Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Распределение р (а) должно быть задано поэтому равномерным на интервале значений а от — оо до оо, так что в пределе р (а) -+ О, К предельному распределению придется переходить поэтому от некоторого вспомогательного допредельного, для которого значения р (а) еще конечны. Более серьезные осложнения возникают в связи с тем, что равномерному распределению дисперсии Я можно противопоставить случаи равномерного распределения стандартного отклонения )/се и логарифмов У и )~л1.
К любому из указанных предельных распределений на интервале О ( Ю < оо также придется переходить от вспомогательных допредельных. Последние выберем, исходя из удобства перехода к пределу. Полагая р (а, Ю) = р (а)р (Ю), в качестве допредельных априорных распределений выбираем нормальное для а (18.2) р(а)=ехр( — аЧ2%»)/7 2лЮ, и гамма-распределение для т = 1/Ю (18.3) р (т) = У' т' ' е Я'~(Г (г) . Здесь Г (г) = ) и' — 'е —" ди — гамма-функция; числа Я„Юм г пока о еще подлежат доопределению.
Пользуясь формулой (3), можно найти допредельные априорные плотности вероятности величин Ю, )' Ю, 01 1п Ю, поскольку р (1/Ю) д (1/Ю~ = р (Ю) Щ = р (3/ Ю ) д ))/ Ю ( = р (!п Ю) д ~1п Ю!. Обозначая Ю, или ф'Ю, или 1пЮ, или !и)/Ю через и, имеем р (и) = кЮ' и ' —" е-Й / "/Г (г), ОЪ СО р (а !у) = ~ ~ р (а, Ю ~ у) дЮ, р (Ю ~ у) = ~ р (а, Ю ~ у) да, р (а, Ю '! у) = р (у ! а, Ю) р (а, Ю) /! )е р (у ~ а, Ю) р (а, Ю) дадЮ, (а,я»! е р (у '! а, Ю) — — П ехр 1 — (у„— а)»/2Ю1/У2 иЮ, е=! СО ~»е" е — ' дт=Г(т+1)/б +! (/» О), о Г(т+1) = т Г(т). В случае неизвестного мао!ематического ожиоания (Юе-».
оо) на- ходим л а= ~ у„/и, Гг= ! Ю = (Б'+ 2Ю!)/(и+ 2!' — $), (18 А) (18.5) где 3=3, а л В'=;»', (уь — а)'. (18. 6) 302 где: к=Л=1 при и=Ю; к=2, Л=05 при и=)ГЮ; к=1, Л=О при и=1пЮ или и=1п3 Ю. Рассматриваются предельные случаи априорно известного (Ю,-». -»- 0) и равномерно распределенного (Ю,-~ оо) математических ожиданий при: — равномерно распределенной дисперсии Ю ж сопз1 (г -!- — 1, Ю,— О); — равномерно распределенном стандартном отклонении )I Ю ж сопз1 (г-» — 0,5, Ю,— ~ 0); — равномерно распределенных логарифмах дисперсии 1п Ю и стандартного отклонения 1п ~' Ю = ( 1п Ю)/2 ю сопз1 (г -». О, Ю, -+ 0).
Найдем байесовские точечные оценки послеопытного математического ожидания Ь = ) Ор (0!у)дб, наиболее надежные при малом числе элементов выборки и, где 0 сводится или к а„или к Ю. При этом: При известном мшпематическом ожидании а, величина $ в (5) заменяется на 2, а величина а в (6) на аь. Для равномерных априорных распределений (Ю,— ~ 0) дисперсии (г — ~ — 1), стандартного отклонения (г-~.
— 0,5) и их логарифмов (г-~- 0) находим баейсовские оценки дисперсии при неизвестном математичгском ожидании: Ю=ЗЧ(п — 5), Ю = 8~/(и — 4), Ю = ъ~/(п — 3), Для тех же априорных распределений при известном математическом ожидании байесовские оценки дисперсии имеют вид Ю = 8'/(и — 4), Ю = о'/(п — 3), з) = 5'/(и — 2). Явно наблюдаются аномалии байесовского оценивания дисперсии при малом числе элементов выборки, в частности при числе их меньшем шести в случае неизвестного математического ожидания и равномерного априорного распределения дисперсии. Байесовских ее оценок при и < 6 в предельном случае не существует, что связано с явно негауссовскими послеопытными распределениями.
Соответствующая небайесовская несмещенная оценка математического ожидания 123] совпадает с (18.4). Для небайесовских оценок дисперсии, максимального правдоподобия и несмещенной, имеем со. ответственно Ю = В"т*п, Ю =- о'/ (п — 1). При больших значениях и различие всех приведенных оценок дисперсии теряет значение.
Однако в рассматриваемом случае небольших и различие существенно. Несмещенная оценка дисперсии отождествляется с баиесовской только при г = 1, Ю, -+. О, а р (Ю) = 1/Ю', когда большие значения дисперсии заранее считаются маловероятными по сравнению с меньшими. Оценка максимума правдоподобия соответствует еще более иере. алистическому априорному распределению дисперсии. Причины несоответствия имеют достаточно глубокие основания. Оценка максимума правдоподобия оправдана с байесовских позиций только при симметричных унимодальных распределениях послеопытной плотности вероятности, чего явно нет при малых и.
Переход к несмещенной небайесовской оценке, устраняя систематическую ошибку, создает лишь иллюзию благополучия при малых и: основную роль в этом случае играет не систематическая, а флюктуацнонная ошибка. Несмещенная оценка дисперсии, как и оценка максимального правдоподобия, не может поэтому выдержать байесовской проверки моделированием на ЭВМ при малых и и упомянутых выше разумных, как нам кажется, условиях (Ю, — + О, — 1 < г < 0). Небайесовские и байесовские интервальные оценки, построенные по данным одних и тех же результатов случайных измерений, придают различный смысл доверительной вероятности Рл„,р. В небайесовском случае — это вероятность накрытия интервалом со случайными границами заранее известного значения оцениваемой величины (Ю или а). В байесовском случае — это вероятность попадания случайного значения оцениваемой величины (Ю или а) внутрь интервала.
Можно убедиться, что небайесовские и байесовские интервальные оценки дисперсии и математического ожидания при неизвестной дис- 303 персии совпадают при г-ь О, Ко — ь оо, Ю,— ь О, но не совпадают, например, при гь- — 1 или же при г — ь — 0,5, Юо — ь оо, Ют — О.
В последних двух случаях небайесовские интервальные оценки при малых и оказываются вновь йзлишне оптимистическими, если нм придается смысл байесовскихе!. Проведенное рассмотрение подготавливает читателя к проявлению известной осторожности по отношению к объему выборки при широком использовании оценок максимального правдоподобия параметров помех в последующих разделах книги, особенно когда одновременно оценивается большое число скалярных параметров.
Литература: 120, 23, 25, 27, 61, 66„71, 84, 86„97, 118). тй. РАЗНОВИДНОСТИ УЧЕТА НЕИНФОРМАТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ. АДАПТАЦИЯ. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ 49,4. Разновидности учета неинформативных параметров в известных априорных условиях В развитие методики учета неинформативных параметров сигнала, рассмотренной в гл. 6, и вопросов регулярного и аномального обнаружения-измерения, рассмотренных в гл. 18, подробнее остановимся на разновидностях учета неинформативных параметров сигнала и помехи.
К числу неинформативных параметров сигнала по-прежнему относим случайные начальные фазы и амплитудные множители; сюда можно дополнительно включить параметры дисперсионных и рефракционных искажений в среде распространения. К числу неинформативных параметров помехи отнесем интенсивности создаюших ее источников, а также корреляционные, спектральные и пространственно-временные характеристики.
Вероятностные характеристики параметров сигнала и помехи считаются пока известными. Это позволяет говорить об априорной определенности. В противном случае(см. равд. 19.2) говорят об априорной неопределенности. При наличии одних только неинформагпивных парамегпров сигнала р плотность вероятности принимаемой реализации сигнала и помехи р, (у) будем по-прежнему описывать соотношением (6.1). При наличии одних только неинформатпивных парамегпров помехи ч плотность вероятности ее реализации будем описывать аналогичным соотношением р. (у) = ~ р. (у ) ) р (т) " .
(19.1) () ь1 Им же обычно непроизвольно придают смысл байесовских. Нельзя не согласиться с автором 1! 18) в том, что небайесовские доверительные интервалы недостаточно отвечают физической сущности измерений. То же самое можно отнести и к небайесовским несмещенным точечным оценкам (дисперсии, в частности). См, также приложение 1.
304 При совместном наличии неинформативных параметров сигнала и помехи,.образующих совокупный вектор у, плотность вероятности реализации сигнала и помехи описываем аналогичным соотношением Р (У)= ~ р, (у'1у) р(у)с(у, (19.2) (т) которое и будет рассматриваться в дальнейшем как более общее. Входящую в (2) условную вероятность р, (у~у) можно выразить через послеопытную для случая измерения вектора параметров т. В самом деле, Р.. (У~У) Р(У) =-Р..(У) Р-(У~У), (19.3) откуда Р (У ! У) = Р. (У!т)Р (у)/Рьв (у). При благоприятствующих энергетических условиях и не слишком большой размерности вектора у по сравнению с у можно достаточно просто найти его оценку.
Оценка максимума послеопытной плотности вероятности определяется из уравнений др„(у~у)/дт,=О при у — т ((=1,2, ...и ), (19.4) которые при р (у) = сопз1 переходят в уравнения правдоподобия др, (у~у)/дУ,=О при у=у (1=1, 2, ..., и„). (19,5) При известных статистических параметрах помехи, поделив (19.5) на р, (у), уравнения правдоподобия можно строить на основе отношения правдоподобия. Лля плотности вероятности р, (у ~ у) обычно справедлива рассмотренная в гл.
13 нормальная аппроксимация р„(у ( у) =(2п) "т/' ~ Ст~'/'ехр ~ — (у — у)' С,(у — у)/2~, (19 6) где пт — число скалярных составляющих вектора у, а С вЂ” матрица точности оценивания, С, =)! — д'1пр(у!У)/ду,дЦ при у=у. (19.7) Если распределение (6) и соответствующую матрицу (7) можно считать достаточно точными, отпадает необходимость проведения интегрирования (2). Неизвестная плотность вероятности р, (у) находится непосредственно из (3) при фиксированном у = т, соответствующем (4) нли (5) Рес (у) =(2и) 1Ст ~ '/~ Реи(у~ у) Р(у).
(19 6) Методику приближенного определения плотности вероятности (3) можно распространить на плотность вероятности (1). При этом получим р,(у) = (2п) ч )С~ ~ — '/три(у ) т) р(т). (199) Число скалярных составляющих п вектора параметров сигнала и помехи (6) заменилось в (9) числом составляющих пч вектора пара- 305 метров одной помехи. СоответственнО матрица точности с заменйлась на матрицу С„а оценка у — на оценку т, получаемую из плотностей вероятности р,(ч~у) или р (у)ч) согласно уравнениям вида (4), (5).
Полученные приближенные соотношения (6) — (9) облегчают в ряде случаев решение задач обнаружения и измерения (особенно при переходе к условиям априорной неопределенности). Рассмотрим специфику использования этих соотношений при обнаружении, измерении и обнаружении-измерении. Прн обнаружении выражение отношения правдоподобия ! = = р„,(у)/р„(у) приводится к виду 1= к1. (19.10) Величина 1 — оценочное отношение правдоподобия /=р..(у|у)ур.(у| ), (19.11) вычисляемое для оценочных значений векторов т и у. Коэффициент к = (2п)ы» "»уе ) С» ! — ьа )С»)'мр (у)/р (ч) обычно слабо зависит от у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
