Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Обобщение на любуюповерхность этой зависимости будет рассмотрено в п. 3.2.3.2. Векторный элемент площади поверхностиПлощадь треугольника ОМN на рис. 1.5 равна половине площадипараллелограмма, построенного на векторах r (t ) и Δr (t ) , и поэтому, согласно1определению векторного произведения, r × Δr представляет собой вектор с2модулем равным площади треугольника ОМN, направленный перпендикулярноего плоскости в такую сторону, чтобы движение от точки М к точке N казалосьпроисходящим против часовой стрелки.Пусть конец радиус-вектора r (t ) описывает замкнутую выпуклую кривую L,ограничивающую площадку S (рис.3.5 а).
Впишем в кривую L произвольнуюломанную и соединим вершины этой ломанной с О (рис.3.5 б). Тогда фигура,ограниченная ломанной, распадется на ряд треугольников, нормали которыхсовпадают с нормалью к площадке S. Поэтому для того, чтобы сложитьплощади всех треугольников, иначе для получения площади, ограниченной1вписанной ломанной, достаточно сложить векторы r × Δr , относящиеся ко2всем треугольникам, причем векторы нужно складывать так, чтобыпередвижение по ломанной происходило против часовой стрелки.
Послеперехода к пределу, когда длина каждой стороны ломанной уменьшится донуля, последняя сумма перейдет в интеграл от векторного произведения341r × Δr , взятый по линии L, а фигура, ограниченная ломанной, превратится в2площадку S, ограниченную кривой L и, следовательно, приходим кзаключению, что вектор1(3.2)S = ∫ r × dr2Lчисленно равен площади площадки S, ограниченной кривой L (см.рис.3.5 а) инаправлен по нормали к ее плоскости в такую сторону, чтобы обход по контуруL при интегрировании совершался против часовой стрелки.В проекциях вектор S имеет вид:1S = [ ∫ ( ydz − zdy )i + ∫ ( zdx − xdz )] j + ∫ ( xdy − ydx )k2 LLLСледовательно, проекция S на ось Oz:1S z = ∫ ( xdy − ydx )(3.3 а)2LС другой стороны, проекция L1 на плоскость хОу кривой L (см.
(1.2))выражается уравнением:ρ z = xi + yjТогда согласно векторному произведению векторов ρ z и dρ z = (dx, dy ) имеем:ρ z × dρ z = ( xdy − ydz )kи площадь Sz, ограниченная кривой L1, выразится интегралом:1S z = ∫ ( xdy − ydx )(3.3 б)2 L1Площадь Sz есть проекция площади S на ось хОу; на кривых L и L1 координаты хи у принимают одни и те же значения. Поэтому проекция вектора S на какуюнибудь ось, в рассматриваемом случае на ось Oz, равна площади проекцииплощадки S на плоскость, перпендикулярную оси проекции. Следовательно,чтобы получить величину проекции площади S на какую-нибудь плоскостьнужно вектор S , определяемый формулой (3.2), спроектировать на нормаль кэтой плоскости. Это дает право рассматривать площадь как вектор, причемвектор, представляющий площадь, нужно откладывать по нормали к площади вопределенную сторону и его модуль будет равен численному значениюплощади.
Площадь, рассматриваемая как вектор,согласно п. 3.1 будет ориентированной.Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнением вявном виде, например, z=f(x,y), где функция f(x,y)непрерывна и имеет непрерывные частныепроизводные ∂f ∂x и ∂f ∂y в области определенияфункции.Выберем на поверхности σ точку М(x,y) ипостроим в этой точке единичный нормальный35вектор n = i cosα + j cos β + k cos γ (рис.3.6). Рассмотрим коллинеарный емувектор dσ = n dσ , называемый векторным элементом площади σ. Длина этоговектораdσ = dσ численно равна площади элементарной площадки –{}окрестности точки М(x,y). В базисе i , j , k вектор dσ имеет вид:dσ = n dσ = i dσ cos α + j dσ cos β + k dσ cos γ(3.4 а)Величины dσcosα , dσcosβ , dσcosγ – элементарные площадки в координатныхплоскостях Oyz, Oxz, Oxy.
Площади этих площадок равны соответственно dydz,dxdz, dxdy. Тогда для вектора dσ можно записать выражение:dσ = ± i dydz ± j dxdz ± k dxdy(3.4 б)Где знак «+» обусловлен острым углом между вектором n и соответствующейосью координат, знак «−» - тупым углом. Из формулы (3.4 б) следует, что дляповерхности z=f(x,y):22⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞dσ = dσ = dy dz + dx dz + dx dy = 1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ dxdy⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠Из формул (3.4 б) и (3.4 в) с учетом (4.94 в) получим:dσdxdydxdy == dσ cos γ ⇒ dσ =22cos γ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠2где cos γ =222212⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠22(3.4 в)(3.4 г).3.3.
Поверхностный интеграл I-го рода и его свойстваПоверхностный интеграл I рода представляет собой такое же естественноеобобщение двойных интегралов, каким криволинейные интегралы I родаявляются по отношению к простым определенныминтегралам.Строится это обобщение так. Пусть в точкахнекоторой двусторонней гладкой (или кусочногладкой) поверхности σ, ограниченной кусочногладким контуром, определена непрерывнаяфункцияF(x,y,z). Разобьем поверхность σ спомощью сети произвольно проведенных кусочно-гладких кривых на части σ1,σ2, …, σn. Площади «элементарных» участков обозначим теми же буквами σi(i=1,2,…,n), а наибольший из диаметров (расстояние между противоположнымисторонами) этих участков обозначим - λ. Взяв в каждом «элементарном»участке σi по произволу точку Мi(xi,yi,zi) (i=1,2,…,n) вычислим в этой точке36значение функции: F(Mi)=F(xi,yi,zi) и, умножив его на площадьсоответствующей части поверхности, составим сумму всех таких произведений:nni =1i =1∑ F ( M i ) ⋅ σ i = ∑ F ( xi , y i , z i ) ⋅ σ i ,которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхностиσ.Если существует конечный пределnlim ∑ F ( xi , yi , zi ) ⋅ σ i ,λ →0 i =1не зависящий ни от способа разбиения поверхности σ на «элементарные»участки σi, ни от выбора точек Мi∈σi (i=1,2,…,n), то он называетсяповерхностным интегралом первого рода от функции F(x,y,z) поповерхности σ и обозначается:nlim ∑ F ( xi , yi , zi ) ⋅ σ i = ∫∫ F ( M )dσ = ∫∫ F ( x, y, z )dσλ →0 i =1σ(3.5)σОтметим без доказательства, что если поверхность σ гладкая (в каждойее точке существует касательная плоскость), и функция F(x,y,z) непрерывна наповерхности σ, то поверхностный интеграл (3.5) существует.Этот интеграл не зависит от знака направляющего косинуса единичногонормального вектора к поверхности.
Действительно, выбирая уравнениеdxdyповерхности z=f(x,y), получим (см. (3.4 г)): dσ =, т.е. замена площадиcos γповерхности на ее проекцию на плоскость Оху всегда положительна, т.к.значение cosγ берется по модулю.Вычисление ∫∫ F ( x, y, z )dσ (поверхностного интеграла I рода)σсводится к вычислению двойного интеграла. Производится это следующимобразом. Пусть поверхность σ задана уравнением z=f(x,y). Согласно п. 3.2спроектируем поверхность σ на координатную плоскость Oxy и обозначим этупроекцию за S. Очевидно, что и подынтегральная функция F(x,y,f(x,y)) и22⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞величина dσ = 1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ dxdy является функцией переменных х и у,⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠которые изменяются в пределах области σ.
В результате поверхностныйинтеграл будет преобразован следующим образом:22⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞∫∫ F ( x, y, z )dσ = ∫∫ F ( x, y, f ( x, y )) 1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ dxdy = ∫∫ψ ( x, y )dxdy⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠σSSгде ∫∫ψ ( x, y )dxdy есть двойной интеграл от функции ψ(x,y) по области S.(3.6)SТаким образом, для сведения поверхностного интеграла к двойному интегралуследует выполнить следующие действия:371. Подставить вместо аппликаты (z) ее значение из уравнения поверхности ивычислить величину dσ .2. Спроектировав поверхность σ на координатную плоскость Оху,определить область интегрирования S.3. Перейти к двойному интегралу, применяя формулу (3.6).Свойства поверхностного интеграла (он обладает всеми обычнымисвойствами двойного интеграла):1.
Аддитивность по подынтегральной функции − поверхностный интегралот суммы (разности) нескольких функций равен сумме (разности)поверхностных интегралов от слагаемых:∫∫ [ f1 ( x, y, z ) ± f 2 ( x, y, z )]dσ = ∫∫ f1 ( x, y, z )dσ ± ∫∫ f 2 ( x, y, z )dσσσσ2. Постоянный множитель C можно выносить за знак поверхностногоинтеграла:∫∫ С ⋅ f ( x, y, z )dσ = C ⋅ ∫∫ f ( x, y, z )dσσσ3. Аддитивность по поверхности интегрирования: если областьσ=σ1∪σ2∪…∪σk является объединением k областей, не имеющих общихвнутренних точек, то∫∫ f ( x, y, z )dσ = ∫∫ f ( x, y, z )dσ + ∫∫ f ( x, y, z )dσ + ... + ∫∫ f ( x, y, z )dσσσ1σ2σk4.
Если подынтегральная функция f(x,y,z)≡1, то поверхностный интеграл отфункции f(x,y,z) по поверхности σ равен площади (мере) поверхностиинтегрирования:∫∫ f ( x, y, z )dσ = ∫∫ dσ = Sσσσ5. Если в любой точке Р∈σ выполняется неравенство f(P)≤g(P) и функцииf(P) и g(P) интегрируемы по поверхности σ, то∫∫ f ( P)dσ ≤ ∫∫ g ( P)dσσσДоказываются все свойства исходя из определения поверхностного интегралапервого рода (3.5) и из свойств предела и интегральной суммы, аналогично, какранее доказывались свойства криволинейного интеграла первого родаТеоремы об оценке поверхностного интеграла I-го родаТеорема 3.1. Если функция f(P) интегрируема по поверхности σ и для точкиР∈σ выполняется неравенство m≤ f(P)≤M, тоm ⋅ σ ≤ ∫∫ f ( x, y, z )dσ ≤ M ⋅ σσТеорема 3.2.
Если функция f(P) интегрируема по поверхности σ, то∫∫ f ( x, y, z )dσ ≤ ∫∫ f ( x, y, z ) dσσσТеорема 3.3 (теорема о среднем). Если функция f(P) непрерывна на кусочногладкой поверхности σ, то существует такая точка Р0(x0,y0,z0)∈σ, что38∫∫ f ( x, y, z )dσ = f ( x0 , y0 , z0 ) ⋅ σσДоказательство. Так как функция f(P) непрерывна на ограниченной замкнутойобласти σ, то она принимает в некоторых точках этой области наименьшее (m)и наибольшее (M) значение, следовательно, m≤f(P)≤M. Тогда по теореме 3.11m ⋅ σ ≤ ∫∫ f ( Р)dσ ≤ M ⋅ σ или m ≤ ∫∫ f ( Р)dσ ≤ M .
Кроме того, непрерывнаяσσфункция принимает любое значение, заключенное между m и M и, в частности,1значение∫∫ f ( Р)dσ . Следовательно, существует точка Р0∈σ, такая, чтоσσσf ( P0 ) =1σ∫∫ f ( Р)dσ ⇒ ∫∫ f ( Р)dσ = f ( P0 ) ⋅ σ . Ч.т.д.σσПоверхностный интеграл II-го рода и его связь с п. и. I-го родаЭто новое интегральное образование строится по образцу криволинейногоинтеграла второго рода (по координатам). Там мы исходили из направленной(ориентированной) кривой и, разложив ее на элементы, каждый такойэлемент, соответственно направленный, проектировали на координатную ось.Проекция получалась тоже направленной, и мы брали ее длину со знаком «+»или «−» в зависимости от того совпадало ее направление с направлением осиили нет.Аналогичнымобразомрассмотримтеперь в пространстве двухстороннююповерхность σ, состоящую из конечногочисла гладких кусков, каждый из которыхзадан уравнением вида z=f(x,y). Разобьемповерхность σ на «элементарные» части σi(i = 1,2,...,k).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
