Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Иначе,— это удельная матрица точности, характеризующая точность, обеспечиваемую за единицу времени. Линеаризуем также непрерывные временные зависимости: ид, =ив+ (йа/й()~ д тд, (17.14) Сдч.г — — Сд+(ЙС7йЕ),, тд, (17.15) Ь (ию Гд, тд) =- ад+ а (ид, (д) тд. (17. 16) Лииеаризованиые выражения (13) — (16) подставим в уравнение дискретного оценнвания (16.21). Сокращая на тд и формально переходя к пределу тд-д-О, приходим к дифференциальному уравнению оптимального непрерывного оценивания йа/йг = — а(а, г)+ С 'Н'Св (6 — Ь(и, г)). Формальный характер перехода к пределу соответствует с инженерных позиций отступлению от условия регулярности измерения на малых интервалах тд, которое было принято в качестве исходного.
Уравнение (17) правильно определяет, тем не менее, значения интегралов на интервалах времени, обеспечивающих соблюдение условии регулярности измерения, и находит поэтому широкое практическое использование. О некоторых исследованиях математической стороны вопроса уже отмечалось в сноске к равд. 17.1. Уравнение (17)можно считать основным уравнением непрерывного оценивания.
Матрица Св = Св (г), входящая в (17), в отличие от матриц С = Н' Св Н, Св<дч О,' вошедших в (16.17), (16.21),1 является удельной матрицей точности текущего измерения. Уравнейие (17), как и (16.21), определяет оптимальное сочетание результатов текущего и предшествующих наблюдений для получения наилучшей оценки.
На рис. 17.3 представлена соответствующая (17) многомерная следяи(ая система с одним многоканальным интегратором. На выходе правого сумматора этой системы формируется левая часть йиЛЙ уравнения (17), на выходе же интегратора — оценка вектора состояния и. Вариант схемы рис. 17.3 с обобщенным дискриминатором первого рода представлен иа рис. 17.4. На структурных схемах рис. 17.3, 17.4 проставлена входящая в (17) результирующая корреляционная матрица ошибок наблюдения С '. Дифференциальное уравнение для этой матрицы найдем путем предельного перехода в уравнении (16.18), относящемся к дискретно- 277 Рис. 17.3 Рис. 17.4 му случаю.
Используя (7), (11), опуская излишние индексы, с точностью до тл получаем В„С;,' В,'+(1„=-(1+Ат) С-'(1+Ах)с+От= С '(1+С(АС '+С А'+Ц)т). (17. 18) При т — ~-0 справедливо матричное приближение (1+Р) 1 — Р. (17.19) Подставляя (13), (15) и (18) в (16.18) и используя (19), получаем С-1- (с(С/й) т ж (! — С(АС ~+ С т А'-1- Я) т] С+ Н' Св Нт (17.20) Отсюда находим дифференциальное уравнение изменения во времени матрииы точности ЙС/й = — Нт Св Н вЂ” СЯС СА Ат С (17.21) в которое входят удельные матрицы точности Св и маневра с1.
Один из одночленов матричного уравнения (21) содержит два одинаковых неизвестных сомножителя С, что характеризует матричное дифференциальное уравнение Ринкати. Наряду с (21) используют аналогичное уравнение для корреляционной матрицы ошибок С-'. Дифференцируя матричное равенство СС-' = 1, имеем (с(С '/й) С+ С '(а1С/й) =-О. 278 Умножая результат на матрицу С-' справа, получаем йс ')й(= — С (ас7й») С '. (17.22) Подставляя (21) в (22), находим уравнение Риккати для корреляционной матрицы ошибок йС т/й»=0 — С гН'СгНС г+АС-т+С-гАТ (1723) Противоположные знаки слагаемых, содержащих матрицы Св и (л, в (21) и (23) имеют определенный смысл. Учитываемые матрицей Св дополнительные наблюдения повышают диагональные элементы матрицы точности С, снижая одновременно диагональные элементы (дисперсии) матрицы ошибок измерений.
Учитываемый матрицей 0 случайный маневр понижает точность и повышает дисперсии ошибок измерений. Для интегрирования дифференциальных уравнений (21) или (23) не требуется последовательных переходов от матриц точности к матрицам ошибок и обратно. Как и в дискретном случае, возможно использование линейного приближения а (а, г) = А (») а, й (а, ») = Н (») сс, (17.24) Уравнения (17), (23) называют при этом уравнениями Калмана — Бьюси.
туА. Примеры синтеза и анализа измерителей непрерывно изменяющихся во времени параметров Как и в равд. 16.8, поясним на примерах сущность и разнообразие возможных применений теории. Пример 1. Непосредственно измеряется скалярный 'случайно изменяющийся во времени параметр и (») в виде винеровского процесса.
Винеровским (диффузионным) процессом называют результат интегрирования 8 ) ц(в) йв о белого шума с постоянной спектральной плотностью мощности с7ь. Модель формирования процесса рис. 17.6, а соответствует рис. 17.2 при а (а, ») = О, Ь (а, ») = а. Непрерывный винеровский процесс , ®=аа,»» ю Рис. 17.5 279 можно считать также результатом предельного перехода от дискрет* ного процесса с независимыми случайными стационарными приращениями рис. 16.5 при /„„, — /д — — ть — ~ О и Яь = ть.
В этом смысле этот процесс «глаже» дискретного процесса со стационарными приращениями. Уравнения фильтрации находятся из (17), (23) после очевидных подстановок А = О, Н = 1, введения дисперсии результирующего измерения Ю = С т, а также удельной матрицы точности Сз = !/Юу, соответствующей единичному времени измерения.
Они имеют внд: да/с(/ = (Ю/л)с) (ссу — сс), дб)/д/= 0 — йс/йу. (17.25) (17.26) Левая часть равенства (26) отрицательна при больших начальных значениях Ю-+- сс. Последующие значения дисперсии Ю убывают при этом по мере поступления текущих данных. Дисперсия уменьшается до установившегося значения Ю -="г"Ии производная с/л)/й при котором обращается в нуль. Переходной процесс установления дисперсии выявляется решением дифференциального уравнения (26). Это уравнение с разделяю1цимися переменными )'4lй„д/ = Е(%/й„„)~/(1 — й(йу '), и его решение имеет вид ~/~)уст с(11(//т) Здесь с111 и = (е" + е ")/ (е" — е ") — гиперболический котангенс, т = )/Ю /Я вЂ” некоторая постоянная времени установления.
Зависимость отношения Ю/Ю „от времени представлена на рнс. 17.6. Дифференциальное уравнение оценки а моделируется следящей системой рис. 17.5, б с однии идеальным интегратором. В общем случае — это система с переменными параметрами. В режиме установив- 1Уг/л7! 1 ~/у а ~Ъ 'аг Г йс йл 17 Хб 4+ Рис. 17.6 Рис. 17.7 280 цу ошибок измерения в виде Преобразуя произведение матриц разобъем векторно-матричное уравнение оцениваиия на скалярные: Ы'1/Ш='и1и1+ (Юд/Юи) (а — ам~), (17.28) Йа~ /Й=(йм/Юи)(аи — а' ). (17.29) Уравнениям (28), (29) соответствует следяиуи система рис.
17.8 с двумя интеграторами. Сглаживая текущие оценки а„, она отслеживает и дальность, и скорость. В общем случае — это система с переменными параметрами (Уо Ю„изменяются во времени). Введя дискриминатор первого вида, придем к устройству автосопровождения и оценивания с двумя интеграторами (рис. 17.9), в общем случае также с переменными параметрами. Стационарный режим сопровождения соответствует нулевому значению матрицы с/С г/с//, определяемой (23). Преобразуем входящие в Рис. 17.8 Рис. 17.Р 282 х (7, и); й (а, 1) = х (г, сь).
Подставляя значение Н и опуская член с удвоенной частотой, получаем с~аl Ж = (Аа П л) з ) у (1) сов (2п! ь(+ +а (1)~. Выражение в правой части с точ- ностью до коэффициента пропорциРнс. 17.10 ональности соответствует выходному напряжению оптимального дискриминатора фазы задачи при единичном времени накопления. Дифференциальное уравнение результирующей дисперсии оценки в соответствии с (23) после удаления членов с двойной частотой имеет вид г(~1ь(1 = Я вЂ” (Аьй)'/2 й)з .
Схема оптимального измерителя (системы ФАПЧ) приведена на рис. 17.10. Передаточный коэффициент Аой)Мз оптимальной схемы является в общем случае переменным, но в установившемся режиме принимает значение )Г2Я/л з Пример 4. Введем модель (17.4) детерминированного движения (р (0 = О) иелапеврируюп!ей космической радиолокационной цели (искусственного спутника Земли). Положение цели задается радиус-вектором г во вращающейся вместе с Землей системе координат.
Учитываются гравитационное притяжение Земли, сопротивление атмосферы (без атмосферного ветра), эффект вращения Земли вокруг своей оси. Возмущающие действия планет и тяги собственных двигателей не учитываются (211. Исходное уравнение движения цели имеет вид: — =д(г)+ Р ( — — /~ — ~)+2 — Хюа, (!7.35) Здесь: и — масса цели; и (г) — ускорение в поле гравитационных и центробежных сил; еьпвьт ! — / !) — замедление за счет силы сопротивления воздуха в пренебрежении атмосферным ветром; юз — вектор угловой скорости вращения Земли, ориентированный с Юга на Север и имеющий абсолютное значение ыз - -7,2921 !О-а с-т ав (2Ы24, 60 60)с-'! 2 — Х юз — вектор йг й! коррнолисова ускорения.
Упомянутые величины требуют более детального рассмотрения. Ускорение определяется как градиент (17.36) и (г) = сгаб и суммарного потенциала и = игр+ иц гравитационных и центробежных сил, воздействующих на единичную массу. Лля симметричного распределения массы Земли вокруг ее оси гравиглациопнай потенциал зависит от удаления г точки наблюдения относительно центра Земли и от ее широты ф, поэтому и =~ (в!!г!+') Р! (з(п ф) + аз г'с/2. (17.37) 284 В выражение (37) входят неравные нулю коэффициенты в! разложения гравитационного потенциала по осесимметричным сферическим функциям, в частности во=3,98602 Х 10'с мс!сс, в,=- — 1,75629 !Озс мсГсз (иногда вводят вс =. = 1,5 1Осс мс!сз). Принимают, что вд = вз = О. Равенство нулю коэффициентов в,щ означает симметрию распределения гравитационного потенциала относительно плоскости земного экватора.
В выражение (37) входят также полиномы Лежандра с-го порядка Рг (ч). Полинам нулевого порядка Р, (ч) = 1 обеспечивает центральную еиииетршо составляющей гравитационного потенциала всат. Градиент этой составляющей на поверхности Земли имеет абсолютное значение вс!гз, близкое к 9,8 м(с. Полинам второго порядка Ре (ч) = (Зчз — 1)!2 учитывает непостоянство гравитационного потенциала в меридиональном направлении, связанное со сплющенностыо земного эллипсоида. В выражение (37) входит, наконец, кратчайшее расстояние гос ж г соз ф от цели до оси вРащениЯ, опРеделЯющее потенциал центРобежных сил осзсгоо!2. Совокупное действие гравитационных и центробежных сил поясняется рис.
17.11, эллиптичность Земли на нем для наглядности преувеличена. Центробежная сила йгаб (юзег,! 12) = юз гос, перпендикулярная оси вращения, направлена к цели по кратчайшему расстоянию. Гравитационная сила йгад,~бсРг ( з!п ф)гг действует с небольшим, зависящим от угла ср отклон 1 нениелс от направления к центру земного эллипсоида. Сила сопротивления воздуха действует противоположно вектору скорости движения цели рис. !7.12. Ее абсолютное значение составляет )(сопрет = Соопрот Змнд рвозд ч /2. (17.38) ~~Разврат (- ур/~ щ ~) яес" (с ызгес щыз евс г г 'вс й'еае 85 ас Р.(з(п(р) ссс Рис. 17.12 2— а'г вез Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
