Глухов М. М. Алгебра том 1 (1016678), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Наконец, АН = Д аН = Д На = НА, аЕА аЕА и в силу теоремы 5 АН < С. б) Если К а С и Н 0 С, то нормальность в С подгрупп К. П Н и КН следует из того, что для любого д Е С верны равенства: д(КПН) = дКПдН = КдПНд = (КПН)д, д(КН) = (дК) Н = (Кд) Н = К(дН) = К(Нд) = (КН)д. ~ 2. Важнейшие определяющие свойства нормальных делителей в классе подгрупп перечисляет Т е о р е м а 24. Для подгруппы Н группы С следующие утверждения эквивалентны: а) НОС; б) Иа(Н) = С (т.е. д ~Ад Е Н для любых д Е С,Ь Е Н); в) отношения "= (Н)п" и "= (Н)л" на С совпадают; г) отношение "= (Н)п" есть конгруэнция на С; д) отношение "= (Н)л" есть конгруэнция на С. П Эквивалентность утверждений а) и б) следует непосредственно из определений нормализатора и нормального делителя. Докажем теперь цепочку импликаций а) =:» в) =:» г) ~ а). а) =:» в).
Так как Нд = дН для всех д Е С, то в силу теоремы 6 разбиение группы С, порождаемое отношением эквивалентности "= (Н)п", совпадает с разбиением, порождаемым отношением "= (Н)л". в) =:» г). Пусть а— : 6(Н)п и с = д(Н)п. Тогда а Ь 1 Е Н,асс 1Ь 1 Е Е Н, и, следовательно, ас = Ьс(Н)п. Кроме того, в силу утверждения в) с = й(Н)л и справедливы соотношения с ~д Е Н, с 16 ~ЬЫ Е Н, т. е. Ьс = Ы(Н)л. Отсюда, опять по утверждению в), имеем Ьс = — Ы(Н)п, и, так как ас = — Ьс(Н)п, то ас =— 6д(Н)п. г) =:» а). Так как для любого 6 Е Н верно соотношение 6 = — е(Н)п и для любого д Е С верны соотношения д = д(Н)п, д 1 = д 1(Н)п, то, пользуясь согласованностью отношения "—: (Н)п" с групповой операцией, получим последовательно йд = д(Н)п, д 1пд = д ~д(Н)п, д ~ад = —: е(Н)п.
Следовательно, для любых д Е С и д Е Н имеется включение д 1лд Е Н, т. е. д 1Нд с Н и Нд с дН. Заменяя здесь д на д 1, получаем дНд 1 с Н и дН С Нд. Следовательно, Нд = дН для всех дЕ С,т. е. Н<С. Таким образом, доказана эквивалентность первых четырех утверждений теоремы.
Теперь их эквивалентность утверждению д) очевидна в силу соображений симметрии. (Читателю предлагается самостоятельно доказать импликации в) =:» д) =:» а).) П 3. Покажем теперь, что теоремой 24 в действительности описаны все конгруэнции на группе С. Заметим, что если Н вЂ” нормальный делитель в С, то можно говорить просто об отношении сравнимости по Н и писать а— : 6(Н), поскольку отношения "= (Н)п" и "= (Н)л" совпадают.
О п р еде лен и е 37. Если <р: (С, ) ~ (К, ) гомоморфизм групп, то его ядром называют множество Кег <р = 1д Е С: ~р(д) = ек~ = ~р '(ек), где ек — единица группы К. Т е о р е м а 25. Для любого гомоморфизма групп ~р: (С, ) ~ (К, ) его ядро Кегу есть нормальная подгруппа в С. Если р — произвольная конгруэнция на С, то р есть отношение сравнимости по подгруппе Кег<ро, где <ро. С вЂ” + С(р — канонический эпиморфизм. При этом Кег <ро = ~д Е С: дреа~ = [еа]р.
П Пусть <р: (С, ) ~ (К, ) — произвольный гомоморфизм, тогда для любых элементов а, Ь Е Кег <р верны соотношения: ср(аЬ 1) = ср(а) ср(Ь) = ек ек~ = ек. Следовательно, аЬ 1 Е Кег ~р и Кег<р < С. Кроме того, для любого д Е С верны соотношения ~р(д ад) = ~р(д) р(а)~р(д) = ~р(д) р(д) = = ек, т.
е. д 1ад Е Кег <р. Следовательно, Ф~(Кег<р) = С, и по теореме 24 Кег~р<~С. Пусть р — произвольная конгруэнция на (С, ). Рассмотрим фактор- группу С/р, состоящую из всех различных классов [д~р — — (а Е С: ард~, 286 287 с операцией [д1]р ' [дг]р = [д1дг]р. По утверждению 5.Х отображение 'ро: С вЂ” С/р по правилу ~ро(д) = [д]р есть гомоморфизм групп, связанный с отношением р следующим образом: Чу1 уг Е С у1руг «-» ~рр(у1) = ~рр(у2) ° Но выше уже доказано соотношение: д1 = дг(Кег ~рр) «=» ~рр(у1) = ~рр(у2) Следовательно, отношение р есть отношение сравнимости по Кеглера.
Остается заметить, что нейтральный элемент в группе С/р есть [ес]р, поэтому ядро канонического гомоморфизма ~ро имеет вид: Кег ~ро = Ь Е С: ~ро(д) = [еа] ) = 1д Е С: ~ро(у) = ~ро(еа)1 = = ~д Е С: дред). П С л е д с т в и е. Гомоморфизм групп ~р: С ~ К является мономорфизмом тогда и только тогда, когда Кег ~р = ~еа). П Достаточно воспользоваться соотношением: ~р(а) = ~р(о) «=» а = о(Кег ~р). П 4. Теоремы 24, 25 позволяют по новому, в более удобной и наглядной форме, сформулировать для групп теорему об эпиморфизме полугрупп. О п р е д е л е н и е 38.
Если Но С, то факторгруппой группы С по подгруппе Н называют факторгруппу группы С по отношению "= (Н) ". Эту факторгруппу обозначают С/Н. Таким образом, С/Н = С/ = (Н). Из общего определения факторгруппы очевидно, что элементами группы С/Н являются классы элементов С, сравнимых по подгруппе Н, т. е. по теореме 6 — смежные классы уН = Ну группы С по Н. При этом операция на элементах группы С/Н задается следующим образом: у1Н угН = д1д2.
Н, а канонический эпиморфизм ~ро. С ~ С/Н задается равенством ~ро(д) = = уН. Заметим, что при аддитивной форме записи групповой операции элементы факторгруппы С/Н записываются в виде д+ Н, а операция задается равенством: (д, +Н)+(д, +Н) = (д, +д,)+Н. Т е о р е м а 26 (об эпиморфизме групп). Если ~р: (С, ) — (К, )— эпиморфизм групп, то С/Кег ~р И К, и существует единственный изоморфизм т: С/Кег ~р ~ К такой, что коммутативна диаграмма О/ Кегр где ~ро. С вЂ” + С/Кег ~р — канонический эпиморфизм.
Изоморфизм т задается равенством т(у Кег~р) = ~р(д). П Из теоремы об эпиморфизме полугрупп (гл. Х) следует, что если р — конгруэнция на С, определяемая условием д1 Руг «=» ~р(у1) = у(уг), и ~ро .. С ~ С/р — канонический эпиморфизм, то существует единственный изоморфизм т: С/р ~ К, дающий коммутативную диаграмму При этом т([д]р) = ~р(д). Остается заметить, что по теореме 25 р есть отношение сравнимости по Кег ~р, С/р = С/ Кег ~р и [д]р — — д.
Кег ~р. П Эта теорема широко используется в теории групп для доказательства соотношений типа С/Н И К путем подбора эпиморфизма ~р: С вЂ” + К с ядром Кег ~р = Н. П р и м е р 36. Имеет место изоморфизм (К/Ж,+) И (Г, ). Для доказательства достаточно заметить, что можно задать эпиморфизм ~р: (К,+) ~ (Г, ) по правилу ~р(т) = сов2кт + гв1п2кт, и при этом Кег~р = У.. Аналогично можно доказать, что (К/тУ,+) = (Г,.) для любого т Е 1Ч. 5.
Следствие 2 утверждения 4 о свойствах образов и полных прообразов подгрупп при гомоморфизме можно теперь дополнить. 1О. Заказ М 573. 289 288 А<р '( (А)) <С. (34) Так как ек е ~р(А), то Кег ~р = ~р '(ек) с ~р ~(~р(А)). (35) ек = ~р(а) ~р(а) = ~р(а ~ а). фА) И А/А П Кег ~р = А/А П Н, 290 291 Т е о р е м а 27.
Пусть <р: (С,.) — + (К, ) — гамоморфизм групп Тогда а) А < С =~ <р '(<р(А)) = А Кег ~р; б) В<К =~ ~р ~(В) <С. Если к тому же р — зпиморфизм, то в) В < К ~ <р(<р 1(В)) = В; г) А < С =~ <р(А) < К. П а) Пусть А < С.
Тогда по следствию 1 утверждения 4 ~р(А) < К и Из соотношений (34), (35) следует, что А Кег<р «р-1(~р(А)). Наоборот, если а Е ~р '(~р(А)), то <р(а) = <р(а) для подходящего а Е А и Следовательно, а 1а Е Кег~р и а Е аКег~р С А Кег~р, т. е. ~р ~(~р(А)) < А. Кег~р. б) Пусть В<К.
Тогда для любых Ь е ~р 1(В) и д Е С справедливысоотношения <р(Ь) Е В и р(д 1Ьд) = <р(д) '~р(Ь)<р(д) Е В. Следовательно, д гЬд Е <р ~(В) и по теореме 24, с учетом следствия 2 утверждения 4, р '(В)~С. в) Для любого сюръективного отображения <р: С ~ К и любого В С К верно равенство уфр ~(В)) = В. г) Пусть ~р — эпиморфизм и А 0 С. Тогда для любого й Е К существует д Е С со свойством й = ~р(д), и, так как дА = Ад, то й~р(А) = = фд)~р(А) = ср(дА) = ср(Ад) = р(А)р(д) = ср(А) й. Следовательно, ~р(А) <К. П 3 а м е ч а н и е 9. Если операция в группе С записывается аддитивно > то утверждение а) имеет вид ~р 1(<р(А)) = А+ Кег <р. Читателю рекомендуется самому подобрать примеры, показывающие, что утверждения в) и г) теоремы 27 неверны, если ~р — не эпиморфизм.
~ 12. Теоремы об изоморфизме При получении многих теоретико-групповых результатов весьма эффективным инструментом оказываются следующие две теоремы. Т е о р е м а 28 (первая теорема об изоморфизме). Если ~р: (С, )— ~ (К, ) — гомоморфизм групп и А < С, то А П Кег~р а А, ~р(А) М А/А П Кег~р. П Так как Кег~р < С (теорема 25), то (А П Кег~р) 0 А (утверждение 11 а)). Зададим отображение ф: А ~ К, положив Ча Е А (ф(а) = ~р(а)). Нетрудно видеть, что ф — гомоморфизм (А, ) в (К, ) и ф(А) = = у(А), т. е. 4~ — эпиморфизм (А, ) на (~р(А), ).
Следовательно, по теореме об эпиморфизме для групп ~р(А) и А/Кегф. Остается заметить, что справедливы равенства: Кег ф = 1а Е А: ф(а) = ек~ = 1а Е С: ~р(а) = ек, а Е А~ = А П Кег<р. П С л е д с т в и е. Если Н вЂ” кормалькый делитель и А — подгруппа группы С, то верны сооткошекия: Н<АН, АПНо А, АН/Н й А/Ап Н. П Рассмотрим канонический эпиморфизм ~р: С ~ С/Н. Тогда Кег <р = = Н и по теореме 28 б) справедливы равенства <р ~(~р(А)) = А Кег ~р = А Н.
(36) Так как ~р(~р 1(у(А))) = ~р(А) (докажите), то из (36) следует равенство ~р(А) = ~р(АН). Теперь, дважды применяя теорему, получаем: ~р(А) И АН/АН П Кег ~р = АН/АН П Н = АН/Н. П 3 а м е ч а н и е 10. При аддитивной форме записи групповой операции следствие теоремы 28 утверждает: если А,Н вЂ” произвольные подгруппы абелевой группы (С, +), то А/А п Н И (А + Н)/Н.
(37) Последнее соотношение имеет весьма интересную арифметическую ин- терпретацию. а/и ~ (а/н)/(н/и). (38) 292 293 П р и м е р 37. Нетрудно проверить, что для любых а, т Е 1Ч имеет место изоморфизм (аУ/атУ, +) И (Ж„„, +). Пусть А и Н вЂ” подгруппы в(Ж+).Тог а я (, ). да для подходящих а,п Е 1Ч верны равенства А = аЖ, Н = =АУ, А+Н=(а 6). = (, ) . У, А й Н = [а, Ь~Ж и имеют место изоморфизмы: (А+ Н)/Н = (а,й)У/ЬУ И Ж~>„у~ >„д, А/А й Н = аУ/[а,й]Ж И Ж~~„ц~„>. Теперь видно, что изоморфизм (37) обобщает известное арифметическое соотношение о~а 61 ~аЬ) = а Т е о р е м а 29 (вторая теорема об изоморфизме).
Если ~р: (С, ) ~ — + (К, ) — эпимор4изм групп и Н < С, то ~р(Н) < К и К/р(Н) М а/Н Кег~р, т. е. ~р(а)/~р(Н) И а/Н Кег~р. П Условие (Н) 0 К ~р( ) следует из теоремы 27 г). Рассмотрим канонический эпиморфизм ~ро. К ~ К/~р(Н) и зададим отображение ф: а ~ К/р(Н) условием: ф(д) = ~ро(~р(д)) = ~р(д) ~р(Н), т.
е. так, чтобы была коммутативна следующая диаграмма Очевидно что 4~ — эпиморфизм С на К/~р(н) так как ф = композиция двух эпиморфизмов. Следовательно, по теореме об эпиморфизме К/~р(Н) = а/Кег4. Остается доказать равенство Кег ф = Н Кег ~р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
