑ α i pi , где αi – постоянные, pi –i =1функции точки (скалярные или векторные), то:nn∇⎛⎜ ∑ α i pi ⎞⎟ = ∑ α i ∇pi⎠ i =1⎝ i =12. Если ∇ стоит перед произведением функций p и q, то применение ∇ его кпроизведению (pq) подчиняется правилу дифференцирования произведения:∂( pq ) = q ∂p + p ∂q , т.е ∇ применяется поочередно к каждой из этих функций в∂x∂x∂xто время как другая считается постоянной и ей приписывают индекс «с»:∇( pq ) = ∇( pqc ) + ∇( pc q )Затем полученные произведения преобразуют по правилам векторной алгебры, такчтобы за ∇ стоял только множитель без индекса «с».
В полученном результате индекс«с» опускают.Т.е. следует руководствоваться следующими правилами:1.Если оператор ∇ действует на какое-либо произведение, то в первую очередьучитывается его дифференциальный характер, а затем уже векторные свойства;2. Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину,входящую состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом «с» (const),который в окончательном результате может быть снят;3. Все величины, на которые оператор ∇ не воздействует, в окончательномрезультате ставятся впереди «набла», т.е. слева от него.Пример 1. Найти div( fa ) .Решение: div( fa ) = (∇, fa ) = (∇, f c a ) + (∇, fa c ) = f c (∇, a ) + a c ∇f = fdiva + agradfПример 2.
Используя оператор ∇ , доказать следующее равенство, применяемое вприложениях векторного анализа:div a × b = b rot a − a rot bили перепишем равенство в символьном виде, используя оператор «набла»:∇, a × b = b (∇ × a ) − a ∇ × bРешение: ∇, a × b = ∇, a × bc + ∇, ac × b = ∇, a × bc − ∇, b × acВ векторной алгебре доказывается, что смешанное произведение трехвекторов циклически перестановочно, т.е.
с , a × b = с × a , b . Применим этуформулу к правой части последнего равенства, тогда получим:∇, a × bc − ∇, b × ac = (∇ × a )b − ∇ × b a(() (() ())() ((() ())) ()) (())93Учитывая коммутативность скалярного произведения, получаем:∇, a × b = (∇ × a )b − ∇ × b a = b (∇ × a ) − a ∇ × b = b rota − arotbПрименяя символический метод, мы избегаем сложных аналитическихпреобразований и быстро получаем окончательный результат.Теперь рассмотрим каждую из 5 комбинаций дифференциальных операций второгопорядка.1) Взяв дивергенцию вектора градиента, получим:∂ ⎛ ∂U ⎞ ∂ ⎛ ∂U ⎞ ∂ ⎛ ∂U ⎞ ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U(∇, ∇U ) = divgradU = ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ = 2 + 2 + 2∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂x∂y∂zС другой стороны мы можем написать:(∇, ∇U ) = (∇, ∇ )U = ∇ 2U = ΔUибо скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату модуля этоговектора и получаем скалярный оператор ∇ 2 , который носит название оператораЛапласа или лапласиана и обозначается: ∇ 2 = Δ .2) Согласно формуле для ротора:∇ × ∇U = (∇ × ∇ )U = 0ибо векторное произведение двух одинаковых векторов всегда равно нулю.3) Следующая комбинация (она также обсуждена в п.
5.8.2):∇, ∇ × F = F , ∇ × ∇ = 0Здесь применялось правило циклической перестановки для смешанного произведения.4) Двойное применение ротора дает некоторое векторное поле:∇ × ∇ × F = ∇ × ∇ с × F + ∇ × ∇ × Fc ,Для того чтобы вынести ∇ с из «зоны влияния» ∇ применяем формулу «бац минусцаб» (см. приложение «Векторная алгебра»):∇ × ∇ c × F = ∇ c ∇, F − F (∇, ∇ c ) .Теперь расставим в нужном порядке ∇ и вектор F на который он действует и затемможно убрать индекс «с»:∇ c ∇, F − F (∇, ∇ c ) = ∇ c ∇, F − (∇ c , ∇ )F = ∇ ∇, F − (∇, ∇ )FАналогично:∇ × ∇ × Fc = ∇ ∇, Fc − Fc (∇, ∇ ) = Fc (∇, ∇ ) − Fc (∇, ∇ ) = 0Следовательно,∇ × ∇ × F = ∇ ∇, F − (∇, ∇ )F = graddivF − ΔF = rotrotF ,()()(() ((()()))((())))где ΔF = ∇ 2 P ⋅ i + ∇ 2Q ⋅ j + ∇ 2 R ⋅ k .5) В этом случае получается новое векторное поле:∇ ∇, F = graddivF ,которое согласно 4) имеет вид: graddivF = rotrotF + ΔFВ качестве примера применения оператора набла выпишем уравнения Максвелла –уравнения, содержащие законы электромагнетизма.∂D1.
∇ × H =+ J пр∂t()942. ∇ × E = −(())∂B∂t3. ∇, D = ρ4. ∇, B = 0Здесь использованы обозначения: Н - вектор напряженности магнитного поля, Е вектор напряженности электрического поля, D - вектор электрического смещения, B вектор магнитной индукции, J пр - вектор плотности тока проводимости, ρ - объемнаяплотность электрического заряда. Уравнения Максвелла приведены вдифференциальной форме, они описывают соотношения между величинами вокрестности точки в данный момент времени.
Однако, те же уравнения могут бытьвыписаны в интегральной форме. Приводим ниже эти уравнения, в которых нетрудноувидеть основные теоремы векторного анализа – теорему Стокса и теоремуОстроградского.1. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н по замкнутомуконтуру L равна сумме истинного электрического тока и тока смещения,протекающих сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.⎛ ∂D⎞+ J пр ⎟⎟ds∫ H dl = ∫∫ ⎜⎜LS ⎝ ∂t⎠2. Циркуляция вектора напряженности электрического поля Е по замкнутомуконтуру L равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этотконтур с обратным знаком:∂B∫ E dl = − ∫∫ dsLS ∂t3. Поток вектора электрической индукции D через замкнутую поверхность Sравна сумме зарядов в объеме V, ограниченном этой поверхностью:∫∫ D, ds = ∫∫∫ ρdVS()V4.
Поток вектора магнитной индукции B через любую замкнутую поверхностьравна нулю:∫∫ B, ds = 0S()Уравнения Максвелла являются фундаментальными в том смысле, что поканеизвестны более общие законы природы, из которых бы они вытекали.5.10. Решение типовых примеровПример 1. Найти уравнения векторных линий поля:F = x ( y 2 − z 2 )i − y ( z 2 + x 2 ) j + z ( x 2 + y 2 ) kРешение. Так как P(x,y,z)=x(y2 – z2), Q(x,y,z)=-y(z2+x2), R(x,y,z)=-z(x2+y2), то системасогласно (5.1) имеет вид:dxdydz=−=(5.10.1)= dt22222x( y − z )y( z + x ) z ( x + y 2 )95Перейдем к параметрическому представлению системы дифференциальныхуравнений (5.10.1), приравняв равенство к dt и получим:⎧dx⎧ dx= dt−= −dt y 2 − z 2⎪22⎪x⎪ x( y − z )⎪⎪dy⎪ dy22=dt⇒⎨ = −dt z + x⎨−22⎪ y( z + x )⎪y⎪⎪ dzdz22=dt⎪ 2⎪ = dt x + y2⎩z⎩ z( x + y )Сложив последнюю систему уравнений, получим:yzdx dy dz= 0 ⇒ yz = C1 x ,−++= 0 или d lnxxyzгде С1 – произвольная постоянная.Умножим и числитель и знаменатель левой части равенства (5.10.1) на х,средней части – на у и правой части на z.
Используя свойства пропорций,находим:хdxxdx + ydy + zdz=0x2 ( y2 − z2 )Множество первообразных в данном случае имеет вид:x 2 + y 2 + z 2 = C 22где С2 – произвольная постоянная. Т.о., векторные линии данного векторногополя образуют семейство линий:⎧ x 2 + y 2 + z 2 = C 22⎨⎩ yz = C1 x()(())Пример 2. Найти векторные линии поля a = 10 yi − 3 xzk .Решение. Так как P(x,y,z)=10y, Q(x,y,z)=0, R(x,y,z)=-3xz, то система (5.1) имеет вид:dx dydz==10 y 0 − 3 xzВ силу замечания 1 в разделе 5.1 полагаем, что y=C1=const. Подставляя этозначение в систему, для дальнейшего определения векторной линииdxdz=получаем дифференциальное уравнение, в котором считаем10C1 − 3 xzС1≠0.
Это уравнение с разделяющимися переменными ⇒2dzxdxxdxdzx=− ;= −∫ ⇒= − ln z + ln C 2 ;∫10C1z10C120C1zВекторные линии определяются из системы уравнений:z = C2 e−x220C196⎧ y = C1 ≠ 0⎪x2⎨−⎪ z = C e 20C1⎩2Каждая из них является линией пересеченияплоскостиy=C1ицилиндрическойповерхности z = C 2 e−x220 C1.Если же у=0, то a = −3xzk ; дифференциальные уравнения семействаdx dydz==, так чтовекторных линий в плоскости у=0 имеют вид00 − 3xz⎧y = 0векторные линии образуют семейство прямых ⎨⎩ x = C = constПример 3.
Найти векторные линии в векторном поле:a = ( y − z )i + ( z − x ) j + ( x − y ) kdydxdzРешение. Запишем систему (5.1)==. Используя свойстваy−z z−x x− yпропорций, находим:dx + dy + dzd ( x + y + z)dx==⇒y − z ( y − z ) + ( z − x) + ( x − y )0d ( x + y + z ) = 0 ⇒ x + y + z = C1 = constУмножим числитель и знаменатель первой дроби на x, второй – на y, третьей– на z:ydyxdxzdz==x( y − z ) y ( z − x) z ( x − y )Аналогично предыдущему получим:x2 + y2 + z2)d(xdx + ydy + zdzdx2==y − z x( y − z ) + y ( z − x) + z ( x − y )0x2 + y2 + z2d() = 0 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = C 2 = const .2Таким образом, векторные линии определяются из системы алгебраических⎧ x + y + z = C1уравнений ⎨ 2и являются линиями пересечения плоскости22⎩ x + y + z = C2x + y + z = C1 и сферы x 2 + y 2 + z 2 = C 2 .
Это будут окружности.97Пример 4. Найти поток векторного поля: F = ( x − 2 z )i + ( x + 3 y + z ) j + (5 x + y )kчерез верхнюю сторону треугольника АВС с вершинами в точках А(1,0,0), В(0,1,0),С(0,0,1).Решение. Уравнение плоскости, в которой лежит треугольник АВС, имеет видx+y+z=1, откуда z=1−х−у. Треугольник АВС проектируетсявзаимно однозначно на плоскость хОу в область Dxy,которой является треугольник ОАВ. По условию нормаль кплоскости, в которой лежит треугольник АВС, образуетострый угол γ с осью Оz, ⇒, cosγ>0 надо брать знак «+» унаправляющего косинуса с осью Оz единичного вектора:grad ( x + y + z − 1)111n=±i +j+k=grad ( x + y + z − 1)3331(x − 2 z ) +Находим скалярное произведение: F , n =31(x + 3 y + z ) + 1 (5 x + y ) = 7 x + 4 y − z+333dxdy1Так как cos γ =, то согласно (3.4 г): dσ == 3dxdy .
Применяя формулуcos γ3(5.5 а), вычисляем искомый поток:П = ∫∫ F , n ds = ∫∫ (7 x + 4 y − z ) z =1− x − y dxdy = ∫∫ (8 x + 5 y − 1)dxdy =( )( )SS xy11− x00= ∫ dx ∫ (8 x + 5 y − 1)dy =S xy53Ответ. П = 5/3.Пример 5. Найти поток вектора F = y 2 j + zk через часть поверхности σ : z = x 2 + y 2отсеченной плоскостью z=2. Нормаль берется внешняя по отношению к области,ограниченной параболоидом.Решение. Для того чтобы найти поток через поверхность согласноформуле (5.5 а) необходимо найти единичный вектор нормали кповерхности. Вектор градиента направлен по нормали кповерхности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
