Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Формулируются и доказываются основные теоремы теорииполя – теорема Гаусса-Остроградского и теорема Стокса. Изучаются специальные видыполей: потенциальные, соленоидальные и гармонические. Векторные дифференциальныеоперации записываются с помощью операторов Гамильтона и Лапласа.Говорят, что в области D задано векторное поле a , если каждой точке М∈D поставлен в соответствие некоторый вектор a (M ) . Таким образом,векторное поле есть векторная функция точки, а поскольку точка однозначноопределяется ее радиусом вектором, то справедливо утверждение: векторноеполе есть векторная функция векторного аргумента.Электрический заряд создает вокруг себя электростатическое поле: накаждый электрический заряд, помещенный в некоторой точке поля,действует сила, вполне определенная по величине и направлению (законКулона).В первую очередь следует перенести на векторные поля такие понятия,как "предел", "непрерывность", "производная".Понятие предела переносится без особых изменений и равенство (1.3)преобразуется для векторной функции векторного аргумента к виду:lim a (r ) = a 0 ( а0 - постоянный вектор).
Вследствие появления векторнойr → r0функции и векторного аргумента в определении предела на языке «ε-δ»появляются вместо модулей разности действительных чисел нормы разностивекторов, как для окрестности точки, так и для неравенства:∀ε >0 ∃δ >0 ∀r : r − r0 <δ ⇒ a (r ) − a 0 ) <εНепрерывность определяется равенством:lim a (r ) = a (r0 )r → r0И на языке «ε-δ» это означает:∀ε >0 ∃δ >0 ∀r : r − r0 <δ ⇒ a (r ) − a (r0 ) <εОпределение производной векторного поля, как и для скалярного поля, неудается перенести столь же непосредственно, причем по той же причине: приращение аргумента есть вектор, на него "нельзя делить".
В векторном анализе62вводится два дифференциальных преобразования: дивергенция и ротор, окоторых мы будем говорить ниже.В векторном анализе основой вычислительного аппарата является координатный метод. Поэтому стандартным способом задания векторного поляявляется задание с помощью координат. В отличие от скалярного поля, длявекторного поля не только область определения, но и область значений состоитиз векторов. Поэтому надо говорить а) о координатах исходного вектораxi + yj + zk , т.е.
вектора из области определения векторного поля; б)координатах значения векторного поля, т.е. значенияPi + Qj + Rkфункции a на элементе xi + yj + zk из области значений. КоординатыP,Q,R зависят от значений переменных x,y,z, причем эта зависимостьоднозначная. Таким образом, одним из стандартных способов задания векторного поля является формула видаa ( xi + yj + zk ) = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )kилиa ( r ) = P ( r )i + Q ( r ) j + R ( r ) kПри этом функции P, Q, R называются координатными функциями поля a . ЕслиP=P(x,y), Q=Q(x,y) и R=R(x,y), то полеa = a ( x, y )называетсяплоскопараллельным; если при этом R(x,y)=0, то поле называют плоским; еслиP=P(x), Q=0 и R=0 – одномерным.5.1.
Векторные линии и векторные трубкиГеометрической характеристикой векторного поля служат векторные(силовые) линии. Т.о., понятие векторной линии часто применяется для"визуализации" векторного поля. В этом отношении данное понятие можносчитать "родственным" понятию линии уровня (поверхности уровня), обычноиспользуемого для наглядного представления скалярногополя.Векторной (силовой) линией поля a (рис.
5.1)называетсякриваяr = r (t )направлениекасательного вектораr ′ (производная векторфункции r скалярного аргумента t) в каждой точкекоторой совпадает с направлением заданного в этойточке векторного поля, т.е. r ′ = λa , где λ – числовойкоэффициент пропорциональности.Через каждую точку М векторного поля проходитодна векторная линия, касательная к которой совпадает свектором a в точке М. Итак, векторные линииопределяют в каждой точке направление векторногополя в этой точке.Например, напряженность электростатическогоq 0поля определяется векторомr( r 0 - орт2r63направления вектора, соединяющего заряд с точкой поля, q электрический заряд, r -расстояние от точки поля до заряда), поэтомудля положительного заряда векторными линиями будут лучивыходящие из заряда. Для магнитного поля векторными (силовыми)линиями являются линии, выходящие из северного полюса иоканчивающиеся в южном.Ограничимся рассмотрением лишь стационарных векторных полей, независящих от времени: a = a ( x, y, z ) = a (r ) .
Примерами векторных полеймогут служить: поле сил тяготения в пространстве, окружающемматериальное тело, которое характеризуется в каждой точке векторомнапряженности гравитационного поля F (силой действующей на единичнуюмассу, помещенную в данную точку); электрическое поле системыэлектрических зарядов, характеризующееся в каждой точке векторомнапряженности Е ; магнитное поле, создаваемое электрическим током ихарактеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции В ; полескоростей стационарного потока жидкости, которое мы рассмотримподробнее.Пусть область D заполнена жидкостью, текущей в каждой точке снекоторой скоростью v = v (M ) , не зависящей от времени. Поле v = v (M )называют полем скоростей стационарного потока жидкости.
Тогда векторныелинии – это траектории движения частиц жидкости.Т.о., согласноопределению найти векторную линию поля v = v (M ) , проходящую черезточку М0 – это значит найти вектор функцию r = r (t ) , удовлетворяющуюусловиям: r ′(t ) = λv , r (t 0 ) = r0 , где – t 0 значение параметра t,соответствующего точке М0. В координатной форме решение этоговопроса дано следующей теоремой.Теорема 5.1. (об уравнении векторной линии).Для поля a ( xi + yj + zk ) = P( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )kуравнения⎧ϕ1 ( x, y, z ) = С1векторной линии являются частными интегралами системы⎨ϕ(x,y,z)С=⎩ 22уравнений:dydxdz==(5.1)P ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x, y , z )Доказательство. Возьмем произвольную точку на векторной линии, пусть ее радиусвектор имеет вид xi + yj + zk .
Тогда координаты вектора, касающегосявекторной линии dxi + dyj + dzk (см.(1.8а)), с одной стороны, являютсярешениями дифференциальных уравнений:∂ϕ∂ϕ∂ϕ idx + i dy + i dz = 0, i = 1,2∂x∂y∂z64С другой стороны, по определению векторной линии, вектор dxi + dyj + dzkколлинеарен вектору поляa ( xi + yj + zk ) = P( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )kТогда по критерию коллинеарности векторов:dydxdz==ч.т.д.P ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x, y , z )Уравнение (5.1) можно переписать в виде системы уравнений:dy⎧ dx=⎪⎪ P( x, y, z ) Q( x, y, z )(5.2 а)⎨dxdz⎪=⎪⎩ P( x, y, z ) R( x, y, z )Если систему (5.2 а) проинтегрировать, то получим систему двух конечныхуравнений с двумя постоянными, которые, рассматриваемые в совокупности,определяют двухпараметрическое семейство векторных линий:⎧ϕ1 ( x, y, z ) = С1(5.2 б)⎨ϕ(x,y,z)С=⎩ 22Следовательно, для того чтобы найти векторную линию, проходящую через даннуюточку M0(x0,y0,z0), то нужно решить соответствующую задачу Коши.
Если P, Q, R –непрерывные и дифференцируемые функции координат, ни в однойточке не обращающиеся в ноль одновременно, то эти два условиядействительно определяют одну и только одну векторную линию.Интегральные кривые (5.2б) дают представление о геометрии векторного поля. Густотуэтих линий характеризует модуль векторного поля, а сами линии – направлениявекторов. Векторные линии между собой не пересекаются.Векторное поле называется плоским, если векторы a расположены в параллельныхплоскостях и поле одно и тоже в каждой из этих плоскостей.
Если в какой-либо из этихплоскостей ввести декартову систему координат Oxy, то векторы поля не будутсодержать компоненту R и зависеть от z, т.е.a = P ( x, y )i + Q ( x, y ) jДифференциальные уравнения векторных линий такого плоского поля будут иметь вид:dxdydxdydz⇒=; z = const==P ( x, y ) Q ( x, y )P ( x, y ) Q ( x, y ) 0Отсюда видно, что векторные линии плоского поля являются плоскими кривыми,лежащими в плоскостях, параллельных плоскости Oxy.Т.о., при интегрировании системы (5.2 а) надо иметь ввиду следующее:1. Если одна из координатных функций вектора а тождественно равна нулю(например, Q(x,y,z) ≡ 0), то соответствующая координата принимает постоянноезначение на каждой векторной линии (y=C=const).652. Иногда целесообразно помимо уравнений системы (5.2 а) рассмотреть ихкомбинации, получающиеся формально на основесвойства пропорций:a ca c a+c= ⇒ = =b db d b+dЕсли в области взять какую-нибудь «направляющуюлинию» (L1(S1) или L2(S2)), отличную от векторных линий, ичерез каждую ее точку провести векторную линию, тополученная поверхность S называется векторнойповерхностью.
Она характеризуется тем, что в каждой точкеМ соответствующий вектор поля a (М ) лежит в касательнойплоскости к поверхности S. Векторная поверхность S, полученная для замкнутой«направляющей» линии, называется векторной трубкой (рис. 5.2).Отметим, что проекция вектора на нормаль к векторной поверхности в ее каждойточке равна нулю. Пусть уравнение векторной поверхности есть F(x,y,z)=0. Тогда вкаждой точке поверхности вектор gradF, направленный по нормали к поверхностиF(x,y,z)=0, будет перпендикулярен и вектору a{P, Q, R}, т.е. ( gradF , a ) = 0 или:∂F∂F∂F+Q+R=0P∂x∂y∂z5.2. Поток векторного поля5.2.1. Задача о потоке жидкостиПонятие потока ВП (векторного поля) удобно рассматривать на примерепотока вещества (жидкости), движущейся через некоторую поверхность.Потоком П жидкости через заданную сторону поверхности S называетсямасса жидкости, протекающая через эту поверхность в единицу времени.Считаем, что плотность жидкости ρ =1.
Тогда понятие потока жидкостипереформулируется следующим образом – это количество (объем) жидкости,протекающей в единицу времени через поверхность S. Рассмотримстационарное течение жидкости, т.е. скорость частиц жидкости зависиттолько от координаты точки:(5.3)v = v x ( x, y , z ) i + v y ( x, y , z ) j + v z ( x , y , z ) kгде vx(x,y,z), vy(x,y,z), vz(x,y,z) – проекция скорости на координатной оси.Вычислим поток стационарноготечения жидкости.Прежде всего рассмотрим частныйслучай, когда скорость v во всехточках одна и та же, а поверхностьюявляется плоская площадка (рис.5.3).За единицу времени, частицылежавшиенаплощадкеS,переместятся в направлении v нарасстояние, равное его длине, и66расположатся на площадке S1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
