Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(16. 7) Здесь С» ' = М (е»е») — результирующая корреляционная матрица ошибок измерения на я-м шаге. Корреляционная матрица ошибок прогнозирования окончательно принимает вид СУ1»+,> — В» С В;+(),. (16.8) Закон распределения случайного вектора (5), как и его составляющих, можно считать нормальным. Выражения (6) и (8) определяют параметры этого закона. Выражения результирующей матрицы точности (13.37) и результирующеи оптимальной оценки (13.44) с учетом данных текуще- гО измерения имеют вид: С»+» (В» С» В» + О») ~ + С» 1»+ > > а»+» — — Ь»(а»)+С»+> С» 1»+»(а»1»+» — Ь»(а»)1. Выражение (10) является дсновным линеаризованным уравнен ем квазилинейной рекуррентной фильтрации оценок веппора а в случае прямого измерения.
По первой оценке и данным измерения оно определяет вторую, по второй и новым данным измерения — третью и т. д. Структурная схема дискретной следящей системы, реализующейфильтрацию оценок (10), представлена на рис. 16.8. Отфильтрованная оценка запоминается с помощью элемента задержки и используется для прогноза на следующий шаг. Прогноз производится с помощью функции Ь» (а»), корректируемой в общем случае на каждом шаге.
Невязка текуи1ей оценки и данных прогноза с установленньил матричным у(я+г> Рис. 16.8 256 Рис. 1а.9 тб.у. Линеаризованные уравнения и структурные схемы фильтрации дискретных оценок в случае косвенного измерения Чтобы связать оценки О и <т, линеаризуем связь (2) между параметрами О и о в окрестности прогнозируемой оценки ц, = с<,<ь+,1 6 = 1< (оо) + Н (« — цс) (16,11) где Н = Н„+, — прямоугольная матрица статического пересчета изменений вектора состояния в изменения вектора наблюдаемых па- раметров Н = !) дй«>,<де<«1 )(„ (16.12) 957 9 аыь 3075 весом добавляется к прогнозированной оценке, что и дает результируюсцую оценку.
Уравнение (9) определяет матрицу точности результирующего измерения на каждом шаге С„+„а также изменяющийся (в общем случае) матричный козф4ициент учета невязок СД <С„<„<. м. После любого шага фильтрации можно перейти к оценке а„ прогнозированной на любое время вперед, и к корреляционной матрице ошибок прогноза Су', используя для этого соотношения (6) и (8).
Корреляционные матрицы ошибок текущих измерений и маневра цели могут быть в некоторых случаях грубо оценены заранее, что сразу определяет значения входящего в (10) матричного коэффициента невязок. Для их более точного вычисления могут использоваться текущие данные о помехах, получаемые системой первичной обработки. В отличие от схемы рис. 16.8 схема рис. 16.9 составлена с использованием обобщенного дискриминатора первого рода. Весовым коэффициентом выходного эффекта А является поэтому корреляционная матрица ошибок С<,,'<. Цепь выработки опорного напряжения с параметром а, <„ + м (как элемент следящего измерителя рис.
13.9) здесь не показана. Подразумевается, что она включена в состав дискриминатора. Вычисляя условные математические ожидания обеих частей равенства (11) после приема реализации у, найдем О=Ь(и,)+Н(и„—.,). Разность выражений (11) и (13) определяет связь ошибок текущего измерения ея = Π— О и е„= а — и» по одной и той же принятой (Й+ 1)-й реализации у: ев =- Не„. (16. 14) Соответствующая связь корреляционных матриц ошибок измерения Св ' = М (ев е') и С„' = М (е„е„') определяется аналогичным (7) соотношением: Св = НМ (еа е т) Нт — НС» х Нт (16.
15) Последнее выражение можно считать матричным уравнением, связывающим известную корреляционную матрицу ошибок Св ' с неизвестной С„'. Входящие в (15) прямоугольные матрицы Н размера тХн при т ~ и не имеют обратных. Для решения (15) умножим обе части равенства (15) размера т Х т справа на квадратную матрицу Св размера т Х т, затем на прямоугольную матрицу Н размера т Х и.
Учитывая, что Св ' Св = 1, получаем выражение Н = — Н (С„' Н' С Н), (16.16) свидетельствующее об единичном характере выделенной скобками матрицы-произведения размера и Х и: С„-'Н СвН=1. Неизвестная матрица точности С„размера н х и определяется так: С„= Н'С Н. (16.17) Подставляя (17) в (9) и уточняя индексы нумерации шагов измерения, окончательно находим выражение результирующей матрицы точности Сд+т =- (Вд Сд ' В;+ Од) '+ Н;+ г Св гд+ ~1 Нд ьх*1 (16 18) Подставляя (17) в (1О), получаем выражение ад+,= Ьд(ад)+ Сд+тг Нд+ г Св 1д 11ндет [а» гд ьгг — Ьд (ид)).
(16 19) Замечая, что Ьд (ад) = а,1д,,1 и заменяя в (19) согласно (13) Ндет [а» гд+ г1 — Ьд (ид) [ =- Одь, — Ьд+„[Ьд (ад)), (16.20) находим линеаризованное уравнение нвазилинейной фильтрации результатов косвенных измерений сед„., = Ьд (ад)+ Серг Нд„1 Св гд+ г1(Оды — Ьд+, [Ьд (ад))). (16 21) *1 Обращением атриц Сд (Д = 1, 2, ...) в процессе их ренуррентного вычисления упрощается при использовании последующих формул (20.6), (20.10).
268 Оно определяет оценку вектора состояния а1д.дм на основе его предыдущей оценки ад и текущей оценки Од+, вектора наблюдаемых паг раметрон. Частным случаем уравнений (18), (21) являются широко используемые уравнения фильтрации Калмана. Они соответствуют линейному, нестационарному в общем случае варианту модели рис. 16.7: Ьд (а„) = Вд ад, Ьдг д (а„) = Нд+, ад. (16.22) Уравнение (18) сохраняет при этом свой вид, уравнение'(21) видоизменяется: Ь„(ад) = Вд ад, (16.23) (16.24) Линейная форма уравнений фильтрации с заменой (23), (24) достаточно эффективна при решении ряда задач, Квазилинейная форма (18), (21), (4), (12) расширяет, тем не менее, применимость результатов теории. Как и линейная, она реализуема в цифровом виде.
Структурная схема фильтрации оценок рис. 16.10, определяемая (21), отличается от схемы рис. 16.8 следующим: — составляется невязка оценок вектора наблюдаемых параметров, а не вектора состояния; — наряду с вектором состояния а прогнозируется вектор наблюдаемых параметров 0; — матричный вес невязкн учитывает специфику косвенных измерений.
Уравнения фильтрации (9), (10), (18), (21) выводились для гауссовской статистики. Уравнения фильтрации Калмана оптимальны по л л ~0%+1) Рис. 16.10 259 критерию минимума средиеквадратической ошибки и при произвольной статистике, но лишь в классе линейных (по отношению к оценкам) уравнений фильтрации. Сущность и возможности разнообразного использования уравнений фильтрации (9), (10), (18), (21) поясним на простейших примерах. Возникающие иногда трудности практической реализации рекуррентной обработки и ее непрерывного аналога рассматриваются в равд. 17.6. 46.8. Примеры синтеза и анализа измерителей дискретно изменяющихся во времени параметров Пример 1.
Измеряется скалярный гауссовско-марковский параметр примера 6 равд. 16.4 (рис. 16.5) для случая с =- 1. Матричные величины вырождаются при этом в скалярные С '=%, Су'----Юу, О=Яр, В=-1, ~=1, где Ю, Юх, ʄ— дисперсии результирующего измерения, текущего измерения и маневра. Уравнения (9) и (10) преобразуются к виду ад+. =ад+(Кд.1.1!Х'„1д+11) (ае1д+11 — ад), (16.25) 17~ад-н = 17(~д+ -оцд) + 1~и'э1д+11 ° (16.26) Результирующая дисперсия уменыпается согласно (26) по мере накопления данных измерений.
Результаты расчета для случая й1эд —— Ют, 5 ид = 9.'„!6 при отсутствии априорных данных (91,-+. со) сведены в табл. 16.1. Они свидетельствуют об установлении дисперсии ошибки Ю. Установившееся Таблица 16.1 значение 50 найдем из условия у) -~ =-'Од=К (1627) приводящего в силу (25) к квадратному уравнению для Ю. Установившееся значение л3 стремится к нулю только в отсут- 77д 777д 0,64 0,41 0,37 0,36 ствие элементов случаиного маневра (93 = 0). Решением уравнения для принятого 57 = .'Ю„76 является Ю ж 0,33 Юю Процесс установления, поясняемый табл. 16.1, идет в данном случае достаточно быстро.
Постоянство установившегося весового коэффициента .'ЙЮ, соответствует дискретной следящей системе с постоянными параметрами (рис. 16.11). Накапливающим ее элементом служит рециркулятор (штриховая линия). Установившееся значение дисперсии Х тем ниже, чем меньше Ю„ и К„. Установившийся режим фильтрации при $ = 5 Мх (С 1 называют режимом экспоненциального сглаживания. В этом режиме ссд+д = ссд (1 — $) + Еа„<д+т1, где яд — оценка, прогнозированная по предыдущим данным. При нулевых результатах текущего оценивания а„= 0 для всех й ) и система воспроизводит начальную оцен- 260 ку а„с убывающим по экспоненциальному закону передаточным коэффициентом ач+ч=(1 — $)" а„е лгах Величину в называют коэффициентом зкспоненциальноео сглаживания.
Леччрнулямор Пример 2. Рассмотрим фильтраРис. 16.1! цию (последовательное сглаживание) данных о координате а>г>, изменяющейся по линейному закону. Последняя входит в состав векторного неслучайно изменяющегося па! а(о раметра а = !(аоо !! (дальность — приращение дальности) примера 2 равд. 16.4.
Наблюдения ведутся только за первой скалярной составляющей параметра а<'> = 8 = Ь (а) (дальностью) с постоянной дисперсией ошибки ое = С „' текущих (равнодискретных и равноточных) измерений. Как и в упомянутом примере, в=!!,, !!. О=о. Статическая матрица пересчета Н = !1 дй<%дап> 1! = 11 1 О>1. Подставляя значения В, Я, Н, Сз в (18), находим выражение матрицы точности Сдэ, на (й+ 1)-м шаге (16.28) (16.29) (И.зо) Рьэт = Рь+ 1/ае, )~к+1 )>А 1 ь~ 3ь+ =Ба — 2йь+Рь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
