Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхностьравен нулю.2. Векторные линии в соленоидальном поле либо замкнуты, либо начинаются икончаются у границ поля (или уходят в бесконечность).3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторнойтрубки, образованной определенной совокупностью векторных линий, имеетпостоянное значение, называемое интенсивностью трубки.Докажем третье свойство. Рассмотрим векторную трубку объема V, ограниченнуюдвумя поперечными сечениями S и S1. Применим к ней теорему Остроградского. Потоквектора через боковую поверхность трубки равен нулю, ибо там вектор Φ лежит в еекасательной плоскости. Остаются потоки вектора через поперечные сечения S и S1. Впервом из них внешняя нормаль направлена в сторону, противоположную направлениювекторных линий, и поэтому:∫∫∫ divΦdV = ∫∫ Φ, ds + ∫∫ Φ, ds = ∫∫ (Φ n , ds ) − ∫∫ (Φ n , ds )VS1() (S)S1Sгде в обоих интегралах стоящих справа, вектор Φ проектируется на нормаль,направленную в сторону векторных линий.
Для соленоидального поля divΦ = 0 и леваячасть последнего равенства обращается в нуль. Следовательно, в этом случае:∫∫ (Φ n , ds ) = ∫∫ (Φ n , ds )S1SТ.е. что и требовалось доказать в соленоидальном поле поток вектора через поперечноесечение трубки остается постоянным вдоль всей трубки. По этой причинесоленоидальное поле называют также трубчатым полем.Пусть векторное поле:Φ = Φ ( M ) = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )kявляется соленоидальным в области D, т.е.
divΦ ( M ) = 0 в D.Теорема 5.8. Произвольное векторное поле F всегда может быть представлено в видесуммы потенциального поля F * и соленоидального поля F * * , т.е.F = F * +F * *Векторным потенциаломвекторного поля Φ = Φ (M ) называется векторF = F ( M ) = P1 ( x, y, z )i + Q1 ( x, y, z ) j + R1 ( x, y, z )k , удовлетворяющий в области Dусловию:rotF ( M ) = Φ ( M )(5.98 г)или в координатной форме:∂P ∂R∂R1 ∂Q1∂Q ∂P(5.98 д)−= P, 1 − 1 = Q, 1 − 1 = R∂z∂x∂y∂z∂y∂x88Для соленоидального векторного поля Φ векторный потенциал F определяетсянеоднозначно.Условию(5.98г)удовлетворяеттакжевекторF * ( M ) = F ( M ) + gradf ( M ) , где f(M) – произвольная дифференцируемая скалярнаяфункция, так как rotgradf ( M ) ≡ 0 .
Таким образом, два векторных потенциаласоленоидального поля Φ отличаются друг от друга на градиент скалярного поля.Нахождение векторного потенциала F соленоидального поля Φ сводится кнахождению какого-либо частного решения системы (5.98 д) трех дифференциальныхуравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций P1(x,y,z),Q1(x,y,z), R1(x,y,z). Векторный потенциал можно построить следующим образом.Пользуясь произволом в выборе вектора F , для упрощения положим, например,P1 ( x, y, z ) ≡ 0 , т.е.
вектор F будем искать в виде: F ( M ) = Q1 ( x, y, z ) j + R1 ( x, y, z )k .В этом случае система дифференциальных уравнений (5.98 д) для нахождениянеизвестных функций Q1(x,y,z) и R1(x,y,z) примет вид:⎧ ∂R1 ∂Q1⎪ ∂y − ∂z = P⎪⎪ ∂R1= −Q(5.98 е)⎨x∂⎪⎪ ∂Q1⎪ ∂x = R⎩Из второго и третьего уравнения этой системы находим:R1 ( x, y, z ) = − ∫ Q( x, y, z )dx + C1 ( y, z )Q1 ( x, y, z ) = ∫ R ( x, y, z )dx + C 2 ( y, z )где C1(y,z) и C2(y,z) – любые дифференцируемые функции y и z. Положим дляупрощения C2(y,z)≡0 и выберем функцию C1(y,z) так, чтобы удовлетворялось и первоеуравнение системы (5.98е). Для этого подставляем в первое уравнение найденныевыражения для Q1 и R1:∂C ( y, z ) ∂∂− ∫ Q( x, y, z )dx + 1− ∫ R( x, y, z )dx = P( x, y, z )∂y∂y∂zОтсюда найдем:∂C1 ( y, z ) ∂∂= ∫ Q( x, y, z )dx + ∫ R( x, y, z )dx + P( x, y, z )∂y∂y∂zЛегко проверить, что правая часть этого уравнения не зависит от x в силу того, чтоdivΦ ( M ) = 0 в D.Интегрируя последнее равенство по у найдем:⎡∂⎤∂C1 ( y, z ) = ∫ ⎢ ∫ Q( x, y, z )dx + ∫ R( x, y, z )dx + P ( x, y, z )⎥dy + C3 ( z )∂z⎦⎣ ∂yПолагая C3(z)≡0, и подставляя C1(y,z) в выражение для R1(x,y,z), получим частноерешение системы (5.98е):89P1 ≡ 0Q1 = ∫ R( x, y, z )dx(5.98 ж)⎤⎡∂∂R1 = ∫ ⎢ ∫ Q( x, y, z )dx + ∫ R( x, y, z )dx + P ( x, y, z )⎥dy − ∫ Q( x, y, z )dx∂z⎣ ∂y⎦Вектор F , координаты P1(x,y,z), Q1(x,y,z), R1(x,y,z) которого определяются формулой(5.98ж), является векторным потенциалом, так как он удовлетворяет условиюrotF ( M ) = Φ ( M ) .Пример.
Найти векторный потенциал F ( x, y, z ) для соленоидального поля,задаваемого вектором: Φ = 2 yi − zj + 2 xkРешение. Потенциал F ищем в виде F ( x, y, z ) = Q1 ( x, y, z ) j + R1 ( x, y, z )k , гдеQ1(x,y,z) и R1(x,y,z) находим по формуле (5.98ж). Так как в данном случае P=2y, Q= −z,R=2x, то будем иметь:Q1 ( x, y, z ) = ∫ 2 xdx = x 2R1 ( x, y, z ) = ∫ zdx + ∫ 2 ydy = xz + y 2()Следовательно, F ( x, y, z ) = x 2 j + xz + y 2 k .Непосредственной проверкойубеждаемся, что rotF ( M ) = Φ ( M ) и, следовательно, вектор F является векторнымпотенциалом данного поля.Замечание.
В виду произвола допустимого при выборе вектора F , вместо условияP1 ( x, y, z ) ≡ 0 , можно потребовать, чтобы Q1 ( x, y, z ) ≡ 0 или R1 ( x, y, z ) ≡ 0 . Системыуравнений (5.98 е) и (5.98 ж) соответственно изменяться.5.8.3. Гармоническое полеВекторное поле F называется гармоническим (или лапласовым) полем, если оноодновременно и потенциальное и соленоидальное, т.е. rotF = 0 и divF = 0 .Теорема 5.9. Если поле F гармоническое, то его потенциал описываетсяуравнением Лапласа:∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U+ 2 + 2 =0(5.99)∂x 2∂y∂zДоказательство. Т.к.
поле F - гармоническое, то оно потенциальное и ⇒ F = gradU(по определению). С другой стороны, поле F - соленоидально и ⇒ согласнопредыдущей теореме divF = 0 , т.е. divgradU = 0 . Распишем последнее выражение:∂ ∂U ∂ ∂U ∂ ∂U ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U= 2 + 2 + 2 =0divgradU =++∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z∂x∂y∂z90Рис. 5.14На рис. 5.14 векторное поле порождено системой двух равных, но разноименныхточечных зарядов. Сплошными линиями изображены векторные линии, пунктиромпоказаны линии уровня соответствующего скалярного поля – потенциала(эквипотенциальные поверхности).5.9. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядкаВ теории поля основное значение имеют следующие понятия:1.
Градиент скалярной функции U(x,y,z), являющийся вектором:∂U∂U∂Uj+kgradU =i +∂x∂y∂z2. Дивергенция вектора F ( P, R, Q) , являющаяся скаляром:∂P ∂Q ∂Rdiv F =++∂x ∂y ∂z3. Вихрь вектора F ( P, R, Q) , являющийся вектором:⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎛ ∂P ∂R ⎞⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟⎟ + j ⎜−⎟⎟−−rot F == i⎜⎜⎟ + k ⎜⎜⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠⎝ ∂x ∂y ⎠Эти три понятия очень просто записываются при помощи следующегосимволического вектора – оператора ∇ (читается набла), предложенного математикомГамильтоном, поэтому ∇ часто называют оператором Гамильтона.
«Символическийвектор» ∇ определяется равенством:∇=i∂∂∂+ j+k∂x∂y∂zСам вектор ∇ не имеет реального значения (т.е. он не имеет ни величины, нинаправления), однако, ему присущи все векторные свойства – при преобразовании91координат, ∇ преобразуется как вектор, и приобретает определенный смысл лишь вкомбинации со скалярными или векторными функциями. При помощи этого оператораудобно производить все операции векторного анализа. Рассмотрим некоторые из них:А) Если U(x,y,z) - дифференцируемое скалярное поле, то градиент скалярного поляможно условно записать так:gradU = (i∂∂∂+ j+ k )U = ∇U∂x∂y∂zБ) Если F = Pi + Qj + Rk - дифференцируемое векторное поле, то дивергенцияможет быть записана как скалярное произведение двух векторов оператора Гамильтонана векторное поле F :divF =∂P ∂Q ∂R∂∂∂++= (i+ j + k , Pi + Qj + Rk ) = (∇, F )∂x ∂y ∂z∂x∂y∂zВ) Если F = Pi + Qj + Rk - дифференцируемое векторное поле, то вихрьвекторного поля F есть векторное произведение двух векторов оператора Гамильтонана векторное поле F :i∂∇× F =∂xPj∂∂yQk∂= rotF∂zRРассмотренные выше три операции первого порядка gradU , divF , rotF ,переводящие соответственно скаляр в вектор, вектор в скаляр, вектор в вектор.Наряду с векторной природой оператор Гамильтона имеет дифференциальнуюприроду.
Учитывая дифференциальный характер ∇ , условимся считать, что оператор∇ действует на все величины, записанные за ним. В этом смысле скажем,∇, F ≠ F , ∇ . В самом деле,∇, F = divFв то время как∂∂∂F ,∇ = P + Q + R∂z∂x∂yИспользуя оператор «набла», производную скалярного поля U по направлению lможно записать в виде:∂U= l 0 ,∇ U∂lгде l 0 - единичный вектор направления l .В результате двукратного применения оператора Гамильтона получаютсядифференциальные операции второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
