Векторный анализ, теория поля (1021365), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Складывая формулы (5.96 б), (5.96 в), (5.96 г), получим формулуСтокса (5.95 б).Векторная запись формулы СтоксаТеорема 5.5. Циркуляция Ц векторного поля F по замкнутой линии l,ограничивающей поверхность S равна потоку вихря через эту поверхность:()Ц = ∫ F , dl = ∫∫ (rotF ,ds )l(5.96 д)S83Доказательство. По определению:()∫ F , dlΔЦΔlrot n F = lim= limΔsΔs →0 ΔsΔs →0ΔЦОтсюда, по теореме о связи функции, ее предела rot n F и бесконечноΔsмалой α имеем:∫ F , dlΔl= rot n F + αΔs()ΔЦсуществует, то элементарная циркуляцияΔs →0 ΔsΔЦ – величина бесконечно малая того же порядка, что и Δs.
Поэтомувеличина αΔs – бесконечно малая более высокого порядка ею можнопренебречь, тогда получаем:∫ F , dl = rot n F ⋅ ΔsПоскольку предел rot n F = limΔl()Разделим поверхность S на участки с площадью ΔSi (i=1,2,…,n), выберем накаждом из них точки Мi(xi,yi,zi) и зададим в этих точках значения функцииrotF ( M i ) . Тогда на i-ом участке получим:(rot n F ( M i ) ⋅ Δsi = ∫ F , dlΔliИли)(rot F (M ), Δs ) = ∫ (F , dl ), Δs = n Δsii0iiΔliСоставим для последнего равенства интегральные суммы по i от 1 до n ипереходя к пределу при n→∞ , получим:n()n(lim ∑ rot F ( M i ), Δs i = lim ∑ ∫ F , dln→∞ i =1n→∞ i =1 Δli)Левая часть этого соотношения (см. раздел 3.4) равна поверхностномуинтегралу по координатам от функции rot F , Δs :n(())lim ∑ rot F ( M i ), Δs i = ∫∫ (rotF , ds)n→∞ i =1SА в правой его части имеем циркуляцию Ц по линии l.
Действительно,nвеличина ∑ ΔЦ представляет собой сумму элементарных циркуляций поi =1линиям Δli – границам участков поверхностей ΔSi. Так как последниекасаются друг друга, то криволинейные интегралы по общим сторонамодинаковы, но противоположны по знаку и в сумме равны нулю. Отличнымиот нуля окажутся интегралы по частям линии l, ограничивающейповерхность S. Поэтому84n()lim ∑ ∫ F , dl = Цn→∞ i =1 ΔliТеорема доказана.5.8. Специальные поля5.8.1. Потенциальное полеПоле F называется потенциальным полем, если:∂U∂U∂U(5.97),+ j+kF = gradU = i∂x∂y∂zгде U – скалярное поле. Функция U=U(M)=U(x,y,z) называется в этом случаепотенциалом поля F .Формула (5.97) показывает, что потенциальная функция не определяется полемоднозначно: непосредственно очевидно, что любая функция U* = U + С, отличающаясяот U постоянным слагаемым С, имеет тот же градиент, что и U, а потому также можетрассматриваться как потенциал поля F .Основной особенность потенциального поля является то, что потенциальноевекторное поле вполне определяется заданием одной скалярной функции – егопотенциалом, тогда как для задания произвольного векторного поля требуется знаниедвух или трех скалярных функций – проекций вектора на оси координат.Пример.
Определить является ли потенциальнымполем электрическое поле неподвижного точечногозаряда.Пусть точечный заряд q помещен в начало координат(рис.5.13).Тогдаэлектрическоеполе(поленапряженности) Е , создаваемое этим зарядом можетбыть задано формулой:qE = 3 r , где r = x 2 + y 2 + z 2rqи потенциал поля U = . Проверим выполняется ли равенство: E = gradU .r∂ ⎛q⎞∂r∂r ⎞∂ ⎛q⎞∂ ⎛q⎞q ⎛ ∂rj + k⎟=gradU = ⎜ ⎟i + ⎜ ⎟ j + ⎜ ⎟k = − 2 ⎜ i +∂y ⎝ r ⎠∂z ⎝ r ⎠∂x∂x ⎠∂x ⎝ r ⎠r ⎝ ∂xqq= − 3 xi + yj + zk = − 3 r = − E ⇒ электрическое поле является потенциальнымrrполем.
Появление знака минус связано с тем, что векторные линии поля Е обычнонаправлены в сторону убывания потенциала. Так, например, тепло перемещается отместа более нагретого к месту менее нагретому, электрический ток течет от точки сболее высоким потенциалом к точкам с меньшим потенциалом, жидкость течет туда, гдедавление меньше и т.д.Теорема 5.6. (об условии потенциальности поля). Для того чтобы векторное поле Fбыло потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.()85Доказательств.
Отсутствие вихрей означает, что ротор поля F равен нулю во всехточках поля. Так как поле F потенциально ⇒ F = gradU , то:i∂rotF = rotgradU =∂x∂U∂xj∂∂y∂U∂yk⎛ ∂ 2U ∂ 2U ⎞∂⎟⎟ += i ⎜⎜−∂z∂y∂z∂z∂y⎝⎠∂U∂z⎛ ∂ 2U ∂ 2U ⎞⎟⎟ +j ⎜⎜−∂∂∂∂zxxz⎝⎠⎛ ∂ 2U ∂ 2U ⎞∂ 2U ∂ 2U∂ 2U ∂ 2U∂ 2U ∂ 2U⎟⎟ . Так как;;.==+ k ⎜⎜−=∂x∂y∂y∂x∂z∂x∂x∂z∂x∂y∂y∂x∂y∂z∂z∂y⎝⎠Следовательно, rotF = 0 ч.т.д.И, наоборот, если rotF = 0 , тогда F = gradU ⇒ поле потенциально.Другими словами, условие является rotF = 0 критерием потенциальности поля.Основные свойства потенциальных полей1. Циркуляция векторного поля F по любому замкнутому контуру в этом полеравна нулю.∫ F , dl = 0L()2. В потенциальном поле линейный интеграл вдоль любой линии ∪АВ не зависитот формы линии, а зависит только от начальной и конечной точек, т.е.:(5.98 а),∫ F , dl = U ( B ) − U ( A)()∪ ABгде U – потенциал поля F .Доказательство.
Поскольку поле F потенциальное ⇒ F = gradU , то скалярноепроизведение векторов F и dl даст полный дифференциал функции U(x,y,z):⎛ ∂U⎞ ∂U∂U∂U∂U∂UF , dl = ⎜⎜i +j+k , dxi + dyj + dzk ⎟⎟ =dx +dy +dz =∂x∂y∂z∂x∂y∂z⎝⎠= dU ( x, y, z )Из свойства 6 криволинейного интеграла следует, что:∫ F , dl = ∫ dU =U ( B) − U ( A) ч.т.д.()(∪ AB)∪ ABДоказательство свойства 1 автоматически вытекает из свойства 2.Физический смысл полученной формулы состоит в том, что работа поля поперемещению материальной точки из А в В не зависит от пути интегрирования, а толькоот конечной и начальной точек, точнее, от разности потенциалов в этих точках. Длявычисления потенциала поля в произвольной точке В выберем начальную точку А, откоторой начнем отсчет.
Тогда согласно (5.98 а):U ( B) = U ( A) + ∫ F , dl(5.98 б)(∪ AB)Формула (5.98 б) показывает, что за потенциальную функцию поля можно принятьвеличину линейного интеграла, отсчитываемую от любой фиксированной точки.86Возможность выбора произвольной точки отсчета соответствует указанному вышеобстоятельству, что потенциальная функция определяется лишь с точностью допостоянного слагаемого. Чтобы определить потенциал однозначно, следует выбратьопределенную точку отсчета, то есть точку, в которой значение потенциальной функциипринимается равным нулю. Обычно из физических соображений за точку с нулевымпотенциалом U(A)=0 принимается точка на границе поля или в бесконечности. Тогдаформула (5.98 б) принимает вид:(5.98 в)U ( B) = ∫ F , dl(∪ AB)Равенство (5.98 в) приводит к определению потенциала поля, часто употребляемомув физике: потенциал поля в точке В равен работе сил поля при перемещении из точки В вбесконечность.Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем путьинтегрирования так, как нам удобно: сначала параллельно оси Ох, затем параллельнооси Оу и наконец параллельно оси Оz.
Обозначая: компоненты векторного поляF = P( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )k и координаты начальной и конечнойточек: A={x0,y0,z0}, B={x,y,z}, получим согласно (5.98 в):xyzx0y0z0U ( x, y, z ) = ∫ P( x, y0 , z 0 )dx + ∫ Q( x0 , y, z 0 )dy + ∫ R ( x0 , y0 , z )dzПример. Показать, что всякое постоянное поле – потенциально и найти егопотенциал.Решение. Так как поле F = Pi + Qj + Rk - постоянно, следовательно, егокоординаты P, Q, R – константы, тогда rotF = 0 и, следовательно, полепотенциально во всем пространстве. Найдем потенциал поля:xyzx0y0z0U ( x, y, z ) = ∫ Pdx + ∫ Qdy + ∫ Rdz = Px + Qy + Rz − (Px0 + Qy0 + Rz 0 ) =( ) () (= F , l − F , l0 = F , l − l0)5.8.2.
Соленоидальное полеПоле Φ называется соленоидальным полем, если Φ = rotF . Примерамисоленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердоготела (см. пример в разделе 5.6), магнитное поле внутри длинного соленоида.Теорема 5.7. В соленоидальном поле дивергенция равна нулю.Доказательство. Требуется доказать, что при Φ = rotF divΦ = 0∂rot x F ∂rot y F ∂rot z FdivΦ = divrotF =++= F = Pi + Qj + Rk =∂y∂z∂x∂ ⎛ ∂R ∂Q ⎞ ∂ ⎛ ∂R ∂P ⎞ ∂ ⎛ ∂Q ∂P ⎞ ∂ 2 R ∂ 2Q⎟+ ⎜⎟== ⎜⎜−−−−−⎟+ ⎜∂x ⎝ ∂y ∂z ⎟⎠ ∂y ⎝ ∂x ∂z ⎠ ∂z ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠ ∂x∂y ∂x∂z∂ 2 R ∂ 2 P ∂ 2Q ∂ 2 P= 0 ч.т.д.−++−∂x∂y ∂y∂z ∂x∂z ∂y∂z87Если в каждой точке дивергенция поля равна нулю, то согласно вышеприведеннойтеореме такое поле – соленоидально. Равенство нулю дивергенции означает, что такиеполя не могут иметь ни источников, ни стоков, а значит и точек, где начинаются икончаются векторные линии.Из вышесказанного вытекают следующие два свойства соленоидальных полей:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
