Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 51
Текст из файла (страница 51)
/~р( ) является класс Так как нейтральным элементом в группе К/ (Н~ 'Р(н) и 4(д) = ~р(д) ~р(Н) для любого д Е С, то верны соотношения: д Е Кег Ф «=» ~р(д) ~р(Н) = р(н) «=» р(д) Е о(Н) «=» «» д Е ~р ~(~р(Н)) = Н Кег р. П С л е д с т в и е. Если Ф Н— . Если Ф,Н вЂ” нормааьные подгруппы группы С и М С Н, то Н/И < а/Ф, и П Факторгруппа Н/И есть образ нормального делителя Н группы С при каноническом гомоморфизме ~р: а ~ а/И, так как по определению Н/И вЂ” есть множество разных смежных классов вида дФ, где д Е Н. Тогда в силу теоремы 29 имеем: (а/И)/~р(Н) = (а/И)/(Н/И) ~ а/Н- Кег~р. Остается заметить, что Кег ~р = Ф С Н, и поэтому Н.
Кег ~р = Н. П Доказанное следствие имеет еще более простую арифметическую интерпритацию. П р и м е р 38. Пусть С = У. > Н > № Тогда И = пУ Н = ЬУ и п = т 6, где т, п, 6 е № Отсюда имеем а/Н = Ж/ЬЖ и Жь, а/Ф = и У„, Н/И = ЬУ/пУ, И Ж и Н/И вЂ” подгруппа порядка т в У.„, порожденная делителем 6. Поскольку все выписанные группы — циклические, а изоморфизм таких групп эквивалентен равенству их порядков, то изоморфизм (38) в рассматриваемом случае есть эквивалент равенства 6 = ф' ~ 13. Простые группы 1.
Изучение группы путем ее "упрощения" с помощью гомоморфизмов или факторизации возможно лишь в тех случаях, когда она имеет собственные нормальные делители. Однако этим свойством обладает не любая группа. О и р е д е л е н и е 39. Неединичную группу С, не имеющую собственных нормальных делителей, называют простой. Описание всех простых групп — один из основных и самых сложных разделов современной теории конечных групп. Простые абелевы группы, т.
е. абелевы группы, не имеющие собственных подгрупп, описываются очень легко. Т е о р е м а 30. Неединичная абелева группа (С, ) явллется простой тогда и только тогда, когда она — конечная группа простого порядка. П Если ~а[ = р — простое число, то по теореме Лагранжа С не имеет собственных подгрупп. Пусть, наоборот, С вЂ” простая абелева группа.
Выберем любой элемент д Е а~ ~е). Тогда (д) — неединичная подгруппа в С, и так как С не имеет собственных подгрупп, то С = (д) — цикличе- ская группа. Но в таком случае по теореме 4 либо С И У, либо С М У,п. Если С и У или С М У,п где т — не простое число, то в С легко указать собственную подгруппу.
Следовательно, С М Жр, где р — простое. П 2. Первую серию конечных простых неабелевых групп открыл еще Э. Галуа. Его результат можно сформулировать следующим образом. Т е о р е м а 31. Зкакоперемеккые еруппы Ап просты при всех и > 3 за исключекием случая п = 4. П Аз — — ((1, 2, 3)) — простая абелева группа порядка 3. А4 — не простая (не абелева) группа, ее собственным нормальным делителем является подгруппа Клейна (см.
пример 34). Докажем простоту Ап при и > 5. Л е м м а 3. При п > 5 любые два цикла дликы 3: д = (а1, аг, аз) и 6 = (а1, аг, аз) сопряжены в Ап. П Уравнение х 1дх = 6 имеет в Я„решение вида: а1 аг аЗ а4 аз . ап 1 С~1 С~г С~З С~4 С~3 ° .. О~п ( Но тогда, очевидно, подстановка ( а1 а2 аз а4 аз ° ° ° ап ~,О1 Ог ОЗ Оз О4 ° ° ° Оп( — также решение этого уравнения. Так как ~ и ~' — подстановки разной четности, то одна из них принадлежит Ап.
П Пусть С вЂ” неединичный нормальный делитель в Ап. Покажем, что С = А„. Среди элементов С выберем неединичную подстановку д с наименьшим числом мобильных элементов. Достаточно показать, что д — цикл длины 3, так как тогда по лемме 3 в С лежат все циклы длины 3 и по теореме 21 С ~ Ап. Покажем сначала, что в разложении подстановки д в произведение независимых циклов все неединичные циклы имеют одинаковую длину.
Действительно, если в этом разложении есть циклы длин й и т, и 1 < й < т, то д" Е С ~ (е), причем ~ п1оЬ д" ~ < ~ п1оЬ д~, что противоречит выбору подстановки д. Следовательно, разложение д на независимые неединичные циклы имеет вид: д=(а1 .,аь) (61,...,6ь) .... (с1,...,сь), Й >2. (39) Допустим, что число циклов в разложении (39) равно 1. Наша задача — доказать, что й = 3, Ф = 1. 294 — 1 Заметим, что для любой подстановки ~ е Ап подстановки ~ д ~ и д' = д 1 ~ 1 д. ~ принадлежат Н. Покажем, что если й ф 3 или Ф > 1, то можно подобрать подстановку ~ Е А„так, что д' ф е и ~ п1оЬд'~ < < [ п1оЬд~, а это противоречит выбору д. Если й > 3, то, выбирая ~ = (а1, аь аг), получаем (40) ~ Е А„, п1оЬд' С п1оЬ д и д' = (аь,аь 1,...,аг,а1) (аь,а1,аз ° аа 1,аг) = (а1).(аг аз аь)' ° Следовательно, (41) д' ~ е, д'(а1) = а1 и ~ п1оЬд ~ < ~ п1оЬд~. Если й = 3, но Ф > 1, то для ~ = (аг,Ьг, 61) выполняются условия (40) и д'= (63,62,61) (аз,аг,а1) (а1,Ьг,аз)-(аг,Ь1,Ьз) = (а1) (аг,Ьг,...), д' = (Ьг,Ь1) .
(аг,а1) . (Ьг,д) = (61,462). Наконец, если й = 2,$ > 4, то ~ п1оЬд~ > 8, и, выбирая У = (а1, 61,с1), получаем д' = (сг,с1) (62,61) . (аг,а1) (61, аг) (с1,62) (а1 сг) = = (а1, Ь1, с1) (аг, сг, Ьг). Следовательно, ~ п1оЬ д'~ = 6 < 1п1оЬ д1. Таким образом, разложение (39) имеет вид д = (а1, аг, аз), и потому Н= Ап. П 3. Еще одна важная серия простых групп, найденная К. Жорданом — это проективные специальные линейные группы. Пусть Р— поле, и т Е 1Ч.
Подгруппа полной линейной группы СЬ(т,Р), состоящая из всех преобразований ~рл (см. пример 22), для которых ~А~ = е называется специалькой ликейкой группой и обозначается $1,(т, Р). Центр 295 отсюда также следует (41). Если й = 2, то 1 — четно, поскольку д Е Ап. При этом если Ф = = 2, т. е. д = (а1, аг) (61, Ьг), то, ввиду условия п > 5, можно выбрать д Е 1,п ~ (а1,аг, 61,62). Тогда условия (40) и (41) выполняются для ~ = (61162, д), поскольку в этом случае С(Я1'(т, Р)) группы И'(т, Р) состоит из всех принадлежащих ей скалярных матриц (докажите).
Факторгруппа И,(т, Р)/С(ЯЦт, Г)) называется проективной специальной линейной группой и обозначается РЯ1(т, Р). Если Р— поле из о элементов, то употребляется обозначение РЯЦт, о). Приведем без доказательства следующий результат. Теорем а Ж о р д а н а — Д и к с о н а 1~. Для конечного поля группа РЯ? (т, Г) проста, за исключением случаев: РЯЦ2,2), РЯЦ2,3).
Приведем еще два важных результата (которые, однако, далеко не полно характеризуют настоящее состояние теории). Теорема Бернсайда. Любаягруппапорядкар'дь, гдер, д — простые, не проста. Т е о р е м а Ф е й т а 14 — Т о м п с о н а '6. Любая конечная неабелева группа нечетного порядка — не проста, Полезно иметь в виду, что первое опубликованное доказательство последней теоремы занимает несколько сотен страниц — целый выпуск математического журнала.
Таким образом, порядок любой конечной простой неабелевой группы делится на 2 и еще на два нечетных простых числа. Самая маленькая простая неабелева группа есть группа А6 порядка 60. Выдвинута гипотеза (называемая Я-гипотезой) о том, что классификация конечных простых групп завершена, т. е., что список уже найденных простых конечных групп содержит все существующие простые группы.
Эта гипотеза, однако, до сих пор (2002) окончательно не подтверждена. ~ 14. Силовские подгруппы Выше уже отмечалось, что обращение теоремы Лагранжа в общей форме для конечных групп неверно. Однако такое обращение справедливо для любой конечной группы в одном важном случае. 1. О п р е д е л е н и е 40. Подгруппу Н конечной группы С называют р-подгруппой, или примарной подгруппой, если ]Н~ = рв, где р— 1З А.
Л. Диксон (1867 — 1955) — английский математик. 14 У. Фейт — современный американский математик. 15 Д. Ж. Томпсон — современный американский математик. простое число, й е М. Если при этом р есть наибольшая степень чисй ла р, делящая ~С], то подгруппу Н называют силовской р-подгруппой группы. Следующие результаты, полученные норвежским математиком П.
Л. Силовым 16 более ста лет назад, по своей фундаментальности и многообразию приложений сравнимы с самой теоремой Лагранжа. Т е о р е м а 32 (первая теорема Силова). Если (С, ) — группа порядка и, р — простой делитель и и рс]и, то в С существует подгруппа порядка р'. В частности, в С существует силовская р-подгруппа. Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение.
Л е м м а 4 (Коши). Если (А,.) — абелева группа порядка т и р— простой делитель т, то в А существует подгруппа порядка р. П Индукция по т. Если т — простое число, то лемма очевидна. Пусть Ф > 1, и лемма верна для всех групп А таких, что т < № Докажем ее для т = № Очевидно, достаточно доказать, что в А есть элемент порядка р. Выберем произвольно 6 Е А ~ (е). Если огсз 6 = г и р]г, то нужный элемент есть 6~, к = ~„-. Пусть р [ г, т. е. (р, г) = 1. Рассмотрим подгруппу В = (6) группы А и факторгруппу А/В. Так как [В[ = г, то ~А/В] = ™„и р~ — ™ „, поскольку р [ г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
