Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Количество жидкости П, которое за единицувремени пройдет через S численно равно объему цилиндра с основанием S иобразующей v , обозначим высоту цилиндра за h, тогда получим П=S⋅h.Пусть n - единичный вектор нормали к площадке S, а ϕ угол между n и v .Так как h = v cos ϕ = v n cos ϕ = (v , n ) , то:Π = (v , n ) S(5.4)Теперьрассмотримобщий случай. Пусть впространстве задано векторноеполе (5.4) скоростей жидкостии некоторая поверхность S,ограниченная пространственной кривой L (рис.5.4).Предположим, что в каждойточке Мi этой поверхностиопределен единичный нормальный вектор:ni = {cosα i , cos β i , cos γ i } ,направляющиекосинусыкоторого являются непрерывной функцией координат точек поверхности.Подсчитаем количество жидкости П, протекающей через этуповерхность в единицу времени.
Т.к. в общем случае v меняется от точки кточке, как по величине, так и по направлению и поверхность S не являетсяплоской, то применять формулу (5.4) нельзя. Чтобы вычислить количествожидкости П и в этом общем случае разобьем поверхность S на n малыхчастей ΔS1, ΔS2,…, ΔSn, и в каждой из них выберем произвольным образомточку Mi(xi,yi,zi). Нормальный единичный вектор к поверхности S в точке Miобозначим через ni . Будем считать, что в пределах каждой малой части ΔSiскорость частиц жидкости постоянна и равна ее значению в точке Mi:vi = v x ( xi , yi , zi )i + v y ( xi , yi , zi ) j + v z ( xi , yi , zi )kи что малая поверхность ΔSi – плоская.
При этих предположениях количествожидкости ΔПi, протекающей через поверхность ΔSi, можно приближеннорассчитать по формуле (5.4):ΔΠ i ≈ (vi , ni )ΔS i (i=1,2…,n)Суммируя все такие выражения, найдем, что поток жидкости П черезповерхность S равен:nni =1i =1Π = ∑ ΔΠ i ≈ ∑ (v , ni )ΔS iПереходя к пределу при n → ∞ , т.е при условии, что каждая часть ΔSiстягивается в точку, находим точное значение количества жидкости:67nΠ = lim ∑ (vi , ni )ΔS in→∞ i =1Предел такой интегральной суммы существует и равен интегралу поповерхности S от функции (v , n ) :nΠ = lim ∑ (vi , ni )ΔS i = ∫∫ (v , n )dS = ∫∫ (v , dS )n→∞ i =1SSТаким образом, поток жидкости через поверхность S есть поверхностныйинтеграл от скалярного произведения вектора скорости v частиц жидкости навекторный элемент поверхности dS , или раскрывая скалярное произведение(v , n ) через координаты:Π = ∫∫ (v , n )dS = ∫∫ (v x cos α + v y cos β + v z cos γ )dSSS5.2.2.
Поток векторного поляПо аналогии с потоком текущей жидкости введем понятие потока векторачерез поверхность σ и применим полученные выводы (для потока жидкости)к понятию потока векторного поля. Пусть задано ВП:F ( M ) = F ( x, y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) kВектор F (M ) непрерывен (поле непрерывно)в некоторой области.
Пусть σ – некотораягладкая или кусочно-гладкая поверхность.Здесь поверхность понимается в смыслеопределения, данного в разделе 3.1, т.е.множество точек с заданными в нихединичными нормальными векторами, илидругими словами, двусторонняя поверхность,у которой выбрана определенная сторона(ориентированная поверхность) (см. рис. 5.5).Потоком П векторного поля F (M ) черезориентированную поверхность σ называетсяповерхностный интеграл по координатам отскалярного произведения векторного поля F (M ) на векторный элементповерхности dσ :Π = ∫∫ ( F , n )dσ = ∫∫ ( F , dσ )σ(5.5 а)σСогласно формуле (3.4 б) раздела 3.2 векторный элемент поверхности можетбыть представлен в виде:dσ = ±i dydz ± j dxdz ± k dxdyРаскрывая скалярного произведение векторного поля F (M ) на векторныйэлемент поверхности dσ через координаты, получаем, что поток можновычислить так:68Π = ∫∫ ( F , dσ ) = ± ∫∫ P ( x, y, z )dydz ± ∫∫ Q( x, y, z )dxdz ± ∫∫ R( x, y, z )dxdyσσσ(5.5б)σгде знаки выбираются в зависимости от знаков направляющих косинусовединичного нормального вектора n .
В случае замкнутой поверхности будемпо умолчанию выбирать внешнюю нормаль n , которая направлена вовнеобласти, ограниченной поверхностью σ.Основные свойства потока векторного поля F , как следует из егоопределения, совпадают со свойствами поверхностного интеграла II-го рода:1. Поток меняет знак на обратный с изменением стороны поверхности(т.е. с изменением ориентации нормали n к поверхности σ):Π = ∫∫ ( F , dσ ) = − ∫∫ ( F , dσ )σ+σ−где σ+ - сторона поверхности σ, на которой выбрана нормаль n , а σ − сторона поверхности σ, на которой берется нормаль “− n ” (см. раздел 3.1).2.
Свойство линейности:∫∫ (λF1 + μF2 , dσ ) = λ ∫∫ ( F1 , dσ ) +μ ∫∫ ( F2 , dσ )σσσгде λ и μ - постоянные числа.3. Свойство аддитивности: Если поверхность σ состоит из несколькихгладких частей σ1, σ2,…,σn (σ=σ1∪σ2∪…∪σn), то поток векторногополя F (M ) через σ равен сумме потоков вектора F (M ) черезповерхности σ1, σ2,…,σn:nΠ = ∑ ∫∫ ( F , dσ )k =1σ kСвойство 3 позволяет распространить понятие потока на кусочно-гладкиеповерхности.5.3. Дивергенция (расходимость) векторного поляПоток вектора через замкнутую поверхность приводит к понятиюдивергенции или расходимости векторного поля. Это понятие даетнекоторую количественную характеристику поля в каждой его точке.Сначала дадим общее определение дивергенции векторного поля, а затемрассмотрим гидромеханический смысл дивергенции.Пусть М – некоторая точка поля.
Окружим ее замкнутой поверхностью ΔSпроизвольной формы, например, сферой достаточно малого радиуса.Обозначим за ΔV – область, ограниченную поверхностью ΔS, а также и объемэтой области. Рассмотрим отношение:∫∫ ( F , ds)ΔΠ ΔS=(5.6 а)ΔVΔV69Если отношение (5.6 а) имеет конечный предел, когда область ΔV стягиваетсяв точку М, то этот предел называют дивергенцией векторного поля F(дивергенцией вектора F ) в точке М и обозначают символом div F (M ) :∫∫ ( F , ds)ΔΠΔSdiv F = lim(5.6 б)= limΔVΔV →0 ΔVΔV → 0Формула (5.6 б) дает инвариантное (не зависимое от системы координат)определение дивергенции.
Дивергенция векторного поля есть скалярнаяфункция точек поля, т.е. векторное поле F (М ) порождает скалярное полеdiv F (M ) .Конкретный смысл дивергенции зависит отконкретногохарактеравекторногополя.Ограничимсяпокавыяснениемгидромеханическогосмысладивергенции.Вернемся к п. 5.2.1 и рассмотрим сновастационарное течение жидкости и поле скоростейFего частиц. Пусть поток жидкостипронизываетнекоторуюобластьΔV,ограниченную поверхностью z. Разобьем поверхность z на две части: частьz2 через которую жидкость втекает в область ΔV, и часть z1 через которуюжидкость вытекает из области ΔV. Тогда поток поля скоростей череззамкнутую поверхность z представится как сумма потоков через эти части:( F , n )ds +∫∫ ( F , n )ds =∫∫∫∫ ( F , n )dsz наружная( z1 ) наружнаяВторой частичный поток( z 2 ) наружная∫∫ ( F , n )ds будет заведомо отрицательным в( z 2 ) наружнаясилу отрицательности скалярного произведения ( F , n ) вектора поля на ортнаружной нормали.
По абсолютной величине он будет давать объемноеколичество жидкости, втекающей в единицу времени в область ΔV. Первыйже частичный поток∫∫ ( F , n )ds будет, напротив, положительным и даст( z1 ) наружнаяколичество жидкости, вытекающей в единицу времени из области ΔV. Итак,поток поля скоростей жидкости через замкнутую поверхность z,ограничивающую некоторую область ΔV, равен объемному расходужидкости из области ΔV, т.е. объемному расширению в области ΔV заединицу времени.Представив дивергенцию в виде предела отношения (5.6 б) можемсказать, что дивергенция поля скоростей жидкости есть расход жидкостив данной точке, отнесенный к единице объема.
Иначе можно сказать, чтодивергенция поля скоростей жидкости есть объемное расширение в даннойточке, отнесенное к единице объема. Это определение означает, что70дивергенция поля F в точке М есть объемная плотность потока вектораF в этой точке. Другими словами, физический смысл дивергенции состоитв том, что она равна плотности потока вещества в элементарном объемеΔΠΔV (в точке). Действительно, по теореме о связи функции, ее пределаΔVdiv F (M ) и бесконечно малой α, имеем:ΔΠ= div F + α или ΔΠ = div F ⋅ ΔV + α ⋅ ΔVΔVΔΠОтметим, что поскольку предел div F = limсуществует, тоΔV →0 ΔVэлементарный поток ΔП – величина бесконечно малая того же порядка, что иΔV=ΔxΔyΔz, то есть третьего порядка.
Поэтому величина αΔV – бесконечномалая более высокого порядка, чем третий, может быть отброшена и тогдаΔΠ = div F ⋅ ΔV . Так как ΔП – элементарная масса вещества, то div F (M ) - ничто иное, как плотность потока вещества. При этом, если имеется потоквещества, то имеется и расходимость этого вещества из точки (при ΔV→0).Перенесем гидромеханическую терминологию на случай произвольногополя, и будем говорить, что дивергенция произвольного поля является«расходом поля в данной точке, отнесенным к единице объема».Имея ввиду физическое значение потока вектора, можем сказать, чтоточки М векторного поля F (М ) , в которых div F (M ) >0, представляют собойисточники векторного поля, откуда жидкость вытекает, а точки, в которыхdiv F (M ) <0, представляют собой стоки, поглощающие жидкость.
Иначеговоря, в точках поля с положительной дивергенцией векторные линииначинаются, а в точках поля с отрицательной дивергенцией - кончаются. Изпредыдущих рассуждений также следует, что интенсивность источника(стока) в точке М характеризуется дивергенцией поля в этой точке и можетбыть принята равной дивергенции или ей пропорциональной. Поток жевекторного поля через всю область V характеризует интенсивностьисточников и стоков лишь суммарно, т.е. при П>0 внутри могут быть какисточники, так и стоки.Определение (5.6б) не удобно для практического подсчета величиныдивергенции. Гораздо более удобным для этой цели является выражениедивергенции в координатной форме, к выводу которой мы переходим.71Рассмотрим прямоугольныйпараллелепипед, все триизмерениякоторого–бесконечно малые величиныпервого порядка малости Δx,Δy, Δz. Пусть ΔS поверхностьпараллелепипеда(рис.5.6).По свойству 3 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
