Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Т е о р е м а 22. Подстановки д,й Е Я„сопряжены в Я„тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру. П Допустим, что разложение подстановки д на независимые циклы, включая единичные циклы, имеет вид д = (ад,...,ад>) (Ьд,...,Ье) ... (сд,...,с»,)>Й+8+... +т = п. (25) Тогда, если 6 — подстановка, сопряженная с д, и ~ есть решение уравнения (24), то по лемме 2 справедливо равенство 6 = (Дад),... > ~(ак)) (ДЬд),... > ДЬе)) ....
(ДЬд),... > ДЬ„,)), (26) представляющее собой разложение подстановки 6 также на независимые циклы. Таким образом, подстановка 6 имеет ту же цикловую структуру, что и д. Наоборот, допустим, что 6 — произвольная подстановка с той же цикловой структурой, что и д. Тогда для подходящей перестановки (ад»... аь>,дд> ., ~Зе>..., ~д>... > -~~„) множества 1, п разложение 6 на независимые циклы имеет вид: 6 = (Од »... Ой) ' (А » - 0е) (7д > . ° "(>и) Пользуясь разложениями (26) и (27), составим подстановку Ввиду леммы 2 очевидно, что ~ — решение уравнения (24), т.
е. подстановки д и 6 сопряжены. П Помимо критерия разрешимости уравнения (24), теорема 22 дает способ построения его решения в виде (28). Более того, эта теорема дает способ описания всех решений уравнения (24). Действительно, сравним разложение (26) подстановки 6 на независимые циклы, построенное по произвольному решению ~ уравнения (24), и произвольное разложение (27) подстановки 6 на независимые циклы при том же упорядочении длин циклов, что и в разложении подстановки д. Видно, что каждая запись (26) совпадает с некоторой записью (27) и, значит, любое решение ~ уравнения (24) может быть представлено в виде (28) при подходящем выборе записи 6 в виде (27).
При этом очевидно, что запись (25) подстановки д можно зафиксировать. Таким образом, нами доказано С л е д с т в и е 1. Пусть разложение подстановки д на независимые циклы имеет вид (25), где й > 8» ... т, и 6 — подстановка из Я„с той же цикловой структурой что и д. Тогда множество всех решений уравнения (24) есть множество всех подстановок вида (28), соответствующих различным способам (27) разложения подстановки 6 на независимые циклы длин й > 8 »...
т. Рассмотрим один наглядный и важный с теоретической точки зрения пример. Пусть — полный цикл из Я„. Тогда множество решений уравнения (24) есть Фз„(д) — нормализатор элемента д в группе Я„, и по следствию 1 Фз„(д) есть множество подстановок вида: /ао ад ... а,„, д а,„, ... а,„д'д (, дЕО,п — 1. ~а, а,+д ... а„д ао ... а, д (' Выписанная подстановка ~ есть ни что иное, как д'. Таким образом, число решений уравнения (24) в рассматриваемом случае равно п и нами доказано (33) т1>тг»...т,>1; ] ~~ь, ~ь~ ~й„~ (29) (1) (г) От1 (з) 1 (з) йш„ (30) х 1дх=д, (31) 282 283 С л е д с т в и е 2. Если д — полный цикл из Я„, то Фз„(д) = (д).
Если подстановка д распадается на несколько независимых циклов, число решений уравнения (24) в случае его совместности может значительно превысить п. П р и м е р 30. Если д = (а, о) (с, д), 6 = (а„В) . (.т, б) — подстановки из 54, то число решений уравнения (24) равно 8, и множество его решений ~ описывается следующей таблицей: В общем случае решения уравнения (24) и их число описывает Т е о р е м а 23. Пусть д — подстпановка из Я„с цикловой стпрук- турои Тогда справедливы следующие утпверждения: а) группа Фз„(д) имеет порядок б) если 6 — подстпановка с той же цикловой стпруктпурой (29) и ~ — произвольное решение уравнения (24), то множестпво всех решений уравнения (24) есть правый смежный класс Из„(д) ~ и его мощность описывается формулой (30).
П а) Как уже отмечалось, Лз„(д) есть множество всех решений урав- нения которое может быть построено по правилу, описанному следствием 1 теоремы 22. Для подсчета мощности этого множества введем рабочий термин: нормальная запись подстпановки. Так мы будем называть раз- ложение подстановки д на независимые циклы вида: д=д1 дг ... д,; д,=(а~,...,а(').), тб1,з, т1>тг»...т,>1.
(32) В этой терминологии для описания всех решений уравнения (31) нужно: 1) зафиксировать какую-либо нормальную запись (32) подстановки д; 2) перебрать все возможные нормальные записи подстановки д: д = д1 дг ....д,; д, = (а1,...,а ' ), т Е 1,з, — (') ( ) 3) для каждого варианта (33) нормальной записи подстановки д построить решение ~ уравнения (31) в виде (1) (1) (г) (з) (з) а1 ... а„„, а1 ... а1 ... а„,. По следствию 1 теоремы 22 таким способом будут описаны в точности все разные решения уравнения (31). Из приведенного алгоритма следует, что число решений уравнения (31) равно числу различных нормальных записей подстановки д. Остается заметить, что для получения из нормальной записи (32) подстановки д всех ее нормальных записей (33) нужно: 1) всеми способами переставить между собой циклы одинаковых длин (для й циклов длины 8 это, согласно (29), можно сделать (й )! способами); 2) для каждого варианта расстановки циклов перебрать все возможные способы записи каждого цикла (согласно (13), для Й.
циклов длины 8. это можно проделать 8 ' способами). Теперь формула (30) очевидна. б) Заметим, что если ~ — какое-либо решение уравнения (24), то все подстановки из смежного класса Ф~„(д) . ~, очевидно, также будут решениями уравнения (24). Допустим теперь, что ~1 — еще одно решение уравнения (24). Тогда ~1 ~д~1 = ~ 1д~ = й, и, следовательно, ®~ ) д ° ~1~ = д, т. е. ~1~ Е Ф~„(д) и ~1 Е Ф~„(д)~. П С л е д с т в и е. Число иодстановок в Я„, цикловая структура которых оиисываетсл таблицей (29), равно и! П Ж)'~,"' П По теореме 22 совокупность указанных подстановок есть в точности класс [д]- элементов из Я„, сопряженных с подстановкой д из условия теоремы.
Остается заметить, что согласно теореме 11 справедливы равенства ][д] [=]Я.:лЪ„(д)1= " .и Ф! [~Чг,. (д) ] 3 а м е ч а н и е 8. Приведенный в доказательстве теоремы 23 алгоритм описания всех решений уравнения (31) пригоден для описания всех решений любого разрешимого уравнения (24) — достаточно лишь заменить в (33) подстановку д подстановкой и. Полезно обратить внимание на сходство утверждения б) теоремы 23 с теоремой 7.ЧП1 о связи между множествами решений неоднородной и ассоциированной однородной систем линейных уравнений.
Если уравнение (31) рассматривать как однородное, ассоциированное с (24), а систему линейных уравнений рассматривать как матричное уравнение, то в обоих случаях множество решений однородного уравнения — подгруппа, а множество решений неоднородного уравнения — смежный класс по ней, порожденный любым решением. ~ 11. Гомоморфизмы групп и нормальные делители Читатель уже знаком с понятием гомоморфизма группоидов и с примерами гомоморфизмов, которые, в действительности, почти все стро- ились в классе групп. Выше отмечалась и иллюстрировалась (см., например, доказательство теоремы 4) важная роль, которую играют гомоморфизмы при получении разного рода классификационных теорем и описании свойств алгебраических объектов.
В данном параграфе изучаются основные свойства гомоморфизмов групп и связанных с ними понятий. 1. Теорема 2.Х (об эпиморфизме) сводит описание гомоморфных образов произвольного группоида к описанию его конгруэнций и факторгруппоидов. Однако для произвольного группоида (и даже полугруппы) это — задача весьма сложная. Если же группоид С является группой, то можно установить связь между конгруэнциями и некоторыми подгруппами С и значительно упростить описание классов конгруэнтных элементов.
О п р е д е л е н и е 36. Подгруппу Н группы (С, ) называют нормальной или нормальным делителем группы С, если для любого д Е С выполняется равенство дН = Нд (т. е. множество левых смежных классов С по Н совпадает с множеством правых смежных классов). В таком случае вместо Н ( (С, ) пишут Н 0 (С, ). В любой неединичной группе С всегда есть два нормальных делителя Н = С и Н = (е), называемых несобственными. Остальные нормальные делители группы называют собственными. П р и м е р 31. В абелевой группе все подгруппы являются нормальными делителями. П р и м е р 32. В любой группе (С, ) ее центр С(С) (см.
пример 8)— нормальный делитель. (Докажите!) П р и м е р 33. Для любой группы С, если Н ( С и ~С: Н~ = 2, то Но С (в этом случае любой смежный класс С по Н совпадает с Н или с С ~ Н). В частности, для любого и Е М, А„< Я„. П р и м е р 34. В группе 54 подмножество К4 = (е, (1,2) . (3,4), (1,3) (2,4), (1,4) (2,3)) есть абелева подгруппа и нормальный делитель (докажите), группа К4 называется группой Клейна или четверной группой. П р и м е р 35. Не являются нормальными подгруппа ((1,2)) в Яа и любая циклическая неединичная подгруппа в Я„при и > 4.
(Докажите!) Следующие утверждения показывают, насколько свойство нормальности подгруппы устойчиво и делает подгруппу похожей на подгруппу абелевой группы. 284 285 У т в е р ж де н и е 11. Пусть (С, ) — произвольная группа, тогда: а) если А < С и Н о С, то А и Н о А и АН < С; б) если К < С и Н < С, то К П Н < С и КН < С. П а) Очевидно, что А П Н < А. Кроме того, для любого а Е А верны равенства аН = На и а(А П Н) = аА й аН = А П На = Аа П На = (А П Н)а, т. е. А ПН<А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
