Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Так как ™" < Ф, то, ввиду предположения индукции, в группе А/В существует некоторый элемент а В порядка р. Остается заметить, что огс1 (а В) ~ огс1 а, поскольку из условия а = е с следует, что (аВ)' = В. Следовательно, р~огс1 а. П П Доказательство теоремы 32 проведем индукцией по порядку и Е М группы С. Если и — простое, то теорема очевидна. Пусть И > 1, и теорема верна для любой группы порядка и при и < № Предположим, что и = № Если в группе С есть собственная подгруппа Н такая, что (~С: Н], р) = = 1, то, очевидно, рс] ]Н].
По предположению индукции в Н существует подгруппа порядка р', и она будет нужной р-подгруппой в С. Допустим теперь, что для любой собственной подгруппы Н < С выполняется условие р~ ]С: Н~. Покажем сначала, что в этом случае центр С(С) группы С нетривиален, и р~ ]С(С)]. Пусть [д1]-,..., [дс]~ — все различные классы сопряженных элементов группы С, имеющие мощность, большую единицы. Тогда, ввиду замечания 6, множество С следующим образом представляется в виде 1е П.
Л. Силов (1882 — 1918) — норвежский математик. 296 297 объединения непересекающихся подмножеств: С=С(С) 0[д1] 0...0[д,]-. Следовательно, !С! = [С(С)[+[[д,] [+...+[[дс] !. (42) По теореме 11 [[д,]-! = [С: Фа(д,) ! и в соответствии со сделанными предположениями об индексах подгрупп в С можно утверждать, что р~! [[д,]-! для г Е 1, Ф. (43) Так как по условию р! [С[, то из (42) и (43) следует нужное соотношение: р! [С(С)!. В таком случае по лемме Коши в группе С(С) есть подгруппа Н порядка р.
Если Ф = 1, то Н вЂ” искомая р-подгруппа в С. Допустим, что 1 > 1. Поскольку Н вЂ” подгруппа центра С, то Н О С, и можно рассмотреть факторгруппу С(Н и канонический эпиморфизм ~р: С ~ С1Н. Так как [С(Н! = —" < М и р' ' ] [С/Х[, то по предположению индукции в С(Н существует подгруппа Я' порядка р' 1. Пусть Я = ~р ~(Я'). Тогда Я ~ Н = Кег~р, и по теореме 27в) <р(Я) = Я'. Следовательно, У ~ $(Н.
Но тогда [Я! = [Я'! [Н! = р', и Я вЂ” искомая подгруппа в С. П Теперь можно доказать обращение теоремы Лагранжа для конечных абелевых групп. С л едст в и е. Если (С,+) — абелева группа порядка п и д[п,д > О, то в С существует подгруппа Н порядка д. П Индукция по д. При д = 1 утверждение очевидно. Пусть т > 1, и утверждение верно для с( < т. Докажем его для с( = т. Пусть р— простой делитель д и д = р'й, где (й, р) = 1. Тогда й < т и по предположению индукции в группе С существует подгруппа А порядка й, а по первой теореме Силова в С существует подгруппа В порядка р'.
В таком случае,по следствию теоремы 9 Н = А +  — искомая подгруппа в С порядка с(. П Первая теорема Силова может быть дополнена также утверждением о том, что любая р-подгруппа конечной группы лежит в некоторой ее силовской р-подгруппе. 2. Приведем еще две теоремы о силовских р-подгруппах. Вторая теорема С и лова. Любые две силовскихр-подгруппы конечной группы С сопряжены в С. Т р е т ь я т е о р е м а С и л о в а. Число зр силовских р-подгрупп в группе С удовлетворяет условиям: зр = 1(тосе р), зр ~ [С!. П Мы докажем эти теоремы лишь в частном случае — для коммутативной группы. Здесь справедливо даже более сильное утверждение. Т е о р е м а 33.
Пусть (С,+) — конечная абелева группа порядка п, и для некоторого простого р верны соотношения: п = р"т, й > > О, (р,т) = 1. Тогда в С существует единственная силовская р-подгруппа С® и справедливы равенства: С® = (д Е С: огйд[р"), (44) С "~ = тС = ~тд: д Е С). (45) П Обозначим через С1 и Сг множества из правых частей равенств соответственно (44) и (45). Пользуясь коммутативностью группы С, легко проверить, что С, < С, г Е 1, 2.
(Докажите1) По первой теореме Силова в группе С существует силовская р-подгруппа: Я < С, ф! = р . Теперь очевидно, достаточно доказать равенства Я = С1, С1 = Сг. Включение Я с С1 очевидно. С другой стороны, С1 — р-подгруппа в С, так как иначе число !С1! делится на некоторое простое о, отличное от р, и тогда по первой теореме Силова в С1 существует подгруппа и элемент порядка о, что противоречит определению С1. Следовательно, [С1! = р~, р~[п, и, ввиду условия, Ю < к. Отсюда [С1! < ф[, и так как Яс С1,тоЯ=С1. Докажем равенство С1 — — Сг. Так как для любого д Е С верно равенство р (тд) = О, то тд Е С1, т. е.
Сг с С1. С другой стороны, для й любого д Е С1 из условия (т, р) = 1 следует, что (огс1д, т) = 1, и потому огсз тд = огйд, т. е. (тд) = (д) и д е (тд) с Сг. Следовательно, С1 с Сг и С1 = Сг. П С л е д с т в и е. Конечная непримарная абелева группа (С, +) порядка п е 1Ч, имеющего каноническое разложение п = р1',..., р',", раскладывается в прямую сумму своих силовских подгрупп: С' — С(Р1) + + С(Рд (46) Любое другое разложение группы С в прямую сумму примарных подгрупп попарно взаимно простых порядков отличаются от (46) лишь перестановкой слагаемых.
298 299 (А) < (В) ~ А с (В). Задачи (АВ ( (С, )) «=~ (А В = (А и В)). Г»> = Г»» Г»>~ <Ф (т1> т2) = 1. 301 300 П Пусть Н = С<"'~+...+С~"'~. Тогда по следствию из теоремы 9 Н = = СО>'>+... +С~"'~ и ~Н) = )С~"'~~ ... ~С~"'~) = и = )С~. Следовательно, С = Н, и справедливо (46). Если С = Н1 + ...
+ Н„где Н1,...,Н, — примарные подгруппы попарно взаимно простых порядков о ',...,д~~', соответственно, то ~С~ = ~Нг~ ... ~Н,~, и каноническое разложение числа и = ~С~ можно записать в виде и = у ' ... д~~'. Отсюда по основной теореме арифметиг, ки следует, что а = 8, и (д ',..., д~') — перестановка чисел р ',...,р,'. Следовательно, Н1,..., Н~ — силовские подгруппы группы С. Так как по теореме для каждого р;, г Е 1,Ф, силовская р;-подгруппа в С единственна, то (Н>,..., Н~) перестановка набора (СО>'>,..., С<"'~). П Обратите внимание на то, что доказанное следствие есть обобщение второй части теоремы 10 на конечные абелевы группы.
1. Если в полугруппе с нейтральным элементом для некоторого элемента есть правый и левый обратные, то они совпадают. 2. Опишите возможные порядки элементов и экспоненты групп Ж4, ~~8> ~~2» > Я2> ЯЗ> Я4 ° 3. Докажите, что в конечной группе (С, ) для любого Й ) 2 число элементов порядка Й четно (воспользуйтесь тем, что огану = огану ').
4. Докажите, что если в группе есть перестановочные элементы порядков т, и Е И, то в ней есть элемент порядка (т, и). 5. Приведите пример конечной группы С, в которой нет элемента у е С со свойством огану = ехр С. 6. Докажите, что если у: С ~ Н вЂ” гомоморфизм групп, то для любого у Е С верно соотношение ого у(у) ~ огану, а если у — мономорфизм, то огс1 у(у) = ого у. 7.
Пусть Р— поле с единицей е. Докажите, что в группе (Р, +) либо огс1е = оо, либо огс1е = р — простое число, и для любого у Е Р ~ (О) верны равенства ого у = ого е = ехр (Р, +). 8. Опишите элементы конечных порядков в группах Я, +) и Я*, ) и покажите, что эти группы не изоморфны. 9. Докажите, что центр группы Р„*„„всех обратимых матриц над полем Р состоит из всех ненулевых скалярных матриц. 10. Покажите, что для любых подмножеств А и В группы С справедливо соотношение: 11.
Докажите, что группы Я, +), (С(р ),.), (Г~, ) не имеют конечных систем образующих. 12. Докажите, что если Я вЂ” система образующих группы С(р~>), то для любого а е Я множество Я ~ (а) — также система образующих С(р~). Верно ли аналогичное утверждение для группы Я, +)? 13. Пусть аг,..., а, е У, И = (а>,..., а~), и = (аг,..., а~]. Докажите соотношения: (аг) С (а2) Ф~ а2~аг, (аг,..., а ) = (И); (аг) П ...
П (аД = (и). 14. Докажите, что для конечной группы С следующие утверждения эквивалентны: а) 3 у Е С: огсз у = )С~; б) С вЂ” циклическая группа; в) С вЂ” абелева группа и ехрС = ~С~. Покажите, что в пункте в) нельзя отказаться от первого условия. 15.
Пусть С = (у) — циклическая группа порядка т. Докажите, что для любых а, 6 Е Ж у Е (у ) <=~ разрешимо сравнение ах = 6(шог1т). 16. Пусть А; = (Я;),г Е 1,1 — подгруппы абелевой группы (С, +). Докажите равенство А> + + А~ — — (Яг 0... 0 Я~). 17. Докажите, что если А, В ( (С, ), то 18. Докажите, что для подгрупп А, В, С абелевой группы (С, +) верно включение А П (В+ С) ) (А П В) + (А П С), и, если А ) В, то оно превращается в равенство. 19.
Покажите, что для любых подгрупп А, В, С группы (У, +) верно равенство А П (В + С) = А П В + А П С. 20. Если т>, т2 Е И и т = т> т2, то в группе Г,„лежат подгруппы Г»> > Г»>~, Докажите что 21. Докажите, что если А,  — конечные подгруппы группы (С, ), то )А В~ = ~~~„' (покажите, что число различных смежных классов вида аВ, а Е А равно )А: (А й В) ~). 22. Используя теорему Лагранжа, докажите теорему Эйлера: Ча Е Ж, Чт Е М ((а, т) = 1) ~ (а"'~'"~ = 1(шод1 т)).
23. Используя теорему Лагранжа, покажите, что если Р— поле из д элементов, то все элементы из Р* — корни многочлена х~ 1 — е, а все элементы из Р— корни хч — х. 24. Докажите, что в мультипликативной группе Р* произвольного поля Р любая конечная подгруппа — циклическая, в частности если ~Р~ < оо, то Р* — циклическая группа (воспользуйтесь результатом задачи 14). 25. Докажите, что непустое подмножество К группы (С, ) является смежным классом по некоторой ее подгруппе тогда и только тогда, когда Ча, о, с Е К(аЬ 1с Е К).
Опишите подгруппы, по которым К является правым и левым смежным классом. 26. Пусть Н1, Н2 — подгруппы группы (С, ) и д1, у2 Е С. Докажите: а) Н1д1й Н2д2 ф )о' <=) у1у2 Е Н1 Н2, б) д Е (Н1у1 й Н2д2) ~ Н1д1 й Н2д2 = (Н1 й Н2)д; в) Н1д1 С Н2д2 <=)' Н1 с Н2 =) д1д2 г) Н1д1 = Н2д2 ~=т Н1 — — Н2 =) д1д2 27. Пусть С = (д) — группа порядка т, д1,...,дд Е С и Н = (д1,...,дД. Докажите: а) если огсз д; = т;, г Е 1, 8, то Н = (д('"1'"""~ ) ) и ~Н~ = (т1,..., т~]; б) если д; = д"*', г Е 1, Ф, то Н = (д~"д"'"'>) = (д~""""'~~).
28. Докажите, что в циклической группе порядка т для каждого натурального И, делящего т, существует ровно ~р(И) элементов порядка И (~р(И) — функция Эйлера, ~р(1) = 1). Выведите тождество Гаусса: ~, ~р(И) = т. еа) уп 29. Пусть С вЂ” группа порядка т, в которой для каждого И~т существует не более одной подгруппы порядка И. Докажите, что С— циклическая группа.
(Покажите, что число 4(И) элементов порядка д в С не превосходит у(И), и воспользуйтесь предыдущей задачей.) 30. Пусть (С, +) — конечная группа, и сумма всех ее элементов порядка т Е И есть о. Покажите, что 2о = 0; если т > 2, то о = 0; аесли т = 2 и С вЂ” циклическая группа, то огас = 2.
31. Пусть С1,...,С~ — абелевы группы порядков, соответственно т1,...,тд Е И. Докажите, что С1 З... З Сс — циклическая группа тогда и только тогда, когда С1,..., С~ — циклические группы и числа т1,..., т~ попарно взаимно просты. 32. Пусть р(С) — минимальное число образующих группы С. Покажите, что если р(С,) = т;, г Е 1, 1, то р(С1 3...
3 С~) < т1 +... + т~, и последнее неравенство может быть строгим, и может обращаться в равенство. Если С1,..., С~ — конечные группы попарно взаимно простых порядков, то р(С1 З... З С~) = шах(т1,..., т~). 33. Докажите, что если р — минимальный простой делитель порядка конечной группы С, то р(С) < 1ояр )С~ и указанная оценка достижима. 34. Докажите, что сопряженные элементы группы имеют одинаковые порядки, но обратное утверждение неверно. 35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
