Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Линейный интеграл вдоль замкнутой линии Г от векторногополя F называется циркуляцией векторного поля и обозначается:(5.92 в)Ц = ∫ F , dl = ± ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dzΓ()ΓВ случае плоского поля:Ц = ∫ F , dl = ± ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dyΓ()(5.92 г)ΓЗнак «+» или знак «−» перед интегралом зависит от направления обходакривой Г и этот вопрос подробно был рассмотрен в п.
2.4. Можно сказать,что циркуляция Ц выражает работу векторного поля F вдоль замкнутойкривой Г.Циркуляция векторного поля является скалярной величиной ихарактеризует вихревые свойства поля. Если в некоторой области поляциркуляция равна нулю, то поле называют безвихревым.5.6. Ротор (вихрь) векторного поляПусть М произвольная точка, в окрестности которой задано непрерывноевекторное поле F .
Окружим эту точку замкнутым контуром Δl, лежащим вэтой окрестности (рис.5.9). Рассмотрим элементарную циркуляцию ΔЦ,78()равную ∫ F , dl , при условии, что контур стягивается в точку М: Δl→0.ΔlВихревым вектором F (вихрем) или ротором векторного поля rot F вточке М называется вектор, проекция которого на нормаль к поверхности σ вэтой точке равна пределу отношения элементарной циркуляции по контуруΔl к бесконечно малой плоской площадки Δs участка поверхности σ,ограниченного линией Δl, и содержащего точку М, при стягивании Δs в точкуМ:∫ F , dlΔlrot n F = lim(5.93 а)ΔsΔs →0Нормаль n к площадке направляется так, чтобы при вычислении циркуляцииобход по контуру Δl осуществлялся против часовой стрелки. Формула (5.93а)дает инвариантное определение ротора векторного поля.Получим расчетную формулу вихря.
Пусть в декартовой прямоугольнойсистеме координат Oxyz вектор rot F имеет вид:rot F = iP + jQ + k R()Вычислим проекцию вихря поля rotF на ось Ох - P = прi rotF . Как следует израздела 3.2 элемент поверхности Δσ проектируется в плоскость Oyz в видеΔs=ΔyΔz (если между нормальным вектором n и ортом i острый угол). Тогдасогласно определению ротора:∫ F , dlP = Прi rot F = lim Δl(5.94 б)ΔsΔs →0где Δl – периметр прямоугольника ABCD, Δs – его площадь (рис.5.10).Вычислим элементарную циркуляцию по контуру прямоугольника ABCD,которая будет состоять из линейных интегралов, взятых последовательно посторонам AB, BC, CD, DА:ΔЦ = ∫ F , dl = ∫ F , dl + ∫ F , dl + ∫ F , dl + ∫ F , dl =(Δl)( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )AB( )BC( )CD( )DA= ∫ F , j dy − ∫ F , j dy + ∫ F , k dz − ∫ F , k dzABCDBCDA79Здесь учтено, что на линии АВ dx=0, dz=0 ⇒ dl = jdy , на линии CDdl = − jdy .
Аналогично на ВС dl = kdz и на DA dl = − kdz . Следовательно,сводим криволинейный интеграл II-го рода к определенному интегралу:∫ (F , dl ) = ∫ (F ( x, y, z ) − F ( x, y, z + Δz ) )dy +y + ΔyΔlyyyz + Δz∫ (Fz ( x, y + Δy, z ) − Fz ( x, y, z ) )dzzИспользуя формулу Тейлора, получим:∂FFz ( x, y + Δy, z ) − Fz ( x, y, z ) = z Δy + o(Δy )∂y∂F yF y ( x, y, z ) − F y ( x, y, z + Δz ) = −Δz + o(Δz )∂zПренебрегая бесконечно малыми o(Δy ) и o(Δz ) , получим:y + Δy ∂Fz + Δz ∂FyzFdlydzz,=Δ−Δdy ⇒∫∫∫∂y∂zzyΔly + Δy ∂Fz + Δz ∂FyzydzΔ−Δzdy∫∫∫ F , dly∂∂zzyP = lim Δl= limΔsΔyΔzΔs →0Δs →0(())(5.94 в)По теореме о среднем значении определенного интеграла имеем:y + Δy ∂Fz + Δz ∂F∂∂yzdz = Δz Fz ( x, y, z + θΔz ) , 0<θ<1dy = Δy Fy ( x, y + θΔy, z ) , ∫∫∂z∂z∂y∂yyzПодставляя значения этих интегралов в (5.94в) и переходя к пределу приΔs→0, ⇒, Δy→0 и Δz→0, получим:∂F ∂Fy(5.94 г)P= z −∂y∂zАналогично выводятся формулы проекции вектора rot F на орты j и k∂Fy ∂Fx∂F∂F(5.94 д)пр j rot F = Q = x − z , прk rot F = R =−∂z∂x∂x∂yСледовательно, согласно (5.94г) и (5.94д) формула ротора имеет вид:⎛ ∂F ∂Fy ⎞ ⎛ ∂Fx ∂Fz ⎞⎛ ∂Fy ∂Fx ⎞⎟⎟ + j ⎜⎟⎟rot F = Pi + Q j + R k = i⎜⎜ z −−−⎟ + k ⎜⎜∂y∂zzxxy∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠Вихревой вектор по своему строению напоминает векторное произведениедвух векторов, в котором проекции первого сомножителя заменены знакамидифференцирования по х, у и z.
Поэтому эту формулу можно символическизаписать в виде:80i∂rot F =∂xFxj∂∂yFyk∂∂zFz(5.95 а)Замечание. Этот определитель раскрывается по элементам первой строки,при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьейстроки понимаются как операции дифференцирования, например,∂Fy∂⋅ Fy =∂x∂xФизический смысл ротора векторного поля поясняет следующий пример.Пример.
Найти ротор поля линейных скоростей твердого тела,вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью ω (рис.5.11).Решение. Как известно, линейная скорость V точки М определяется поформуле: V = ω × r (M ) , где r ( M ) = xi + yj + zk , а поω = {0,0, ω}.Следовательно,ледовательно,условиюзадачирассматриваемое поле имеет вид:V = −ωyi + ωx jВычислим ротор этого поля:i∂rot V =∂x− yωj∂∂yxωk∂= 2ω k∂z0Итак, вихрь поля направлен параллельно оси вращения, а модуль его равенудвоенной угловой скорости вращения.
С точностью до числовогомножителя ротор поля скоростей вращающегося тела представляет собойугловую скорость вращения этого тела. Найденный механический смыслротации имеет гораздо более широкое значение. В гидромеханикепоказывается, что движение бесконечно малой жидкой частицы в текучейжидкости с точностью до бесконечно малых высшего порядка можнорасчленить на поступательное, вращательное и деформацию. Оказывается,что при таком расчленении ротация поля скоростей текущей жидкости и даетудвоенную угловую скорость частицы.
В отличие от рассмотренного поляскоростей точек твердого тела, ротация поля скоростей текущей жидкости вкаждой точке будет своя.Свойства вихря вектора1. Вихрь постоянного вектора с равен нулевому вектору:rotc = 0Так как частная производная от постоянного значения равна нулю.2. Дивергенция вихревого вектора векторного поля F равна нулю:divrotF = 0Доказательство будет дано 5.8.2.3. Вихрь суммы векторных полей равен сумме вихрей этих полей:81rot (a + b ) = rota + rotbВывод аналогичен доказательству соответствующей формулы дляградиента и дивергенции.4.
Вихрь произведения вектора на скалярную функцию (U(x,y,z)) равенсумме векторов:rot (Ua ) = Urota + gradU × aВ самом деле проекция вихря вектора Ua на ось Ох равна:∂a y∂a∂∂∂U∂U−U=rot x (Ua ) = (Ua z ) − (Ua y ) = U z + a z− ay∂y∂z∂y∂y∂z∂z∂a y ⎞⎛ ∂a∂U∂U⎟⎟ + a z= U ⎜⎜ z −− ay= Urot x a + ( gdradU × a )x∂y∂z∂y∂z⎝⎠Аналогично проекция вихря вектора Ua на ось Оу равна:rot y (Ua ) = Urot y a + ( gdradU × a ) yна ось Оz:rot z (Ua ) = Urot z a + ( gdradU × a )zСледовательно, у векторов, стоящих в левой и правой частях равенств,проекции на все оси координат, равны, а в таком случае сами векторытакже равны.5.7. Формула Стокса и ее векторная записьЭта формула преобразовывает криволинейный интеграл вдоль замкнутойпространственной кривой в поверхностный интеграл по поверхности, натянутой на этукривую.Теорема 5.4.
Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и их частные производныепервого порядка непрерывны на поверхности S, ограниченной замкнутым контуром l, тоимеет место формула, называемая формулой Стокса:∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz =l= ∫∫ [(S∂Q ∂P∂R ∂Q∂P ∂R− ) cos γ ]dS−) cosα + ( − ) cos β + (∂x ∂y∂y ∂z∂z ∂x(5.95 б)Доказательство.
Предполагается, что кривая lгладкая или кусочно-гладкая. Предположим, чтопрямые, параллельные оси Оz, пересекаютповерхность S только в одной точке (рис.5.12).Проекция поверхности S на плоскость Оху дастплоскую область σ12, а проекция контура l дастграницу области σ12 – замкнутый контур – L . Заположительный обход конура Lпримемнаправление обхода против часовой стрелки (см.раздел 2.4). Соответственно устанавливается обход82контура l, а положительное направление внешней нормали на поверхности S таково, чтоее орт n составляет с осью Оz острый угол.
Тогда:dσ 12 = dS ⋅ cos(n , Oz ) = dS ⋅ cos γ и cos γ >0Преобразуем интеграл∫ P( x, y, z )dxlИспользуя тот факт, что контур l принадлежит поверхности S, уравнение которойможет быть записано в виде z=f(x,y). Поэтому, если заменить под знаком интеграла z наf(x,y), то подынтегральная функция P(x,y,f(x,y)) будет содержать только переменные x и y,которые для переменной точки на контуре L имеют те же значения, что и всоответствующей точке на контуре l, т.е.∫ P( x, y, z )dx ≡ ∫ P( x, y, f ( x, y ) )dxlLПрименяя к этому интегралу формулу Грина (2.93) и учитывая, что функция Р являетсясложной функцией, так как у входит в выражение для Р как непосредственно, так ичерез посредство f(x,y), найдем:⎛ ∂P ( x, y, f ( x, y )) ∂P ( x, y, f ( x, y )) ∂f ⎞⎟⎟dσ 12+∫ P( x, y, f ( x, y ) )dx = − ∫∫ ⎜⎜yfy∂∂∂Lσ12⎝⎠Выражая элемент dσ12 через dS, и, переходя, к интегралам по контуру l и поверхности S,получаем:⎛ ∂P( x, y, z ) ∂P ( x, y, z ) ∂f ( x, y ) ⎞⎟⎟ cos γdS+(5.96 а)∫ P( x, y, f ( x, y ) )dx = − ∫∫ ⎜⎜∂y∂z∂ylS⎝⎠Используя формулы (4.94 б), (4.94 в) раздела 4.6, учитывая, что cos γ >0, получаем:∂fcos γ = − cos β = − cos(n , Oy )∂yТогда формула (5.96 а) примет вид:⎞⎛ ∂P∂Pcos γ ⎟⎟dS(5.96 б)∫ Pdx = ∫∫ ⎜⎜ cos β −∂ylS ⎝ ∂z⎠Рассматривая другие функции – Q(x,y,z) и R(x,y,z) и совершая циклическую перестановкукоординат x, y, z, получим две аналогичные формулы:∂Q⎛ ∂Q⎞cosα ⎟dS(5.96 в)∫ Qdy = ∫∫ ⎜ cos γ −∂∂xz⎝⎠lS⎛ ∂R⎞∂R(5.96 г),∫ Rdz = ∫∫ ⎜⎜ cos α − cos β ⎟⎟dSyx∂∂lS⎝⎠где cosα = cos(n, Ox ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
