Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Принятие решения сводится к сравнению оценочного отношения правдоподобия / (его логарифма !и 1) с порогом 1, (порогом 1и 1,). Влияя на величину порога, коэффициент к существенно не влияет обычно на характер синтезируемой обработки. При измерении появляется возможность совместно оценивать векторы неинформативньи у и информативных параметров и, вводя совокупный векторный парметр Г, с числом скалярных составляющих пг = и„+ и, = пи + пз + и» (19.12) Если максимум послеопытной плотности вероятности р (Г ~ у) выражен достаточно отчетливо, а послеопытное распределение симметрично, можно ввести оценку максимума послеопытной плотности вероятности или максимума правдоподобия параметра Г из соотношений др„(Г~ у)/дГ; =О или др, (у) Г)/дГ;=О при Г=Г (1 = 1, 2,..., пг).
(19.13) Если'априорные данные теряют при этом свое значение, можно перейти к оценке максимума правдоподобия др, (у(Г)/дГ, =О при Г=Г. В случае малого размера выборки или чрезмерной интенсивности помех, как это выяснилось на простейшем примере равд. 18.5, целесооб- . разно использовать оценку послеопытного математического ожидания (13.19) для квадратичной функции потерь Г= ~ Гр(Г)у)йГ. (19.14) (Г) При обнаружении-измерении в состав вектора Г можно приближенно включать амплитудный множитель, подлежащий сравнению с по- 306 рогом.
То же относится и к обнаружению-измерению-разрешению [36 52, 55, 100, 111, 114!. Разновидностью рассматриваемого подхода применительно к рекурретному (гл. 16) или непрерывному (гл. 17) оцениванию является расширение вектора состояния — включение в его состав наряду с информативными неннформативных параметров (45, 121]. Определенной трудностью при использовании введенных выше функций правдоподобия реп (у(т), рп (у!т), рен (у!Г) является неограниченное их убывание в процессе предельного перехода к непрерывным реализациям.Эта трудность преодолевалась в гл. 13 за счет перехода от функций правдоподобия к отношению правдоподобия.
Указанный прием можно применить и при наличии случайных параметров помехи. Выражение (11) можно свести к отношению двух отношений правдоподобия, соответствующих наблюдению: 1) сигнала и помехи иа фоне вспомогательного белого шума и 2) только помехи на фоне того же белого шума.
Для каждого из этих отношений подбирается свое оценочное значение параметра у и т. Вместо функции же правдоподобия (!3) можно ввести отношение правдоподобия, соответствующее наблюдению сигнала и помехи иа фоне вспомогательного белого шума. Целесообразность введения отношений правдоподобия вместо функций правдоподобия отпадает при конечном размере выборки. Достоинством ряда приведенных выше соотношений (4), (5), (8)— (1О) н других является простота их практического использования, удобство сочетания с методами рекуррентной фильтрации (равд. 16.1— 16.9).
В последнем случае, однако, следует избегать аномалий оценивания на каждом шаге, связанных с потерями информации, особенно при слабых сигналах. В этом смысле заслуживают внимания оптимальные методы оценивания неинформативных и информативных параметров при рекуррентном обнаружении-измерении, описанные в равд. 18.1 применительно к некоррелированной от выборки к выборке помехе. Они легко обобщаются на случай, когда значение помехи на различных шагах рекуррентного процесса связаны марковским параметром т (41, 44]. В этом случае отношение правдоподобия на («е + 1)-м шаге Рсо ( Уа+! ] Уа! ! ) р ( та+! ] Уа ) г( та+! «(у,'+,) = «(у,' ) (та+ !) Рв (Уа+! ] та+! ) Р(та+! ] Уа ) йта+! ("а+! ) Штрихи, как н ранее, характеризуют совокупность принятых реализаций к соответствующему шагу. Приведенное выражение используется совместно с выражениями плотностей вероятностей прогнозируемых параметров р (у +, ] уа) и р (та+а]уа), которые отличаются от (16.64) лишь заменой а на у и гана т.
Это означает независимые отслеживания параметров: сигнала и помехи в предположении, что есть сигнал и помеха, и одной помехи в предположении, что есть только помеха. Несмотря на громоздкость такой обработки, ее достоинством является отсутствие потерь информации вследствие приближенного оценивания на каждом шаге. От дискретного обнаружения-измерения параметров (сигнал с помехой и только помеха) можно перейти к непрерывному (41, 44, 48], также без потерь информации. 307 19.2. Введение и учет неинформативных параметров в условиях априорной неопределенности В процессе выбора априорных распределений возникают естественные трудности.
Говорят поэтому об априорных трудностях, априорной неопределенности и т. п. Акцент на возникающих трудностях иногда чрезмерен. Выбор априорных условий эквивалентен, как отмечалось, принятию исходных данных для инженерного проектирования. Условия работы любого проектируемого устройства (сооружения) могут меняться в ходе эксплуатации, возможна последующая модернизация. Проектирование существенно затруднилось бы, тем не менее, без конкретизации условий работы.
Модели неизвестных случайных функций часто описываютналожением известных функций со случайными коэффициентами. Это относится и к функциям, описывающим траектории целей. Выбор статистики случайных коэффициентов разложения может быть произвольным. Наибольшая неопределенность соответствует равномерным независимым распределениям параметров (коэффициентов) в пределах их возможного ианенения. Степень неопределенности усиливается с увеличением числа случайных параметров.
После принятия любой из подобных моделей решение статистической задачи в условиях априорной неопределенности сводится к решению ее в известных априорных условиях. Можно использовать, в частности, оценки максимального правдоподобия, когда характер априорного распределения не влияет на значения этих оценок. Последнее должно быть оправдано каждый раз приведенными ранее соображениями: большим размером выборки, достаточным энергетическим превышением сигнала над помехой и т.
п. Особенно существенна априорная неопределенность параметров помехи, ее интенсивности и корреляционной матрицы. В ряде случаев существенна также неопределенность параметров сигнала, связанная в особенности с неизвестными заранее условиями распространения радиоволн. Оценка параметров помехи (в общем случае многомерных) может быть проведена с использованием описанных в равд. 19.1 методов, хотя их иногда и видоизменяют в большей или меньшей степени. Так, могут оцениваться не элементы корреляционной матрицы помех, а непосредственно неизвесглные значення дискрвгл внешней помехи.
Оценочные реализации без внешней помехи получаются затем путем вычитания. При атом ввиду увеличения числа неизвестных параметров появляется опасность возрастания порогового сигнала, однако в ряде' случаев зто существенно не меняет алго. ритмов обработки [!!7]. При оценке корреляционных матриц помех необязательно использовать принцип максимума правдоподобия. Можно минимизировать средний риск для максимально неблагоприятных условий (принцип мнннмакса).В [123] приведен, однако, пример, в котором минимизация риска достигается для весьма узкого диапазона наиболее неблагоприятных значений неизвестных параметров (помехи в нашем случае), за счет чего повышается риск прн других вероятных значениях. Если исключить из рассмотрения подобные аномалии, можно считать метод минимакса з4(Ьекгливным методом оптимизации.
Развитие его за последнее время [124] показывает, что он приводит к сходным результатам с другими более вросглыми методами. 308 19.3. Примеры учета неинформативных параметров Пример 1. На фоне стационарного белого шума известной интенсивности обнаруживается когерентный сигнал со случайной начальной фазой при произвольном априорном распределении р (р). Поскольку параметры шума известны, решение уравнений правдоподобия (5) заменим анализом отношения правдоподобия 2л 1=ехр( — д /2) ) ехр(~Х~соз(зги Š— р))р(р) йр, о где Х и д определяются согласно (6.12), (6.14). Для равномерного р (р) = 1/2п (О < р ( 2п) и дельтообразного р (р) = б (р — р,) распределений отсюда следуют известные выражения для сигналов: — с равномерно распределенной начальной фазой 1 = ехр ( — дЧ2)1, ((Х)); — с полностью известными параметрами 1 = ехр ( — дЧ2) ехр 1) Х ! соз ( агу Х вЂ” р,)).
Расчет 1 можно провести и для промежуточных известных априорных распределений р. Если априорные данньм о неизвестном значении р, полностью отгул!ствуют, целесообразно оценить его по максимуму правдоподобия: д!п 11др, = О при и, = К. Максимальное значение = е — чнг е!х! достигается при соз ( агд Š— рь) = 1. Оно соответствует (19.11) и оказывается монотонной функцией модульного значения ) Х ~ = )Г (йе Х)' + (1ш Е)'. Квадратурная обработка, оптимальная для равномерного априорного распределения начальной фазы р на интервале от О до 2п, распространяется, таким образом, на неизвестное ее априорное распределение.
Обработка с детектированием колебаний на выходе оптимального филыпра, эквивалентная по алгоритму квадратурной, также распространяеп!ся на этот случай. Допущенное пренебрежение непостоянством коэффициента к в выражении (10) не меняет при д)) 1 сформулированных выводов. Пример 2. Пачка из М неперекрывающихся когерентных радиоимпульсов с неизвестными значениями начальн х фаз ~м ~„..., рм обнаруживается на фоне стационарного белого шума известной интенсивности. При известных значениях начальных фаз весовая сумма и параметр обнаружения вычисляются по формулам и ра м Е = ~'„Хь е ь, д' = ~ч'„9! ь=! ь=! В них Х„, дь — комплексные весовые интегралы и параметры обнаружения отдельных импульсов. Реальная часть Х при этом состав- 309 м ляет КеХ = —;~ ! Хь ( соз (агя Մ— рь).
Отношение правдоподобия ь=! 1=ехр — ч', дьз/2~ ехр ~ ~~~ (Хь) соз(агИХд — (1в) (19.15) е-! ь=! достигает максимума при ()ь = Рь = аги Хь ()г = 1, 2, ..., М). Оце- ночное отношение правдоподобия, равносильное (11), 1= ехР ~ — ~~ д~ь/2) ехР ~ ~~ ) Хь) (19.16) Ь=! Ь-1 м оказывается монотонно нарастающей функцией величины 2', | Х„(, ь=! которая в пренебрежении непостоянством коэффициента (10) подлежит сравнению с порогом. Алгоритм обработки для неизвестного распределения начальных фаз совпадает, таким образом, с алгоритмом для известного равномерного распределения при условии, что сигнал сильный.
Пример 3. Пачка из гн неперекрывающихся когерентных иняульсов с неизвестными значениями начальных фаз и амплитудных множителе!1 импульсов Ьг, Ьз, ..., Ьи обнаруживается на фоне стационарного белого шума известной интенсивности. Вместо (15) имеем м 1п!= чт (Ьь(Еь(соз(агяЕь — 1)ь) — Ььдье/21, Ь=1 (19.17) где величины Еь н дь вычислены в расчете на Ьа = 1. Равносильное (11) оценочное значение 1п ! достигается при значениях рв=йь=а!я Еа и Ьь=аь=Ед(де, (19. 18) обеспечивающих максимум (17) м м 1п1= ~~', )Еь)з)2дье = ~~ (Еан(ь!2. Ь=1 ь=! (19.19) Как и (7.15) для релеевского закона флюктуаций, выражение (19) соответствует весовому квадратичному суммированию последетекторных эффектов.
При г)ь )) 1, когда справедливо использование метода максимума правдоподобия для определения оценок Ьь и рв, весовые коэффициенты несугцественно отличаются от весовых коэффициентов (7. 1б). Пример 4. Неизвестный амплитудный множитель а дискретной выборки сигнала ах, наложенной на выборку гауссовской помехи с известной с точностью до множителя обратной корреляционной матрицей гр ' = тнро ', и множитель ч, обратный интенсивности помехи, оцениваются по максимуму правдоподобия, 310 Из условий максимума правдоподобия др„(у[а, т)/да=О, др„(у [а, «с)/дч=О при а=а, т=т, где р„(у[а, ч)=(2п) — С'м С» [«р,! — «/»ехр[ — т(у — ах)'«рь '(у— — ах)/2], приходим к системе уравнений для оценок у'«р ' х+х'«р ' у — 2ах'«р,, ' х= О, т» с' ' — (у — ах)' «рь ' (у — ах) т С~ = О. Решая систему, находим оценки а = у' «ра ' х/х' «рь ' х, ч=т/(у — ах)'«р '(у — ах).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
