Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 53
Текст из файла (страница 53)
равд. 16.2); 271 — обобщение функции правдоподобия р (у[ад+с), также в общем случае не являющейся гауссовской. В соответствии с (13.3) послеопытная плотность вероятности значения параметра на (/с + 1)-м шаге определяется пропорциональной зависимостью р (ад+, [уд+х) = — р (ад+,) р (уд+, ~ ид+,), (16.63) где у„+, — реализация выборки, принятой на /с-м шаге; р (ад+,) — доопытная по отношению к (Й + 1)-у шагу плотность вероятности.
Она определяется. не только реализацией уд на /с-м шаге, но и предыдущими реализациями уд, и т. д. Обозначая совокупность этих реализаций уд и используя плотность вероятности перЕХОдааз, НаХОдИМ дООПЫтНОЕ раСПрЕдЕЛЕНИЕ ПараМЕтра идя.„ ПрОГНО- зированное на (/с + 1)-й шаг по предшествующим данным, р(ад+,)= р(ид.д[уд) = ~ р(а„+, [сед) р(ад [уд) йид.
(16.64) (ад) Подставив (64) в (63), введем аналогичное предыдущему обозначение уд+„ позволяющее подчеркнуть использование результатов измерений предыдущих реализаций. Это приводит к соотношению р(ид+, [ уд, !) = кр (ух+с[идет) ~ р(идет[ад) р(ид [уд) йхд, (16.65) (ад) где к= 1! ~ Р(Удит [ад+с) ~ Р (аде, [ид) Р(ад [Уд) йид йид+т, (1666) 1 (антс) (ид) Соотношения (65), (бб) можно использовать рекуррентно, обеспечивая получение наилучших оценок в процессе последовательной обработки данных у„. Такую обработку называют нелинейной оптимальной фильтрацией. Вид распределений в процессе нелинейной фильтрации может меняться по мере накопления данных.
Аналогично проводятся нелинейные экстраполяция и совокупное сглаживание. Пример. Рассмотрим рекуррентную фильтрацию одномерной марковской случай. вой величины и (!д) =- ад с негауссовской переходной плотностью вероятно. сти 1 Д, 1 сад+с — ссд [ < !/2, р(сед+ [схд) = О [ ад.с.т — ссд [ > !/2. Эта величина наблюдается на фоне адднтивной одномерной негауссовской по.
мехи дд с независимыми от шага к шагу значениями, характеризуемыми плот. *1 При необходимости можно учесть и другие доопытные данные об ад+1 [481. 272 костями вероятности 17(г, ! лг,( < 1г)2, 0 )п» ! ) (г/2. Условия данного примера аналогичны условиям примера 1 равд. 16.8, но со- сг' ответствуют замене гауссовской случайг ной величины на негауссовскую. ггЪ ~ иг1 В отсутствие априорных данных уг функция правдоподобия р (у,(ггг) (рис. 16.23, о), а значит, и плотность вероят- Уг иг ности р (иг ( уг) имеют прямоугольное 1 Р'иг (,гаг) распределение. Прогнозированное значение и на второй шаг по данным перво- П го измерения в соответствии с (64), о'г (65), имеет распределение рис.
16.23, б. Возможная функция правдоподобия вто. рого измерения имеет вид рис. 16.23, в, а послеопытное распределение плотности вероятности — вид рис. 16.23, г. г(ля большей компактности чертежа масштабы по ординатам на рис. 16.23 не вырав. пинались. Характерно, что дисперсия и форма послеопытных распределений су щественно зависят от уг, уз и т. д. иг Уг Рис. 16.23 Литература: 16, 9, 11, !8, 21, 45, 46, 48, 56, 57, 67, 76, 81, !081.
17. ОПТИМАЛЬНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ, НЕПРЕРЫВНО ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ 17.1. Модель непрерывного измененна параметра К модели непрерывного изменения параметра перейдем от днскрет. ной модели рнс. 16.7, учитывая факт перехода от дискретного к непрерывному наблюдению. Зависимость (16.1) для этого детализируедн '»+'» огг,~, = Ь» (ог»)+ р» = Ь (сгг, (ю т») + ~ )» (1) с(1. (17.1) г„ Детализация проведена в двух направлениях: — введены интервалы т„= Г»+г — г» между моментами наблю= дення; — принято, что дискретные случайные величины )»» являются результатом интегрирования*> за интервалы времени т» (рнс. 17.1) случайного вектора напряжения )» (г). Последний образуется путем *> Физические представления о прохождении шумов через интегрирующие цепи не противоречат предельному (в среднеквадратическом смысле) переходу в выражении 1пп л)г (ег) (ггег — гг) (правая часть от формулы (1)).
получаемый сглолоствичеслпй интеграл (интеграл белого шума) называют при Ог = гг несимметризованным Ито, при Ог = (гг+ гььг)72 симметризованным интегралом Стратоновича. Полнее учитывая специфику шума, симметризация допускает большую свободу в преобразованиях р(г). »е 11) - с1е); и Матричного преобрааонаянй )с (1) = 3 (1)рз (1) вектора )де (1) Ф,в независимых стационарных белых шумов с единичной спект- ЗЮ ральной плотностью. Детализация (1) учитывает постепенность Рис. 17.1 накопления эффектов маневрирования на интервалах времени тд между наблюдениями. Матрица 8 (1) учитывает возможную взаимосвязь составляющих рс«1 (1) и не- стационарность маневра.
Значения ад+, и ад при тд -е 0 сливаются воедино сед.1.» — ь Ь (сед, 1д, О) = сед, в области же малых тд справедлива линеаризация (1) /ва д ад+ 11 — 11 тд — — ил+а(ид,1д)тд+)д(1д) тд, (17 3) где а(а,1)=дЬ(и,1,т)1дт)«о*>. Все это приводит к модели непрерывного изменения вектора состояния, описываемой стохасти еск м (включающим белый шум) дифференс(и- альным уравнением (17.2) Прямое измерение можно считать частным случаем косвенного, соответствующим Ь (и, 1) = а. Модель рис.
17.2 не является единственно возможной моделью непрерывного изменения параметра. Иногда используют модели непрерывных гауссовских случайных процессов с заданными корреляционными функциями [11). Достоинством модели рис. 17.2 является ее представимость в виде простого дифференциального уравнения (4) заранее выбранной размерности, удобство решения нестацнонарных и стационарных задач.
Как и в дискретном случае, размерность (4) определяет число обратных связей следящей системы измерения параметра. Наличие в модели рис. 17.2 источника белых стационарных (а не «окрашенных» нестационарных) шумов не снижает ее общности. Распространение модели на случай небелых шумов аналогично распространению модели рис. 16.1 на последовательности с взаимозависимыми дискретами (равд.
16.3). * В тексте обозначение а соответствует аналогичной полужирной латинской букве на рисунках. 274 с(и1с(1 = а (а, 1) + )д (1). (17.4) Скорость изменения вектора состояния и включает согласно (4) составляющую а (и, 1), связанную с регулярным движением, и составляющую )с (1), связанную со случайным маневрированием цели. Применительно к косвенному измерению (рис.
17.2) модель (4) включает звено неслучайного преобразования вектора состояния и в вектор наблюдаемых параметров О=Ь(сс, 1). Рис. !7.2 Пусть задана модель ((а')й=а' (а',!)+Х(!), включающая вектор нестационарных небелых шумов )( (!), определяемый через вектор стационарных белых шумов )в" (!) дифференциальным уравнением бХ (!)7б!=а" (Х. !)+И" (!) От вектора состояния се' размерности т перейдем к расширенному аекшору состояния (в размерности 2кь включая в его состав все составляющие векторов а' и у.
Введем также векторную функцию а (и, !) размерности 2т, у которой т составляющих соответствуют правой части уравнения модели, остальные— составляющим вектора а' (х, т). Введем, наконец, расширенный вектор белых шумов, содержащий т нулевых составляющих и и составляющих вектора (а' (г). Расширенный таким образом вектор состояния и полностью охватывается уравнением (4) и схемой рис. !7.2. 47.2. Характеристики модели непрерывного изменения параметра Применительно к модели рис. 17.2 обсудим характеристики: — маневра цели; — взаимосвязи приращений векторов О и а в фиксированный момент времени; — взаимосвязи регулярных приращений вектора а в различные моменты времени.
Как и в генераторе случайных чисел рис. 17.1, в модели (4) происходит накопление случайных воздействий, приводящих к эффекту маневра. Накопленные за малое время т случайные воздействия С+т ) (()й( имеют нарастающую с увеличением т взаимную корреляционную матрицу скалярных составляющих. Скорость нарастания этой матрицы г+т е+т — м ) в(чй ) е ()а]=ч(~) (!76) т- о ((т назовем удельной матрицей текущего маневра цели. Для принятого предположения М [)ао (7))а,' (з)! = (1(2) 1б (7 — з) матрица текущего 275 маневра а®=8(()" П'М(р,(() р:(з))ййвб (4, . = 18(1)8 (). вт,) 3 2 Ранее введенная матрица дискретного маневра при условии детализа- ции (1) связана с удельной матрицей соотношением 'ь+'к сд+~„ 'ь+~ь Яд — — М ) р (() йг ~ и' (з) йз = ) 1л (г) Ж.
(17.7) с„ с„ 'к Важной характеристикой модели, показанной на рис. 17.2, является также матрица статической взаимосвязи изменений векторов наблюдаемых параметров 0 и состояния а Н = )) дйи>/дай> й = Н 11, а (1)). (1?.8) (17.10) В =-1+Ат, (17.11) где А — удельная матрица регулярного изменения вектора состояния: А =- !) да<%дави (! = () д'Ь<Чдтда~п )). (17.12) Матрица А = А (й а) и является искомой характеристикой динамической взаимосвязи регулярных приращений скалярных сост вляющих векторной функции а (А а) модели на рис.
17.2, а значит, и вектора состояния а. Динамичность атой взаимосвязи проявляется в том, что скорости изменения составляющих вектора состояния связываются со значениями составляющих в данный момент времени. 17.3. Уравнения и структурные схемы фипьтрвции при непрерывном оценивании К уравнениям фильтрации результатов непрерывного оценивания перейдем от аналогичных уравнений (1б.!8), (16.21) фильтрации при дискретном оценивании, Линеаризуя временную зависимость матрицы точности текущего измерения наблюдаемых параметров Сам+» для 76 Третья характеристика модели рис.
17.2 описывает динамическую взаимосвязь регулярных изменений различных составляющих вектора состояния а. Взаимосвязь регулярных изменений вектора состояния в моменты времени Г„ и Гд+, — — Гк + ть в дискретном случае задавалась матрицей В=-)(дб<'Чдасб ~) = В (~д, ть). (17.9) Для малых интервалов т между наблюдениями Ь (а, 1, т) =- а+ а (а, Г) т. Подставляя (10) в (9), находим малых интервалов времени т, = 7дч., — 7д, получаем дд+тд Св (д+ ы = ) Св(Г) йГ ж Св ((д) тд. дд (17.13) Здесь учтено рассмотренное в гл. 13, 14 повышение точности регулярного измерения при увеличении энергии сигнала. Матричный коэффициент пропорциональности Св (7д) определяет скорость нарастания матрицы точности при увеличении времеви наблюдения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
