Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Зафиксируем некоторую величину а многогранника М. Так как М— правильный многогранник, то по следствию 1 1Р(М)1 = и 1Р(М),„1. Остается подсчитать число движений многогранника М, оставляющих на месте вершину а. Пусть а1,..., а~ — все вершины, смежные с а. Очевидно, любое движение у Е Р(М)~ есть поворот вокруг оси симметрии, проходящей через точку а, и ~р однозначно задается указанием образа ~р(а1) элемента а1.
Более того, если ~р Е Р(С), то ~р(а1) Е 1а1,..., ат,), так как ~р(а1) остается смежной вершиной для а. Наконец, для любой смежной с а вершины а; существует движение у Е Р(М)~ такое, что ~р(а1) = а,. Таким образом, 1Р(М),„1 = й, и потому 1Р(М)1 = пИ.
П О п р е д е л е н и е 28. Группа движений правильного плоского и- угольника называется группой диэдра степени п и обозначается через .Р„. Из следствия 2 леммы Бернсайда имеем 1Р„1 = 2п. В частности 1Рз1 = 6, и потому Рз — — Яз,~Р41 = 8 и Р4 — пример некоммутативной группы порядка рз (ср. с теоремой 12). ~ 8. Цикловая структура и четность подстановки.
Знакопеременная группа 1. Всюду далее й — произвольное множество мощности и. В теории групп подстановок большое количество результатов основывается на следующем способе представления подстановки в виде произведения подстановок более простого вида. О п р е д е л е н и е 29. Элемент а Е й назовем мобильным элементом подстановки д е Я(й), если д(о) ф а, и неподвижным — в противном случае. Множество мобильных элементов подстановки д обозначим 269 5 4 2 1 3 4~5 (12) д = (г1, гг,..., г1,).
д= 11 гг гг 1З 271 270 через пюЬд: пюЬд = (а Е й: д(а) ф а). Подстановки д, й Е Я(й) назовем независимыми, если пюЬд П пюЬй = Я. Например, в 55 подстановки д = <зг145) и й = (143г5) независи мы. Тождественная подстановка е независима с любой подстановкой из Я(й). Очевидны следующие свойства множества мобильных элементов подстановки: а Е пюЬд ~ д(а) Е пюЬд, пюЬд 1 = пюЬд, пюЬд = Я ~ д = е.
Доказательство перечисляемых ниже простейших свойств независимых подстановок предоставляется читателю. У т в е р ж д е н и е 10. Если д, й — независимые подстановки, из Я(й) то: а) для любых а Е пюЬд,,В е пюЬй верны равенства: б) пюЬ д й = пюЬд 0 пюЬ й; в) дй=йд; г) дй=емд=й=~; д) д= йод= й=~; е) Чз, Ф е У (подстановки д', й' — независимы); ж) огс1д й = ~огс1д,огай]. О п р е д е л е н и е 30. Подстановку д е Я„называют циклом, если д ~ ~ и существует перестановка (11,..., г„) элементов множества Й такая, что д имеет вид: т. е. мобильные элементы подстановки д переставляются ею "по циклу": При этом число й = ~ пюЬд~ называется длиной цикла д.
/1 2 3 4 51 НапРимеР подстановка д = ~ 1 б 3 2 4 ~ является циклом длины 3, так как, упорядочив элементы 1,2,...,5 следующим образом: 2,5,4,1,3, получаем 2 Вместо записи (11) для цикла д употребляют значительно более экономную формальную запись: Отметим, что из (12) нельзя однозначно определить степень подстановки д и, в случае необходимости, эту степень нужно указывать отдельно. Полезно иметь ввиду, что цикл д длины й может быть записан ровно й различными способами в форме (12): д = (г1,1г,...,г1, 1,г1,) = (гг,гз,,гьз1) = (гз,и,.,гьг1 1г) = ... = (г1„з1,..., г~ 1).
(13) Т е о р е м а 17. Произвольная неединичная подстановка д Е Я(й) либо является циклом, либо раскладывается в произведение некоторого числа попарно независимых циклов. Такое разложение однозначно, с точностью до перестановки сомножителей. П Существование нужного разложения для д доказывается индукцией по параметру т = ~ пюЬд~.
Если т = 2, т. е. пюЬд = (а1,аг1, то очевидно, что д = (а1, аг) — цикл длины 2. Пусть з > 2, и первое утверждение теоремы верно для всех д Е Я(Й) таких, что 2 ( т ( з. Предположим, что т = з. Выберем элемент а Е пюЬд и рассмотрим последовательность элементов: а д(а) ... д (а) (14) Так как все элементы этой последовательности принадлежат й, то в ней есть лишь конечное число различных элементов, и можно утверждать, что для некоторого Й Е 1,л элементы а,д(а),...,д" (а) различны, а д~(а) совпадает с одним из них. При этом й > 1, так как Й~(а) = Д(а) для всех г Е 1Ч. (17) й' (а) = а м Д(а) = а, (15) пюЬ Й, С пюЬд~, г Е 2,8, (16) ~ (а) = д(а) = Иа). 272 273 д(а) ф а. Покажем, что д" (а) = а.
Если это не так, т. е. д" (а) = де(а), где й > 8 > О, то, применяя к обеим частям последнего равенства подстановку д ~, получаем дь ~(а) = д~ ~(а), й — 1 > 8 — 1 > О. Это противоречит выбору параметра й. Следовательно, д"(а) = а,и последовательность элементов (14) имеет вид: Отсюда следует, что элементы множества Ь| = (а, д(о),..., д~ (а)1 преобразуются подстановкой д точно так же, как и циклом и потому все эти элементы неподвижны относительно подстановки д~ —— = 'а ~д, причем пюЬд~ = пюЬд~Ь|.
Если пюЬд~ — — Я, то д~ = е и д = = й~ — цикл. Если пюЬ д~ = Я, то ~ пюЬ д~ ~ = т — й ( з и по предположению индукции подстановка д~ или является циклом Й~, или раскладывается в произведение попарно независимых неединичных циклов: д~ — — й~ ... й~. В таком случае подстановка д следующим образом раскладывается в произведение циклов: Причем, при 1 > 1 циклы в этом разложении попарно независимы, так как по утверждению 10 6) а поскольку пюЬй~ = Ь| и Ь| П пюЬд~ = Я, то пюЬй~ и тпоЬй, = Я для г Е 2, 1. Первое утверждение теоремы доказано.
Допустим теперь, что, наряду с разложением (15), подстановка д имеет еще одно разложение: в котором либо з = 1 и д = ~~ — цикл, либо з > 1 и 1~,..., ~, — попарно независимые циклы. Выберем элемент а Е пюЬ й~. По утверждению 10 б), а Е пюЬд и а Е пюЬ ~, для некоторого г Е 1, з. Переставив, если надо, сомножители в разложении (16) (это можно сделать по утверждению 10 в)), считаем, что а Е пюЬ~~. Покажем, что й~ = ~~. В силу утверждения 10 а) справедливы равенства: Но в таком случае опять верны включения д(а) = й~(а) е пюЬ й~ П П пюЬ~~, и, применяя то же утверждение, получаем цепочку равенств: й'(а) = а (д(а)) = д(д(а)) = Л(д(а)) = ©а) Продолжая аналогично далее, получаем: Так как Й~ = (а,й~(а),...,Й~ (а)) и ~~ = (а,~~(а),...,~~ (а)) для некоторых й, К Е 1Ч, то из (17) следует, что й = К, поскольку и мы приходим к равенству й~ — — ~~.
Отсюда видно, что если в (15) Ф = 1, то в (16) з = 1, так как иначе выполнялось бы равенство е = ~~ которое, по утверждению 10 г), невозможно, ввиду попарной независимости неединичных подстановок ~~,..., ~,. Если же 1 > 1, то и з > 1, и справедливо равенство йг .... й~ — — ~г .... ~,. Теперь доказательство совпадения разложений (15) и (16) легко завершить индукцией по з+ 1, приняв за первый шаг индукции случай, когда з+1 = 2, т. е. з = 1 = 1. П В качестве примера приведем разложение: < 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ~ 1 5 9 8 6 2 4 7 3 ) = (О, 1, 5, 2, 9) (3, 8) (4, 6).
(18) Допустим, что разложение подстановки д Е Я(Й) в произведение попар- но независимых циклов имеет вид: д= (а~,...,а~) (Д,...,Д) .... (у~,..., у~), (19) и б~,..., б„— неподвижные элементы относительно подстановки д. Для того чтобы подчеркнуть, что подстановка д действует и на этих элемен- тах, не указанных в разложении (19), их называют единичными цикла- ми подстановки д, и подстановку д записывают в виде: д = (а~,..., а/с) (Я,...,Д) ...
( у~,..., у,) (б~) ... (б„). (20) О п р е д е л е н и е 31. Представление подстановки д Е Я(й) в виде (19) или (20) называют ее разложением на независимые циклы. Например, подстановка (18) раскладывается на независимые циклы следующим образом: Согласно теореме 17 разложение (20) для подстановки д однозначно, с точностью до перестановки сомножителей, и потому корректно. О п р е д е л е н и е 32. Цикловой структурой подстановки д называется таблица [д] [~г >~2 >'''>~ш ]> указывающая, что разложение (20) подстановки д в произведение независимых циклов (включая единичные) состоит из Йг циклов длины Кг, Йг циклов длины 8г, ..., Й циклов длины 8 Например, цикловая структура подстановки (18) есть [1г, 2г, 51].
Для любой подстановки д Е Я(Й) по ее цикловой структуре легко вычислить ее порядок. Т е о р е м а 18. Порядок цикла равен его длине. Порядок произвольной подстановки д Е Я~й) равен наименьигему общему кратному длин циклов в ее разложении на независимые циклы. П Если д = (ао,а1,...,сц, г) — цикл длины й, то для г Е О,й — 1 справедливы соотношения д(сг,) = сг, > 1, где ® — сложение в Ж~.
Отсюда индукцией легко получить, что для любых г Е О, Й вЂ” 1 и т Е 1Ч верно соотношение: »>г д ~сгг) = Т~гв(») = сгг,(г+ш)> где гь(т) — остаток от деления т на к. Теперь очевидно, что (д = е) м (г~(т) = 0), т. е. огс1д = Й. Если разложение д в произведение попарно независимых циклов имеет вид (15), где 1 ) 1, то, ввиду попарной перестановочности циклов йг,..., Йг (утверждение 10 в)), для любого з Е 1Ч верно равенство д' = йв1 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
